等式与不等式 A卷—学考测评卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程－x2－5x＋6＝0的解集为( )A．{－6，1} B．{2，3}C．{－1，6}D．{－2，－3}解析：选A 方程－x2－5x＋6＝0可化为x2＋5x－6＝0，即(x＋6)·(x－1)＝0，解得x＝－6或x＝1，∴方程的解集为{－6，1}．2．不等式<0的解集为( )A．{x|x>1}B．{x|x<－2}C．{x|－2<x<1}D．{x|x>1或x<－2}解析：选C 原不等式等价于(x－1)(x＋2)<0，则原不等式的解集为{x|－2<x<1}．3．小明准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )A．30x－60≥400B．30x＋60≥400C．30x－60≤400D．30x＋60≤400解析：选B 设x个月后所存的钱数为y，则y＝30x＋60，由于存的钱数不少于400元，故不等式为30x＋60≥400.4．不等式组的解集为( )A．(0，)B．(，2)C．(，4)D．(2，4)解析：选C 由|x－2|<2，得0<x<4，由x2>3，得x>或x<－，∴原不等式组的解集为(，4)．5．不等式(x－1)≥0的解集是( )A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1，或x＝－2}D．{x|x≤－2，或x＝1}解析：选C 当x＝－2时，0≥0成立．当x＞－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.15
∴不等式的解集为{x|x≥1，或x＝－2}．6．已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，则ab的最大值为( )A.B.C．1D.解析：选A ∵a>0，b>0，且2a＋b＝2，则ab＝×(2a·b)≤＝，当且仅当2a＝b且2a＋b＝2，即a＝，b＝1时“＝”成立，此时取得最大值.故选A.7．方程组的实数解的个数是( )A．4B．2C．1D．0解析：选B 由①得y＝±2x，原方程组可以转化为解得或无解．故方程组的实数解的个数是2.8．若不等式ax2＋ax－4<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )A．－16≤a<0B．a>－16C．－16<a≤0D．a<0解析：选C 设y＝ax2＋ax－4，x∈R，则由题意可知y<0恒成立．当a＝0时，y＝－4<0满足题意；当a≠0时，需满足即解得－16<a<0.故－16<a≤0.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中一定成立的是( )A．ab>acB．c(b－a)>0C．cb2<ab2D．ac(a－c)<0解析：选ABD 由c<b<a且ac<0，知a>0，c<0，而b的取值不确定，当b＝0时，C不成立．根据不等式的性质可知A、B、D均正确．10．下列四个命题中，是真命题的是( )15
A．∀x∈R，且x≠0，x＋≥2B．∃x∈R，使得x2＋1≤2xC．若x＞0，y＞0，则≥D．若x≥，则的最小值为1解析：选BCD 对于A，∀x∈R，且x≠0，x＋≥2对x<0时不成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；对于C，若x>0，y>0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为≥，当且仅当x＝y>0时取等号，正确；对于D，y＝＝＝，因为x≥，所以x－2>0.所以≥·2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．故y的最小值为1.11．设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )A.＋有最小值4B.有最大值C.＋有最大值D．a2＋b2有最小值解析：选ABCD 正实数a，b满足a＋b＝1，即有a＋b≥2，可得0<ab≤，即有＋＝≥4，即有a＝b时，＋取得最小值4，无最大值；由0<≤，可得有最大值；由＋＝＝≤＝，15
可得a＝b时，＋取得最大值；由a2＋b2≥2ab可得2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝1；则a2＋b2≥，当a＝b＝时，a2＋b2取得最小值，综上可得A、B、C、D均正确．12．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是( )A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}解析：选BCD 在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图像知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得解得0<m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m<0得1<m<9，又{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故D正确．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若y＝－x2＋mx－1有正值，则m的取值范围是__________________．解析：因为y＝－x2＋mx－1有正值，所以Δ＝m2－4>0，所以m>2或m<－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)14．已知12<a<60，15<b＜36，则a－b的取值范围为________，的取值范围为________．解析：由15<b<36得－36<－b<－15.又因为12<a<60，所以－24<a－b<45.由15<b<36得<<.又因为12<a<60，所以<<4.答案：(－24，45) 15．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则不等式<0的解集是________．15
解析：由题图知，1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以－＝3且＝2，所以b＝－3a，c＝2a且a>0.不等式<0等价于(ax＋b)(cx＋a)<0，即(x－3)(2x＋1)<0，所以－<x<3.答案：16．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．解析：由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤＝.∴9ab＋10≤，∴≥.答案：四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求下列方程组的解集：(1)(2)解：(1)由①得y＝2x，③将③代入②得x2－(2x)2＋3＝0，解得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝2；当x＝－1时，y＝－2.∴方程组的解集是{(x，y)|(1，2)，(－1，－2)}．(2)根据一元二次方程的根与系数的关系，把x，y看成是方程z2－11z＋28＝0的两根，解方程得z＝4或z＝7.∴方程组的解集是{(x，y)|(4，7)，(7，4)}．18．(本小题满分12分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.15
