高考数学临考最后热身卷这是一套在考前供考生进一步熟悉高考数学试题所需主要知识与方法的试卷，绝不是什么押题、猜题卷，本试卷对一些相对次要的内容也没有涉及（如函数零点、几何概型、统计初步、统计案例等），希望使用者注意。实际上高考数学试题是很难被我们原封不动命中的，解答高考数学试题是靠考生对考试大纲上所规定的基本知识、基本方法的熟练掌握以及分析问题、解决问题的能力，也可以说是对解题的迁移能力完成的，本试卷仅仅供高考考前热身只用！一选择题（每题5分，满分60分）1．已知是虚数单位，和都是实数，且，则等于（）A．B．C．D．【解析】A根据复数相等的充要条件，，故．【考前寄语】复数的考查重在概念与代数形式的四则运算，注意两个复数相等的充要条件、复数除法的运算规则．2.一个容器的外形是一个棱长为的正方体，其三视图如图所示，则容器的容积为（）A.B.C.D.【解析】C容器的内部是一个圆锥，高为，底面半径为，故其体积为．【考前寄语】三视图的规则是“长对正、高平齐、宽相等”，注意实际几何体的可见轮廓线在三视图中是实线、不可见轮廓线是虚线．3．已知函数的图象，（部分）如图所示，则的解析式是（）A．B．C．D．14/14\n【解析】A根据五点法作图的方法，解得．【考前寄语】三角函数的图象反应了三角函数的性质，是高考重点考查的一个知识点．注意“五点法作图”规则的“逆用”，如本题中如果是用五点法作函数图象，那么函数图象上点中的，就是令求出来的，必然适合这个方程，同理适合方程．4．阅读右侧的算法框图，输出的结果的值为（）A．B．C．D．【解析】A该程序的功能是计算的值，根据周期性，这个算式中每连续个的值等于，故这个值等于前个的和，即．【考前寄语】带有循环结构的程序框图中，其关键作用是是计数变量和累加变量，在解题时要注意“循环变量的控制条件”和“累加变量的变化规律”．5．设全集，若集合，则为（）A．B．或C．或D．【解析】C，故集合，或，即或（无解），即，故集合，集合，故．【考前寄语】带有绝对值的不等式是山东的一个重要考点．同学们要熟悉大纲要求的几类绝对值不等式的解法．6．对于二项式（），四位同学作出了四种判断：14/14\n①存在，展开式中有常数项；②对任意，展开式中没有常数项；③对任意，展开式中没有的一次项；④存在，展开式中有的一次项.上述判断中正确的是A.①与③B.②与③C.①与④D.②与④【解析】C展开式的通项公式是，故只要存在正整数和自然数使即可，如，故存在，展开式中有常数项；同理存在，展开式中有的一次项．【考前寄语】二项式定理的核心是其通项公式，同时要注意特殊值法在于二项式定理有关问题中的应用．7.若，则的值为．．．．【解析】C，∴．于是，．【考前寄语】三角恒等变换主要是考查两角和、二倍角的正弦、余弦和正切公式的应用，特别要注意二倍角的余弦公式及其各个变形的运用．8．若，命题；命题直线与圆相交，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】A命题等价于，命题等价于即，显然由命题可得命题，反之不真．【考前寄语】解题时注意隐含条件的挖掘，如本题中等价转化就需要把隐含的条件找出来．注意从集合的观点认识充要条件．9．设实数满足，则的取值范围是（）A．]B．C．D．【解析】C在坐标平面上点所表示的区域如图所示，令，根据几何意义，的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然点是其中的两个临界值，点14/14\n，点，故，，这个关于的函数在上单调递减、在上单调递增，故其最小值为，最大值为两个端点值中的大者，计算知最大值为．【考前寄语】线性规划类考题已经不仅仅局限在目标函数是线性的，但解决问题的思想方法是一致的，在解决这类问题时，要注意分析目标函数，进行适当的转化．10.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是()A. B.C. D.【解析】，因为在上为减函数，故在上恒成立，即在上恒成立，等价于在上的最大值．设，，故，，选答案D．【考前寄语】如果是给出一个函数求其单调递减区间，我们只要解不等式即可，但当已知一个函数在一个指定区间上单调递减时，必须是在这个区间上恒成立、但不恒为．这类问题一般就是转化为一个不等式恒成立问题，这个不等式如果能分离参数、分离参数是一个有效的策略．11.