2022年高考临考模拟卷（三）数学（新高考卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：因为集合，所以，故选：B.2．已知复数z满足．则（ ）A．1B．2C．D．【答案】D【详解】，所以.故选：D3．如图1，在高为h的直三棱柱容器中，，．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高h为（ ）A．3B．4C．D．6【答案】A【详解】在图1中，在图2中，，.故选：A.4．设函数，，，则函数的图象与轴所围成图形中的封闭部分面积是（ ）A．6B．8C．7D．9【答案】C【详解】图象，如图1，把的图象向下平移一个单位长度，再把x轴下方部分沿着x轴翻折，得到的图象，如图2，再把的图象向下平移2个单位长度，在把把x轴下方部分沿着x轴翻折，得到的图象，如图3，则与轴所围成图形中的封闭部分面积为故选：C5．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（ ）A．B．C．D．【答案】D【详解】，由，可得，当时，，故函数的图象关于点对称，由等差中项的性质可得，所以，数列的前项和为.故选：D.6．过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】B【详解】由抛物线的方程可得焦点，渐近线的方程为：，由，可得由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作垂直于准线于，准线交x轴与N,则,故，故,而x轴，故,所以直线的倾斜角为，所以直线的方程为，设，，，，联立，整理可得：，可得，所以的中点的横坐标为3，则线段的中点到准线的距离为，故选：B．7．如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB边内侧钻5个孔，在BC边内侧钻4个孔，AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔可连成20条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（ ）．A．190B．199C．69D．60【答案】C【详解】在AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔中各取两个可构成四边形，当这些四边形对角线的交点不重合时，钻孔最多，所以最多可以钻的孔数为个．故选：C8．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】设切点为，，曲线在切点处的切线方程为，整理得，所以．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，则的取值范围是．故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知向量，将向量绕坐标原点逆时针转角得到向量，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】以,为邻边作平行四边形，则，即，故，即不正确，正确；∵,∴可设，又∵，∴由余弦定理得,即正确；∵,∴四边形为菱形，又∵，，故，即正确.故选：.10．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（ ）A．高三年级学生平均学习时间最长B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C．大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠【答案】BC【详解】根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确.学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比.睡眠时间长于学习时间的占比，C选项正确.从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D选项错误.故选：BC11．已知圆，一条光线从点射出经x轴反射，下列结论正确的是（ ）.A．圆C关于x轴的对称圆的方程为B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为C．若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则D．若反射光线与圆C交于M、N两点，则面积的最大值为【答案】ABD【详解】由，得，则圆心，半径为1，对于A，圆关于x轴的对称圆的方程为，所以A正确，对于B，因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过圆心，所以入射光线所在的直线过点，因为入射光线过点，所以入射光线所在的直线的斜率为，所以入射光线所在直线方程为，即，所以B正确，对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，因为，所以，所以C错误，对于D，设，，则圆心到直线的距离为，，所以，所以当，即时，面积取得最大值，所以D正确，故选：ABD12．如图，梯形ABCD中，，，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将△ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（ ）A．MN和BC不可能平行B．AB和CD有可能垂直C．若AB和CD所成角是，则D．若面ACD⊥面ABC，则三棱锥的外接球的表面积是28π【答案】AD【详解】对于A，若MN和BC平行，则N应该在DM上，但在旋转过程中，N不可能在DM上，所以MN和BC不可能平行，则A正确；对于B，当不在平面中时，若，因为，，故平面，而平面，故平面平面，过作，垂足为，因为平面平面，平面，故平面，而平面，故，故，矛盾，当当在平面中时，也不成立，故B错误.对于C，因为在未旋转时AB和CD是平行的，若某一时刻AB和CD所成角是，即CD与旋转后的所成角为，如下图.当△ACD旋转到，即在平面ABCD内，此时因为，则，所以，AB和CD所成角是，即和CD所成角是.