因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p，所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0，因此(px＋qy)2≤px2＋qy2，当且仅当x＝y时等号成立．19．(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.解：原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，即<0.①当－<，即a>0时，原不等式的解集为－<x<；②当－＝，即a＝0时，原不等式的解集为∅；③当－>，即a<0时，原不等式的解集为<x<－.20．(本小题满分12分)已知a>0，b>0.(1)求证：＋≥a＋b；(2)利用(1)的结论，试求＋(0<x<1)的最小值．解：(1)证明：∵a>0，b>0，∴＋＋a＋b＝＋≥2a＋2b，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋≥a＋b(当且仅当a＝b时等号成立)．(2)∵0<x<1，∴0<1－x<1.可将1－x看作(1)中的a，x看作(1)中的b.依据(1)的结论，则有＋≥1－x＋x＝1，当且仅当1－x＝x，即x＝时，等号成立，∴＋的最小值为1.21．(本小题满分12分)某镇计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，蔬菜的种植面积为Sm2，则ab＝800.15
所以S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)≤808－4＝648，当且仅当a＝2b，即a＝40，b＝20时等号成立，则S最大值＝648.故当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.22．(本小题满分12分)已知a，b，c均为正实数，求证：(1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc；(2)若a＋b＋c＝3，则＋＋≤3.证明：(1)因为a，b，c均为正实数，由均值不等式得a＋b≥2，ab＋c2≥2，两式相乘得(a＋b)·(ab＋c2)≥4abc，当且仅当a＝b＝c时取到等号，所以(a＋b)(ab＋c2)≥4abc.(2)因为a，b，c均为正实数，由均值不等式得·≤＝，当且仅当a＋1＝2，即a＝1时取等号，·≤＝，当且仅当b＋1＝2，即b＝1时取等号，·≤＝，当且仅当c＋1＝2，即c＝1时取等号．以上三式相加，得(＋＋)≤＝6.所以＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号． B卷—高考滚动测评卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁UB)＝( )A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0}D．{x|x>1}解析：选B ∵全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩(∁UB15
)＝{x|0<x≤1}，故选B.2．四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．3．下列四个命题中的真命题为( )A．∃x∈Z，1<4x<3B．∃x∈Z，5x＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>0解析：选D 选项A中，<x<且x∈Z，不成立；选项B中，x＝－，与x∈Z矛盾；选项C中，x＝±1，与∀x∈R矛盾；选项D中，由Δ＝1－8＝－7<0可知D正确．4．不等式|x|(1－2x)>0的解集为( )A．(－∞，0)∪B.C.D.解析：选A 当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以0<x<；当x<0时，原不等式即为－x(1－2x)>0，所以x<0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪.5．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是( )A．{x|x<5a，或x>－a}B．{x|x>5a，或x<－a}C．{x|－a<x<5a}D．{x|5a<x<－a}解析：选A 方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图像，得原不等式的解集为{x|x<5a，或x>－a}，故选A.6．若－4<x<1，则( )A．有最小值1B．有最大值1C．有最小值－1D．有最大值－1解析：选D ＝，又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.15
∴－≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．7．不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( )A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1，4)D．(1，5)解析：选A ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)＜2，∴－4＜2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1＜x＜5时，原不等式可化为x－1－(5－x)＜2，∴x＜4，∴1＜x＜4.③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)＜2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A.8．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选B ∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，∴或解得0≤a≤.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．设a，b是正实数，下列不等式中正确的是( )A.> B．a>|a－b|－bC．a2＋b2>4ab－3b2D．ab＋>2解析：选BD 对于A，>⇒1>⇒>，当a＝b>0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2>4ab－3b2⇒a2＋4b2－4ab>0⇒(a－2b)2>0，当a＝2b时，不等式不成立，故C15
中不等式错误；对于D，ab＋≥2>2，故D中不等式正确，故选B、D.10．下列结论中正确的有( )A．若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2B．若a，b，m为正实数，a<b，则<C．若>，则a>bD．当x>0时，x＋的最小值为2解析：选ACD 对于A，∵a，b为正实数，a≠b，∴a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0，∴a3＋b3>a2b＋ab2正确；对于B，若a，b，m为正实数，a<b，则－＝>0，则>，故B错误；对于C，若>，则a>b，故C正确；对于D，当x>0时，x＋的最小值为2，当且仅当x＝时取等号，故D正确．故选A、C、D.11．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )A．a>0B．b>0C．c>0D．a＋b＋c>0解析：选BCD 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由二次函数的图像(图略)可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．故选B、C、D.12．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是( )A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式15
