考点26几何体的表面积一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:1.1多面体的面积名称侧面积()全面积()棱柱棱柱直截面周长×+2直棱柱棱锥棱锥各侧面积之和+正棱锥棱台棱台各侧面面积之和++正棱台表中表示面积，分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长.1..2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球侧全表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台上、下底面半径，表示半径.1.3有关柱、锥、台、球的面积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．1.4组合体的表面积的计算方法实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其表面积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积的和或差．1.5空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”15\n．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和．2.命题规律展望：简单几何体的表面积是高考考查的热点和重点之一，主要以简单几何体的三视图为载体考查简单几何体的侧面积或表面积或简单几何体与球切结的球的表面积问题，难度为中低档难度试题，分值为5分.二、题型与相关高考题解读1.简单几何体的侧面积1.1考题展示与解读例1【2022年高考山东文科】一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是A.B.C.D.【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及其侧面积与体积计算，是基础题.【答案】B【解题能力要求】空间想象能力，运算求解能力.【方法技巧归纳】先判断空间几何体的形状，画出直观图，确定各面的形状，再用相关公式计算.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为___________cm2.【答案】18【解析】设正方体棱长为15\n，则正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，圆柱侧面积，故答案为.【变式2：改编结论】已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________．【答案】【解析】已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为，所以圆锥的底面周长：6π，底面半径是：3，圆锥的高是：4，此圆锥的体积为：【变式3：改编问法】已知曲线＝2（x≥0，y≥0）和x＋y＝围成的封闭图形为，则图形绕y轴旋转一周后所形成几何体的表面积为A.πB.（8＋4）πC.（8＋2）πD.（4＋2）π【答案】D【解析】封闭图形为，如图所示：该几何体的表面积由两个部分组成：第一部分为半圆的表面积为S1=2πR2，R=，∴S1=4π，第二部分为圆锥的侧面积S2，S2=πRl，R=，l=2，S2=2π，故S=（4+2）π，故选D。2.简单几何体的三视图为载体简单几何体的表面积或侧面积问题2.1考题展示与解读例2【2022高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）15\n（A）（B）（C）（D）【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及其对应几何体表面积的计算，是基础题.【答案】C【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】先由三视图画出对应几何体的直观图，根据三视图，标出几何体中有关量的长度，几何体各面的的形状，利用公式求出各个面的面积，即可求出几何体的体积.2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）.A.1+3B.1+22C.2+3D.22【答案】C【解析】由三视图还原几何体如图所示：15\n三棱锥O−ABC,OE⊥底面ABC,EA=ED=1,OE=1,AB=BC=2，∴AB⊥BC，∴可判断;△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC=×2×1=1，S△OAB=S△OBC=34×22=32，∴该四面体的表面积：2+3，故选C.【变式2：改编结论】一个空间几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则图中的值为____________.【答案】5【解析】由三视图可知，原图形为底面边长为，高为的正四棱锥，侧面高，所以该几何体的表面积.，解得。【变式3：改编问法】一个几何体的三视图如图，若它的表面积为20+25，则它的体积为.【答案】2015\n.2.球的表面积问题3.1考题展示与解读例3【2022年全国高考新课标（I）文科】已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______.【命题意图探究】本题主要考查球的截面圆性质及球的表面积公式，是基础题.【答案】【解析】过H的截面与球体上下分别交于M、N两点，三角形AMN为直角三角形，因为MH=1，由射影定理可知，AH=，BH=，所以球体的半径为，故表面积.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球的表面积问题，利用球的截面圆性质求出球的半径，利用球的表面积公式计算.3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】三棱锥中，，，，则该几何体外接球的表面积为_______________.【答案】【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为，表面积为15\n【变式2：改编结论】一个平面截表面积为的球所得截面圆的面积为，则球心到该平面的距离______.【答案】2【解析】设球的半径为R，截面圆半径为r，则，，解得R=,r=1，所以球心到截面圆的距离为=2.【变式3：改编问法】已知A,B,C三点在表面积为的球O的表面上，ΔABC是边长为43的正三角形，则三棱锥O-ABC的体积为__________．【答案】三、课本试题探源必修2P36页复习参考题A第6题：如图是一个漏斗形铁管接头，它的母线长是35cm，两底面直径分别是50cm和20cm，制作1万个这样的接头需要多少平方米铁皮（π取3.1，结果精确到1m2）.【解析】一个漏斗形铁管接头需要的铁皮的面积为=3797.5，所以制作1万个这样的接头需要铁皮面积为10000×3797.5÷10000≈3798.四．典例高考试题演练1.【2022届黑龙江省大庆中学上期开学考】一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于（）15\nA.B.C.D.6【答案】B【解析】由已知得该几何体为三棱柱，面积，故选B.2.【2022届河南三门峡市外高9月考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4，左右为边长是4的正方形，∴该几何体的表面积为2×4×4+2π×2×4+2(4×4−π×22)=64+8π=8(π+8).故选B.3.【2022届安徽省合肥市调研性检测】15\n一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中俯视图和侧视图图弧部分为半圆，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由三视图知，该几何体由球和半圆柱组成，球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为2，所以该几何体的表面积为，选A.4.【2022届福建省莆田第六中学第一模】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A.2B.C.D.【答案】D【解析】该几何体是一个底面半径和高都是2的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为,故选D.5.【2022届黑龙江省佳木斯市鸡东县二中上期第一次月考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）15\nA.B.C.D.【答案】D【解析】几何体如图，所以表面积为，故选D.6.【2022届福建省数学基地校总复习】某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为一个组合体，最上面为一个长方体，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体，所以该几何体的表面积为选C.7.【2022届全国模拟】某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）15\nA．B．C．D．【答案】A8.【2022届云南省楚雄州一模】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．96B．C．D．【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2，∴几何体的平面部分面积为6×42﹣π×22=96﹣4π，圆锥的侧面积为=4，∴几何体的表面积为96﹣4π+4，故选：C．9.【2022届湖南省郴州市三模】15\n一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A．4+2B．4+C．4+2D．4+【答案】A10.【2022届云南省师范大学附属中学月考（二）】已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）15\nA.12+22+26B.12+2+26C.12+22+6D.12+2+6【答案】A【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=2，AD=4，BC=2，经计算，PD=25，PC=23，DC=22，∴PC⊥CD，∴S△PAB=12×2×2=2，S△PAD=12×2×4=4，S△PBC=12×2×22=22，S△PCD=12×22×23=26，SABCD=12×(2+4)×2=6，∴S表=12+22+26，故选A．11.【2022届湖北省华师一附中9月调研】已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设内接圆柱的底面半径为，母线长为，则，即，则该圆柱的全面积为，因为，所以当时，内接圆柱的全面积的最大值为；故选B.12.【2022届广西省上学期教育质量诊断性联合考】长、宽、高分别为2,1,2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】该球的半径表面积.13.【2022届黑龙江省富锦市一模】如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为 ．15\n【答案】414.【2022届上海松江区二模】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 【答案】4π【解答】这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，所以圆锥的母线长==2，所以该几何体的侧面积=•4π•2=4π．15.【2022届浙江杭州二模】若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3，表面积是 cm2．15\n【答案】40，32+16【解答】由该几何体的三视图，知该几何体是三棱柱与两个相同的四棱锥的组合体，如图所示；该组合体的体积为V=+V三棱柱DEG﹣CFH+=×（2×4）×3+（×4×3）×4+×（2×4）×3=8+24+8=40（cm3）；它的表面积为S=+2S梯形ABCD+2=8×4+2××（4+8）×+2××4×=32+16cm215
