概率的基本性质[A级 基础巩固]1．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝( )A．0.3 B．0.6C．0.7D．0.8解析：选C 因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.2．(多选)在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件．以下结论正确的是( )A．P(A)＝P()B．P(A＋)＝1C．若P(A)＝1，则P()＝0D．P(A)＝0解析：选BCD 由对立事件的性质P(A)＋P()＝1，P(A)＝P()不一定正确，故A错误；由对立事件的概念得A＋＝Ω，即P(A＋)＝P(Ω)＝1，B正确；由对立事件的性质P(A)＋P()＝1知，P(A)＝1－P()，故若P(A)＝1，则P()＝0，C正确；由对立事件的概念得A＝∅，即P(A)＝P(∅)＝0，D正确．故选B、C、D.3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( )A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3解析：选D 从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.显然事件A，B，C两两互斥，则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3.4．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.6
解析：选D 由题意可得即解得<a≤.故选D.5．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率( )A．颜色全同B．颜色不全同C．颜色全不同D．无红球解析：选B 试验的样本空间Ω＝{黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红，红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，其中包含27个样本点，事件“颜色全相同”包含3个样本点，则其概率为＝＝1－，所以是事件“颜色不全同”的概率．6．口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________．解析：由题意，得摸出是黄球的概率为0.64－0.45＝0.19，∴摸出是红球或蓝球的概率为1－0.19＝0.81.答案：0.817．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为________．解析：设事件A＝{3人中至少有1名女生}，事件B＝{3人都是男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝.答案：8．甲、乙两人下围棋，已知甲获胜的概率为0.45，两人平局的概率为0.1，则甲不输的概率为________，乙胜的概率为________．解析：记事件A＝{甲获胜}，事件B＝{甲、乙平局}，事件C＝{甲不输}，则C＝A＋B，而事件A，B是互斥事件，故P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.55.设事件D＝{乙获胜}，则D＝，∴P(D)＝P()＝1－P(C)＝0.45.6
答案：0.55 0.459．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？解：记“响第一声时被接”为事件A，“响第二声时被接”为事件B，“响第三声时被接”为事件C，“响第四声时被接”为事件D.“响前四声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D两两互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率加法公式得，P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.即电话在响前四声内被接的概率是0.9.10．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.用y1，y2分别表示甲、乙抽到的题目，则数组(y1，y2)可表示样本点．样本空间的样本点个数为20.设A＝“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，则A＝{(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)}，共6种；B＝“甲抽到判断题，乙抽到选择题”，则B＝{(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)}，共6种；C＝“甲、乙都抽到选择题”，则C＝{(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)}，共6种；D＝“甲、乙都抽到判断题”，则D＝{(p1，p2)，(p2，p1)}，共2种．易知A，B，C，D两两互斥．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为P(A)＝＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为P(B)＝＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为P(D)＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.6
[B级 综合运用]11．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝( )A.B.C.D.解析：选C ∵抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.故选C.12．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47可以表示为“”，已知用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数共有504种等可能的结果，则这个数至少要用8根小木棍的概率为( )A.B.C.D．解析：选D 至少要用8根小木棍的对立事件为用5根，6根，7根这三种情况．用5根小木棍为1、2、6这一种情况，组成三位数包括6个样本点，用6根有1、2、3，1、2、7，1、6、3，1、6、7这四种情况，同理，每种情况包括6个样本点，共24个样本点．用7根有1、2、4，1、2、8，1、6、4，1、6、8，1、3、7，2、6、7，2、6、3这七种情况，同理，共42个样本点．故至少要用8根小木棍的概率为1－＝.故选D.13．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表：医生人数01234≥5概率0.10.16xy0.2z6
若派出医生不超过2人的概率为0.56，则x＝________，若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，则y＝________．解析：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.答案：0.3 0.214．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1张奖券中奖概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解：(1)∵每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.[C级 拓展探究]15．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间11.522.536
(分钟/人)已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.6