在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则的值为．．．．【解析】A建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，知，，，∴，，，∵，∴，即，解得，∴．故选A．14/14\n【考前寄语】本题考查的是平面向量基本定理的应用，同学们的一般心理是直接在三角形中寻找问题的答案，想不到建立坐标系、通过向量的坐标运算解决，这个题目给大家提个醒，在适合建立坐标系的情况下，向量问题用坐标解决更为方便．12.将红、黑、白三个棋子放入如图所示的小方格内，每格内只放一个，且个棋子既不同行也不同列，则不同的放法有（）A.种B.种C.种D.种【解析】A问题可以这样考虑，先在四行选一行、四列选一列，安放红色棋子，有方法数，这样还剩余三行三列，同样选一行一列安放黑色棋子，有方法数，同理白色棋子的安放方法数为，故总的方法数为．【考前寄语】有限制的排列、组合问题是高考考查的重点，解决这类问题要考虑特殊位置或特殊元素，一般是先解决这类特殊的问题．二填空题（每题4分、共16分）13.在中，则的长为．【解析】依已知条件，根据正弦定理得，两式相加得，即，即．【考前寄语】正、余弦定理是高中数学的两个重要定理，注意这两个定理的变形．在涉及到三角形边角关系的题目中，正、余弦定理是实现边角转化的工具，要结合题目的具体环境，实现这个转化，但一般来说，把边的关系转化为角的关系、通过三角恒等变换解决问题是常用的思考方式．14．已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则该双曲线的离心率为.【解析】，根据对称性，两曲线交点连线垂直于轴，对双曲线这两个交点连线的长度是、对抛物线这两个交点连线的长度是，即，故，故，即，即，解得．【考前寄语】在求椭圆、双曲线离心率的题目中，就是寻找所满足的一个方程，只要这个方程找出来了，就可以将其转化为只含有的方程，很多问题中这个关于的方程是一个齐次方程，就可以通过把这个方程两端同除以等，把其转化为一个关于离心率的方程，解这个方程就可以解决问题．要注意的是椭圆和双曲线中关系是不同的14/14\n，许多同学就是把这个关系弄错，导致解题失误的．15.曲线，直线所围成的区域的面积是．【解析】如图所示，这个面积等于定积分．【考前寄语】定积分的主要考查点就是利用微积分基本定理计算定积分和其在求曲边形面积中的应用．积分计算是导数计算的逆运算，解题时要根据导数公式检验积分运算．16．对于任意的实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【解析】问题等价于，而，故，又，故，根据绝对值的几何意义的范围是．【考前寄语】绝对值三角不等式是山东的一个重要考点，本题的目的是让同学们会使用绝对值三角不等式求最值．再举个例子，如求函数的最小值，就可以根据直接解决．三解答题（本题满分74分）17.（本小题满分12分）如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为（即），现有可供建造第三面围墙的材料米（两面墙的长均大于米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记，问当为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？【解析】在中，，化简得，，所以14/14\n即所以当即时，=答：当时，所建造的三角形露天活动室的面积最大．【考前寄语】三角函数解答题主要是以三角恒等变换为工具，综合考查三角函数的图象与性质，往往与平面向量的数量积、解三角形相结合，本题就是以一个简单的实际问题出发设计的一个考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、三角函数性质的题目，完整解答该题必须对三角恒等变换十分熟练．18.（本题满分12分）某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中题的便可通过考查.已知道备选题中考生甲有题能正确完成，题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.求：（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.