宁夏省期末模拟试题分类汇编第7部分:.立体几何一.选择题1．（宁夏22）已知直线、和平面、b满足⊥，⊥b，则（）A．B．//或C．D．∥或答案：（D）2．（宁夏22）、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：①若，则;若，则;③若，则;若，则.其中真命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④答案：（A）3．（宁夏22）如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（）A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑥D．模块③，④，⑤答案：（A）4.（宁夏22）某几何体的三视图如图所示，当取最大值时，这个几何体的体积为（）11/11\nA．B． C．D．答案：（D）5.211正视图211侧视图俯视图（宁夏22）已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位:cm)，可得这个几何体的体积是()A．B．C．D．2答案：（C）6.（宁夏22）已知不同的直线，不同的平面，则下列条件中能推出的是（）A．，，B．C．，D．，，答案：（C）二.填空题1．（宁夏22）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是答案：（）2．一几何体的三视图如右右，它的体积为．答案：（）3．（宁夏22）在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面内任意一条直线∥平面，则；③若平面与平面的交线为，平面内的直线⊥直线，则⊥；11/11\n④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是三角形的外心；⑤若平面内的直线垂直于平面，那么⊥；其中正确的命题为______________。(填上所有正确命题的序号答案：（②④⑤）4．（宁夏22）如图,正的中线与中位线相交于,已知是绕旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:①动点在平面上的射影在线段上;②恒有平面;③三棱锥的体积有最大值;④异面直线与不可能垂直.其中正确的命题的序号是.答案：（①②③）5．（宁夏22）设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）。A.，若，则B.，，若，则C.，若，则D.，是在内的射影，若，则答案：（C）6．（宁夏22）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥β，n∥β，m、nα，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，nγ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n；其中所有正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：（B）CABC1A1B13ABC主视图左视图俯视图7．（宁夏22）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：11/11\n①若m∥β，n∥β，m、nα，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，nγ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n；其中所有正确命题的序号是．答案：（.②④）三.解答题1.(试题名称)1．（宁夏22）（本小题满分12分）如图，三棱柱的所有棱长都相等，且底面，为的中点，（Ⅰ）求证：∥（Ⅱ）求证：平面．答案：解：（1）证明1：设G为AB的中点，连结OG、GC∵OGBB1，DCBB1∴ODDC∴OD∥GC又GC平面ABC∴OD∥平面ABC.证明2：设E、F分别为A1A、B1B的中点，连结EF、FD、DE，则EFAB，DEBC∴EF∥平面ABC，DE∥平面ABC∴平面DEF∥平面ABC又OD平面DEF，∴OD∥平面ABC.（2）由题意四边形A1B1BA是正方形，则AB1⊥A1B.连结AD、B1D易证RtΔADC≌RtΔB1C1D∴AD=B1D又O为AB1的中点∴AB1⊥OD又OD平面A1BD∴平面.2．（宁夏22）（本小题满分12分）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（Ⅰ11/11\n）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由；（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；（Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°.答案：解:解法一:（Ⅰ）当点为的中点时，与平面平行.∵在中，、分别为、的中点，∴∥又平面，而平面∴∥平面.………4分（Ⅱ）证明:,.又,又，∴.又,点是的中点,……4分,..………8分(Ⅲ)过作于，连，又∵，则平面,则是二面角的平面角，∴，………10分∵与平面所成角是，∴，∴，.∴，，设，则，，在中，，得.………12分解法二:（向量法）（Ⅰ）同解法一………………4分（Ⅱ）建立图示空间直角坐标系，则，，，.设，则11/11\n∴………8分（Ⅲ）设平面的法向量为，由，得：，而平面的法向量为,∵二面角的大小是,所以=，∴，得或（舍）.………………12分3．（宁夏22）（本小题满分12分）已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形,设D为AA1的中点。