一元二次函数、方程和不等式(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式x2≥2x的解集是( )A．{x|x≥2} B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤0或x≥2}解析：选D 由x2≥2x得x(x－2)≥0，解得x≤0或x≥2，故选D.2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )A．A≤BB．A≥BC．A<B或A>BD．A>B解析：选B ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋b2≥0，∴A≥B.3．不等式组的解集为( )A．{x|－1<x<1}B．{x|0<x<3}C．{x|0<x<1}D．{x|－1<x<3}解析：选C 由得所以0<x<1，即不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.4．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是( )A．{x|x<5a或x>－a}B．{x|x>5a或x<－a}C．{x|－a<x<5a}D．{x|5a<x<－a}解析：选A 方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}，故选A.5．已知a，b，c∈R，则下列说法中错误的是( )A．a>b⇒ac2≥bc2B.>，c<0⇒a<bC．a3>b3，ab>0⇒<D．a2>b2，ab>0⇒<解析：选D 对于A，c2≥0，则由a>b可得ac2≥bc2，故A中说法正确；对于B，由>，得－＝>0，当c<0时，有a－b<0，则a<b，故B中说法正确；9
对于C，∵a3>b3，ab>0，∴a3>b3两边同乘，得到>，∴<，故C中说法正确；对于D，∵a2>b2，ab>0，∴a2>b2两边同乘，得到>，不一定有<，故D中说法错误．故选D.6．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )A．m≤－2或m≥2B．－2≤m≤2C．m<－2或m>2D．－2<m<2解析：选B 因为不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.7．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－300x＋80000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为( )A．300吨B．400吨C．500吨D．600吨解析：选B 由题意，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数关系为y＝x2－300x＋80000，所以平均处理成本为s＝＝＝＋－300，其中300≤x≤600，又＋－300≥2－300＝400－300＝100，当且仅当＝时等号成立，所以x＝400时，平均处理成本最低．故选B.8．设正数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是( )A．0B．1C.D．3解析：选B 由题意得＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时，等号成立，此时z＝2y2.故＋－＝－＋＝－＋1≤1，当且仅当y＝1时，9
等号成立，故所求的最大值为1.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )A．a>0B．b>0C．c>0D．a＋b＋c>0解析：选BCD 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝2×＝－1<0，－＝2＋＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；因为＝－1，所以a＋c＝0，又b>0，所以a＋b＋c>0，故D正确．故选B、C、D.10．下列结论中正确的有( )A．若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2B．若a，b，m为正实数，a<b，则<C．若>，则a>bD．当x>0时，x＋的最小值为2解析：选ACD 对于A，∵a，b为正实数，a≠b，∴a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0，∴a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，a<b，则－＝>0，则>，故B错误；对于C，若>，则a>b，故C正确；对于D，当x>0时，x＋的最小值为2，当且仅当x＝时取等号，故D正确．故选A、C、D.11．下列各式中，最大值是的是( )A．y＝x2＋B．y＝x(0≤x≤1)9
C．y＝D．y＝x＋(x>－2)解析：选BC A中，y＝x2＋≥2＝，因此式子无最大值；B中，y2＝x2(1－x2)≤＝，y≥0，∴0≤y≤，当且仅当x＝时y取到最大值；C中，当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y＝≤＝，当且仅当x＝±1时y取到最大值；D中，y＝x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2(x>－2)(当且仅当x＝0时取等号)，无最大值，故选B、C.12．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入，则这批台灯的售价x(元)的取值可以是( )A．10B．15C．16D．20解析：选BC 设这批台灯的售价定为x元，x≥15，则[30－(x－15)×2]·x>400，即x2－30x＋200<0，因为方程x2－30x＋200＝0的两根分别为x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200<0的解集为{x|10<x<20}，又因为x≥15，所以15≤x<20.故选B、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知a>b，a－>b－同时成立，则ab应满足的条件是________．解析：因为a－>b－，所以－＝>0.又a>b，即a－b>0，所以>0，从而ab(ab＋1)>0，所以ab<－1或ab>0.答案：ab<－1或ab>014．一个大于50小于60的两位数，其个位数字b比十位数字a9
大2.则这个两位数为________．解析：由题意知解得4<a<5.又a∈N*，∴a＝5.∴b＝7，∴所求的两位数为57.答案：5715．一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为{x|x<－3或x>1}，则a＋b＝________，一元一次不等式ax＋b<0的解集为________．解析：由题意知，－3和1是方程x2＋ax＋b＝0的两根，所以解得故a＋b＝－1.不等式ax＋b<0即为2x－3<0，所以x<.答案：－1 16．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．解析：因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以＋y＝1，所以＝·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9.答案：9四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解下列不等式：(1)2＋3x－2x2>0；(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1.解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，所以(2x＋1)(x－2)<0，故原不等式的解集是.(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0.9
所以(2x＋1)(x－1)≥0，故原不等式的解集为.18．(本小题满分12分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p，所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0，因此(px＋qy)2≤px2＋qy2，当且仅当x＝y时等号成立．19．(本小题满分12分)已知关于x的方程x2－2x＋a＝0.当a为何值时，(1)方程的一个根大于1，另一个根小于1?(2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3?解：(1)已知方程的一个根大于1，另一个根小于1，结合二次函数y＝x2－2x＋a的图象(如图所示)知，当x＝1时，函数值小于0，即12－2＋a<0，所以a<1.因此a的取值范围是{a|a<1}．(2)由方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3，结合二次函数y＝x2－2x＋a的图象(如图所示)知，x取－1，3时函数值为正，x取1，2时函数值为负，即解得－3<a<0.因此a的取值范围是{a|－3<a<0}．20．(本小题满分12分)已知a>0，b>0且＋＝1.(1)求ab的最小值；(2)求a＋b的最小值．解：(1)因为a>0，b>0且＋＝1，所以＋≥2＝2，则2≤1，9
即ab≥8，当且仅当即时取等号，所以ab的最小值是8.(2)因为a>0，b>0且＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当即时取等号，所以a＋b的最小值是3＋2.21．(本小题满分12分)设y＝ax2＋(1－a)x＋a－2.(1)若不等式y≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式ax2＋(1－a)x＋a－2<a－1(a∈R)．解：(1)ax2＋(1－a)x＋a－2≥－2对于一切实数x恒成立等价于ax2＋(1－a)x＋a≥0对于一切实数x恒成立．当a＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；当a≠0时，由题意得解得a≥.所以实数a的取值范围是.(2)不等式ax2＋(1－a)x＋a－2<a－1等价于ax2＋(1－a)x－1<0.当a＝0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{x|x<1}；当a>0时，不等式可化为(ax＋1)(x－1)<0，此时－<1，所以不等式的解集为；当a<0时，不等式可化为(ax＋1)(x－1)<0，①当a＝－1时，－＝1，不等式的解集为{x|x≠1}；9
②当－1<a<0时，－>1，不等式的解集为；③当a<－1时，－<1，不等式的解集为.综上所述，当a<－1时，不等式的解集为；当a＝－1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x<1}；当a>0时，不等式的解集为.22．(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？解：(1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为万元，∴年销售收入为·Q＝(32Q＋3)＋x，∴W＝(32Q＋3)＋x－(32Q＋3)－x＝(32Q＋3)－x＝(32Q＋3－x)＝(x≥0)．(2)由(1)得，W＝＝＝－－＋50.∵x＋1≥1，∴＋≥2＝8，∴W≤42，当且仅当＝，即x＝7时，W有最大值42，9
即当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元．9