【解析】（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为、，则取值分别为；取值分别为．，，．∴考生甲正确完成题数的概率分布列为．∵，同理：，，．∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：．14/14\n（2）∵，．（或）．∴．∵，，∴．从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．【考前寄语】理科的概率统计解答题，一般就是以实际问题为背景，综合考查概率计算、随机变量的期望与方差计算等问题的题目．其中的重要考查点是：通过排列、组合计算概率，通过事件的互斥（包括对立）、事件的相互独立性计算概率，通过二项分布模型计算概率，计算随机变量的分布列、期望与方差，特别是二项分布的期望与方差．19.（本题满分12分）已知函数，数列满足，，．（1）求证：；（2）求证：是递减数列；（3）设的前项和为，与是否有确定的大小关系，如果有给出证明，如果没有给出反例．【解析】由已知数列满足．（1）得，故，假设时，，，，，则当时，，由数学归纳知对一切的正整数都成立．（2），故，是递减数列．（3）由（2）得，故，14/14\n所以．【考前寄语】山东的考试说明增加了用放缩法证明不等式，本题就是根据这个新形势命制的．本题第一问是用数学归纳法证明不等式，数学归纳法是解决与正整数有关问题应该注意的一个方法；本题第二问是用作商比较和放缩的方法证明不等式，通过数列的递推关系把问题都归结为是关键；第三问重点考查放缩法证明不等式，希望同学们注意体会这个方法．20.（本题满分12分）已知直角梯形中，，过作，垂足为，分别为的中点，现将沿折叠使二面角的平面角的正切值为.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值；（3）求二面角的大小．【解析】（1）取中点，连接，，又为中点，平面，平面，，同理可证，平面，平面平面，平面平面．（2）延长，过作垂直直线于，易证平面，，，二面角的平面角的正切值为，∴∵，∴，，过点做，以为原点，以射线分别为的正方向建立直角坐标系（如图）则，，，，，，，．14/14\n，，∴异面直线与所成的角余弦值为．（3）取中点，易证平面，所以面一个法向量为，，设平面的法向量为则，取得得平面的一个法向量为∴∴二面角的大小为．【考前寄语】理科的立体几何解答题，一般的命题方式是一个设问考查空间线、面位置关系的证明，解决的方法以传统几何的证明方法为主，主要依据就是平面的性质、空间线面位置关系的判定定理和性质定理；另一个设问是几何量的计算，一般是二面角的计算，主要的命题思想是考查用空间向量解决计算问题，主要的解题依据就是空间角的几个计算公式．21.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆的方程为，由已知得，，，椭圆的方程为．（2）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：14/14\n①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由，得，即，，，所以，对于任意的值，为定值，所以，得，所以；②当直线的斜率不存在时，直线，由得．综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为．法二：假设存在符合条件的点，又设则：，=．①当直线的斜率不为时，设直线的方程为，由，得，，．设则14/14\n，，．②当直线的斜率为时，直线，由得：．综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为．【考前寄语】定点、定值问题是解析几何考查的热点题型之一，这类问题的一个基本思想是等式的恒成立，即一个等式如果对其中一个变量取任意值都成立，必须关于这个变量的系数都等于．22．（本题满分14分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值．【解析】（1），，由得，解得或．注意到，所以函数的单调递增区间是．由得，解得，注意到，所以函数的单调递减区间是．