（1）作出该几何体的直观图并求其体积；（2）求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；（3）BC边上是否存在点P，使AP//平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。答案：：由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如上图所示。∵几何体的底面积…………5分（2）证明：连结B1C交BC1于E点，则E为BC1、B1C的中点，连结DE。∵AD=A1D，AB=A1C1，∠BAD=∠DA1C1=90°∴△ABD≌△DA1C1，∴BD=DC1，∴DE⊥BC1。…………7分同理DE⊥B1C又∵B1C∩BC1=E，∴DE⊥面BB1C1C，又∵DE面BDC1，∴面BDC1⊥面BB1C1C…………10分（3）解：取BC的中点P，连结AP，则AP∥平面BDC1…………12分证明：连结PE，则PE平行且等于AD，∴四边形APED为平行四边形，∴AP∥DE，又DE平面BDC1，AP平面BDC1，∴AP∥平面BDC1。4．（宁夏22）（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）已知点E在PD上，且PE:ED=2:1，点F为棱PC11/11\n的中点，证明BF//平面AEC。（3）求四面体FACD的体积;答案：证明：（I）因为在正方形ABCD中，AC=2∴AB=AD=可得：在△PAB中，PA2+AB2=PB2=6。所以PA⊥AB同理可证PA⊥AD故PA⊥平面ABCD（4分）（II）取PE中点M，连接FM，BM，连接BD交AC于O，连接OE∵F，M分别是PC，PF的中点，∴FM∥CE，又FM面AEC，CE面AEC∴FM∥面AEC又E是DM的中点OE∥BM，OE面AEC，BM面AEC∴BM∥面AEC且BM∩FM=M∴平面BFM∥平面ACE又BF平面BFM，∴BF∥平面ACE（4分）（3）连接FO，则FO∥PA，因为PA⊥平面ABCD，则FO⊥平面ABCD，所以FO=1，S⊿ACD=1，∴VFACD=VF——ACD=（4分）．5．（宁夏22）（本小题满分12分）ABCDEFGP如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（1）求证：PA∥平面EFG；；（2）求三棱锥P-EFG的体积．HABCDEFGP答案：（1）证法1：如图，取的中点，连接，∵分别为的中点，∴．∵分别为的中点，∴．∴．∴四点共面．……………………………………………………2分∵分别为的中点，∴．…………………………4分∵平面，平面，11/11\n∴平面．………………………………………………………6分证法2：∵分别为的中点，∴，．………………………………………………2分∵，∴．∵，，∴平面平面．…………4分∵平面，∴平面．……………………………………6分（2）解：∵平面，平面，∴．∵为正方形，∴．∵，∴平面．……………………………………8分∵，，∴．……………10分∵，∴．………………………………126．（宁夏22）（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，ＢＡＤＣＦＥF为CE上的点，且BF⊥平面ACE（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥C-BGF的体积。答案：解：（1）证明：∵平面，，∴平面，则----------------2分ＢＡＤＣＦＥ又平面，则平面----------------4分（2）由题意可得是的中点，连接平面，则，而，是中点---------6分在中，，平面--8分（3）平面，，而平面，平面是中点，是中点，11/11\n且，---------9分平面，，中，，---------10分---------11分---------12分7．（宁夏22）（本小题满分12分）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积;（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.答案：解:（Ⅰ）三棱锥的体积.---------4分（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行.∵在中，、分别为、的中点，∴∥，又平面，而平面，∴∥平面.…………8分（Ⅲ）证明:,，又,又，∴.又,点是的中点,,.11/11\n.----------12分AEBCD8．（宁夏22）(本小题满分12分)如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点，(1)设侧面ABC与底面BCD所成角为α，求tanα.(2)设CE与底面BCD所成角为β，求cosβ.(3)在直线BC上是否存在着点F，使直线AF与CE所成角为90°，若存在，试确定F点位置；若不存在，说明理由。答案：解：(1)连AF、DF，由△ABC及△BDC是正三角形，F为BC中点，得AF⊥BC，DF⊥BC，AF=DF∴∠AFD为二面角A-BC-D的平面角设棱长为a，在△ABC中，AF=，DF=在△AFD中，∴(2)法一：∵BC⊥面ADF，BC面BCDAEBCDyOxz∴面ADF⊥面BCD在面ADF中，过E作EG⊥DF，则EG⊥面BCD，连CG，则∠ECG=又AF=DF，E为AD中点，故EF⊥AD在Rt△DEF中，EF=DE=，由得在Rt△CEG中，法二：设AO⊥面BCD于O，则O为等边三角形，BCD为中心，设BC中点为M，CD中点为N，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系0-xyz，设棱长为2a，则0(0,0,0)，A(0,0，a),C(a,a,0),D(-a,0,0)，E(-a,0,a)∴0,0，a，(-a,-a,a)∴cos<>=∴CE与面BCD所成角的余弦值为cos=sin<>=(3)法一：设F(a,y,0)，则又∴，∴y=-2a11/11\n∴F(a,-2a,0),即F在CB处长线上，且FB=BC法二：设，∵B、C、F三点共线，∴又∵∴∴∴∴F在CB延长线上，且FB=BC11/11