此时旋转到，取AC的中点，连接，则，所以，则在三角形中，，所以C错误；对于D，因为，所以的外接圆的圆心在的中点上，在中，因为，所以为钝角三角形，则外接圆的圆心在外，则的中垂线和的中垂线的交点即为，过做平面的垂线，过做平面的垂线，两垂线的交于点，与重合，即即为外接球的球心，则，则，，所以，则三棱锥的外接球的表面积是，所以D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为______.【答案】或【详解】因为当时，单调递增，且，所以等价于.因为为偶函数，所以，解得或，即不等式的解集为或故答案为：或．14．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的离心率等于___________.【答案】##【点睛】双曲线的渐近线方程为，即，圆的圆心为，半径为2，因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，所以，即，所以，，所以，则，所以离心率，故答案为：15．将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm．【答案】【详解】设弯成圆的一段铁丝长为，则另一段长为100－x．设正方形与圆形的面积之和为S，则正方形的边长，圆的半径．故．所以，令S′＝0，则x＝．由于在内，函数只有一个导数为的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x＝cm时，面积之和最小．故答案为：.16．将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（）的周长为__________，图（）的面积为___________．【答案】 【详解】解：第一个三角形的周长为，观察发现：第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了实验室的周长的，第三个在第二个的基础上多了其周长的，所以第二个图形的周长为，第三个图形的周长为，第四个图形的周长为，……，所以第个图形的周长是第一个周长的倍，所以第个图形的周长为，由题意可知，第个图形的边长都相等，且长度变为原来的，则边长的递推公式为，，所以，边数的递推公式为，，则，第一个图形的面积为,当时，，则四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知是数列的前项和，，___________.①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，即数列、均为公差为的等差数列，于是，又，，，所以；选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，得，所以，所以的公差为，得到，则，当，.又满足，所以，对任意的，.(2)解：因为，所以.18．羽毛球看似小巧，但羽毛球运动却有着丰富的文化内涵，简洁的场地､几个人的组合，就可以带来一场充满乐趣､斗智斗勇､健身休闲的竞技比赛，参与者可以根据自己的年龄､性别､身体条件､技术水平，选择适合自己的运动强度和竞技难度.小胡和小李两名员工经常利用业余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛小胡获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立.(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；(2)若现在是小胡的比分落后，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)234期望【解析】(1)恰好打了6局小胡获胜的概率是，恰好打了6局小李获胜的概率为，所以结束时恰好打了6局的概率为.(2)的所有可能取值为，则，，，所以的分布列如下：234所以.19．在中，角的对边分别，.(1)求；(2)若的周长为4，面积为，求.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为，所以，即，所以，因为，所以,所以又，故，所以，即；(2)解：由余弦定理，得，即，又，所以，即整理得，由面积为，即，所以，.20．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．(1)证明：；(2)已知是边长为1的等边三角形，且三棱锥的体积为，若点在棱上，且二面角的大小为，求．【答案】(1)证明见解析(2)2【解析】(1)证明：因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，(2)取的中点，因为为等边三角形，所以，过作∥，与交于，则，由（1）可知平面，因为平面，所以，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为是边长为1的等边三角形，为的中点，所以，因为三棱锥的体积为，所以，所以，所以，设（），则，则因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，因为，所以，令，则，，所以，因为二面角的大小为，所以，化简得，解得或（舍去），所以，21．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，直线和的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值.【答案】(1)；(2)证明见详解．【解析】(1)离心率为，则∴又∵点是椭圆上一点，∴，又解得因此，椭圆的方程为(2)证明:：当直线AB的斜率不存在时，不妨设，则，又，解得，根据椭圆的对称性，不妨取,则，则,所以;当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，设点联立，得，则因为，得，即，所以，，解得，，原点到直线AB的距离为，因为且所以（定值），综上述四边形ABCD的面积为定值．22．已知函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求，的值；(2)若，是两个正数，且，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析.【解析】(1)解：，因为曲线在点处的切线方程为，所以，即，解得所以(2)解：由（1）知，令，所以，所以函数在上单调递增，因为，是两个正数，且所以，不妨设，当时，命题显然成立，得证.当时，令所以所以当时，，故所以函数在上单调递增，所以即，所以，因为，所以所以，因为函数在上单调递增，所以，即.综上，，证毕.