综上所述，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）当时，，所以，设．①当时，有，此时，所以，在上单调递增．所以．②当时，，令，即，解得或(舍)；令，即，解得．若，即时，在区间单调递减，所以．若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．14/14\n若，即时，在区间单调递增，所以．综上所述，当时，；当时，；当时，．【考前寄语】本题主要考查用导数研究函数与分类讨论思想．求闭区间上的函数最值，基本思想方法就是根据函数的单调性、函数的极值、区间的端点值进行分类讨论．最提供一位数学名师的文章，作为总的考前寄语：信心加审题加细节等于成功天津实验中学特级教师王连笑 同学们就要进考场了，参加数学高考的考生要注意什么呢？下面是我个人的几点建议。 第一是不打无准备之仗：除了证件和文具的准备之外，关键的是做好知识的准备，考前要检查自己在高中学习的数学知识是否还有漏洞，是否有遗忘或易混的地方；其次是对解题常犯错误的准备，再看一下自己的错误笔记，争取在高考答卷时，不犯或少犯过去曾犯过的错误。 第二是充满信心和霸气：影响考试发挥的最重要的因素是心态。进考场要一身霸气，要信心十足，要相信自己已经读了一千天的高中，进行了三百多天的复习，做了三千至四千道题，养兵千日，用兵一时，现在是收获的时候，自己会取得好成绩的。反过来，如果进考场就底气不足，必定会影响自己的发挥。 第三是集中精力审题：审题是高考成败的关键，在高考答卷中，往往成也审题，败也审题。关于审题可以用这样的自我提示语，包括：（１）这个题目有哪些个已知条件？我能不能把已知条件分开？（２）求解的目标是什么？对求解有什么要求？（３）能不能画一个图帮助思考？（４）所给出的已知条件相互之间有什么关系？能不能从中发现隐含条件？（５）已知条件与求解目标有什么联系？能不能从中获得解题的思路？找到进门的门槛？（６）能不能先从已知条件导出某些有用的东西？（７）观察整个题目，联想我自己过去做过的题，我是否做过与此有关的问题？是否做过表面上不同，实际上类似的问题？这个题目是否好像见过面？ 第四是更加重视自己会做的题目：高考考试重要的是“不怕不会，就怕不对”。实际上，高考的较量是大家都会做的题目的较量，因为，你不会做的题目，别人也可能不会，这时，大家都拿不到分数，然而，你会做的题目，还有许多人会做，如果你做错了，而别人做对了，差距就变大了，有些同学往往对自己会的题目容易大意，精神集中不起来，犯了低级错误，这是最惨的事情。 第五是关注细节，不该丢的分不能丢：解题时，即使大方向都正确，但是不注意细节，照样会犯错误，照样会丢分，不注意细节既是思维品质问题，又是思维能力问题，也是基础知识理解和掌握得不够扎实的表现。许多时候丢分都是不注意细节惹的祸。这里有审题的细节，知识理解的细节，运用公式的细节，忽视检验的细节，解题过程的细节等，在细节上出现的问题会因人而异因此要根据自己的具体情况加以分析和解决关注细节重视细节通过细节的不失误使答题获得成功。 第六是相信“瞬时陌生原理”，及时把生题转化为熟题：解题的过程实际上是一个把生题转化为熟题的过程，高考试题大部分是生题，但是要相信，这些题目只是瞬时陌生，只是你平时曾经做过的某个题目变化来的，只是把某些知识的重新组合，题目的某些方面过去肯定见过面，要相信自己通过审题和转化，就能变成会解的题目。 第七是解题遇阻要重新审题：一般来说，当解题遇阻时，可能是在审题时，有些题设条件没有注意，或者有些隐含条件未被发现，这时重新审题就很重要。 第八是要注意书写和表达要规范：要按老师平时要求的书写格式答卷。 最后，用几句打油诗作为入考场的建议：14/14\n 做过旧题重温习，整理错误记笔记，考试之前再提醒，细节不能出问题。 一身霸气进考场，满怀信心答试题，心平气和来思考，战胜自己就胜利。 先易后难答试卷，要把生题变熟题，遇到难题要冷静，不言放弃做到底。 考试关键在审题，精神集中心要细，草读一遍别下笔，条件目标需熟悉。 解题遇阻再审题，隐含条件要注意，试卷复查审题时，再把运算看仔细。 书写表达要规范，认真分辨类型题，解后检查很必要，该得分数不丢弃。以上建议全做到，考场发挥没问题，沉着自信心态好，大学录取必如意。本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！14/14