D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝解析：选AB 由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0.从而不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确．当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4就是x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b就是x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图像及直线y＝a和y＝b，如图所示．由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误．由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b.由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4.当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．方程组的解集为________．解析：因由②得y＝3x＋代入①得x＋6x＋1＋6＝0，得x＝－1，y＝－.答案：15
14．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为________．解析：∵m，n是一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个根，∴m＋n＝3，mn＝a，∵(m－1)(n－1)＝－6，∴mn－(m＋n)＋1＝－6，∴a－3＋1＝－6，解得a＝－4.答案：－415．若∃x>0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是________．解析：∃x>0，使得＋x－a≤0，等价于a大于等于＋x的最小值，∵x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时等号成立)，故a≥2.答案：a≥216．某商场的某种商品的年进货量为10000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次进货的运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，则每次进货量为______件时，一年的运费和租金之和最少为______元．解析：设每次进货x件，一年的运费和租金之和为y元，由题意，y＝100·＋2·＝＋x≥2＝2000，当且仅当x＝1000时取等号．答案：1000 2000四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解下列不等式(组)：(1)(2)6－2x≤x2－3x<18.解：(1)原不等式组可化为即0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}．(2)原不等式等价于即15
因式分解，得所以所以－3<x≤－2或3≤x<6.所以原不等式的解集为{x|－3<x≤－2，或3≤x<6}．18．(本小题满分12分)正数x，y满足＋＝1.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．解：(1)由1＝＋≥2得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.19．(本小题满分12分)已知不等式x(ax－1)＞a(x－1)，其中a∈R.(1)当a＝时，解不等式；(2)若不等式在R上恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝时，不等式即为x＞(x－1)，即x2－3x＋1＞0，解得x＞或x＜.故不等式的解集为∪.(2)不等式x(ax－1)＞a(x－1)可化为ax2－(a＋1)x＋a＞0，显然当a≤0时，不合题意；因此应有解得a＞1.故a的取值范围是(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b－a(a，b∈R)，(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，求实数a＋b的值；(2)设a＝2，若不等式bf(x)>b2－3对任意实数x都成立，求实数b的取值范围．解：(1)因为不等式f(x)＝x2＋ax＋b－a>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，所以－3，1为函数x2＋ax＋b－a＝0的两个根，所以解得a＝2，b＝－1，所以a＋b＝1.15
(2)当a＝2时，原不等式可化为bx2＋2bx－2b＋3>0对任意实数x都成立，①当b＝0时，3>0恒成立；②当b≠0时，bx2＋2bx－2b＋3>0恒成立，则需解得0<b<1，综上，所求实数b的取值范围为[0，1)．21．(本小题满分12分)由于春运的到来，某火车站为舒缓候车室人流的压力，决定在候车大楼外搭建临时候车区，其中某次列车的候车区是一个总面积为50m2的矩形区域(如图所示)，矩形场地的一面利用候车厅大楼外墙(长度为12m)，其余三面用铁栏杆围挡，并留一个宽度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为80元/m．设该矩形区域的长为x(单位：m)，租用铁栏杆的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数，并求租用搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值及相应的x；(2)若所需总费用不超过2160元，则x的取值范围是多少？解：(1)依题意有y＝80，其中2＜x≤12.由均值不等式可得y＝80≥80×(2－2)＝1440，当且仅当＝x，即x＝10时取“＝”．综上，当x＝10时，租用搭建此区域的铁栏杆所需费用最小，最小费用为1440元．(2)y＝80≤2160，∴＋x－2≤27，∴x2－29x＋100≤0，解得4≤x≤25.又∵x≤12，∴4≤x≤12，即x的取值范围是[4，12]．22．(本小题满分12分)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若>，那么称点(a，b)是点(c，d)的“上位点”．同时点(c，d)是点(a，b)的“下位点”．(1)试写出点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)已知点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，判断点P(a＋c，b＋d)是否既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”，并证明你的结论．解：(1)根据题设中的定义可得点(3，5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为(3，4)和(3，7)．(2)点P(a＋c，b＋d)既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”．证明如下：因为点(a，b)是点(c，d)的“上位点”，所以>.15
因为a，b，c，d均大于0，所以ad>bc，所以ad－bc>0.所以－＝＝＝>0，即>，所以点P(a＋c，b＋d)是点(c，d)的“上位点”，同理可得－＝＝<0，即>，所以点P(a＋c，b＋d)是点(a，b)的“下位点”，所以点P(a＋c，b＋d)既是点(c，d)的“上位点”，又是点(a，b)的“下位点”．15
