专题对点练26 坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2022全国Ⅰ,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.2.(2022全国Ⅱ,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=4sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=1+tcosα,y=2+tsinα(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.3.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosφ,y=sinφ(其中φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ(tanα·cosθ-sinθ)=1 α为常数,0<α<π,且α≠π2,点A,B(A在x轴下方)是曲线C1与C2的两个不同交点.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.4.已知曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换x'=12x,y'=13y得到曲线C',以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C'的极坐标方程;(2)若过点A32,π(极坐标)且倾斜角为π6的直线l与曲线C'交于M,N两点,弦MN的中点为P,求|AP||AM|·|AN|的值.2\n专题对点练26答案1.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.2.解(1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-4(2cosα+sinα)1+3cos2α,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.3.解(1)曲线C1的参数方程为x=2cosφ,y=sinφ(其中φ为参数),普通方程为x24+y2=1;曲线C2的极坐标方程为ρ(tanα·cosθ-sinθ)=1,直角坐标方程为xtanα-y-1=0.(2)C2的参数方程为x=tcosα,y=-1+tsinα(t为参数),代入x24+y2=1,得14cos2α+sin2αt2-2tsinα=0,∴t1+t2=2sinα14cos2α+sin2α,t1t2=0,∴|AB|=2sinα14cos2α+sin2α=83sinα+1sinα.∵0<α<π,且α≠,∴sinα∈(0,1),∴|AB|max=433,此时B的坐标为±423,13.4.解(1)C:x=2cosθ,y=3sinθ⇒x24+y23=1,将x'=12x,y'=13y⇒x=2x',y=3y'代入C的普通方程可得x'2+y'2=1.因为ρ2=x2+y2,所以曲线C'的极坐标方程为C':ρ=1.(2)点A32,π的直角坐标是A-32,0,将l的参数方程x=-32+tcosπ6,y=tsinπ6代入x2+y2=1,可得4t2-63t+5=0,∴t1+t2=332,t1·t2=,∴|AP||AM|·|AN|=t1+t22|t1t2|=335.2
