向量的数量积[A级 基础巩固]1．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )A．60° B．120°C．30°D．150°解析：选A 向量－a与－b的夹角与a与b的夹角相等，夹角为60°.2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )A．－2B．－1C．1D．2解析：选B 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.3．若向量a，b满足|b|＝2，a为单位向量，且a与b夹角为θ＝，则b在a上的投影向量为( )A.aB．－aC．2aD．－2a解析：选B |b|cosθa＝2×cosa＝2×a＝－a，即b在a上的投影向量为－a.4．(多选)下列命题中，正确的是( )A．对于任意向量a，b，有|a＋b|≤|a|＋|b|B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0C．对于任意向量a，b，有|a·b|≤|a||b|D．若a，b共线，则a·b＝±|a||b|解析：选ACD 由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当a⊥b时，a·b＝0，故选项B错误；因为|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，故选项C正确；当a，b共线同向时，a·b＝|a||b|cos0°＝|a||b|，当a，b共线反向时，a·b＝|a||b|cos180°＝－|a||b|，所以选项D正确．故选A、C、D.5．已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( )A．－7B．7C．25D．－255
解析：选D 由条件知∠ABC＝90°，∴原式＝0＋·(＋)＝·＝－2＝－25.6．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝________．解析：根据题意，得|a＋2b|＝＝.答案：7．已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________．解析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.因为AB＝AC，所以BD＝BC＝2，于是||cos∠ABC＝||＝||＝×4＝2.所以·＝||||cos∠ABC＝2×4＝8.答案：88．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝3－2·cosθ＝0，解得cosθ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cosθ＝3＋2×＝6.答案： 69．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a·b的值；(2)求|a＋b|.解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.(2)由(1)，得|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.5
10.如图，在平面内将两块直角三角板拼接在一起，已知∠ABC＝45°，∠BCD＝60°，记＝a，＝b.(1)试用a，b表示向量，；(2)若|b|＝1，求·.解：(1)由题意可知，＝a－b，AC∥BD，BD＝BC＝AC.∴＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝a＋(－1)b.(2)∵|b|＝1，∴|a|＝，a·b＝cos45°＝1，则·＝a·[a＋(－1)b]＝a2＋(－1)a·b＝2＋－1＝＋1.[B级 综合运用]11．定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )A．8B．－8C．8或－8D．6解析：选A cosθ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sinθ＝，∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A.12．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是( )A．|a＋b|＝1B．a⊥bC．(4a＋b)⊥bD．a·b＝－1解析：选CD 分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝，故A错误；(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cos120°＝－1，故D正确．13．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．解析：由题意可画出图形，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.答案：90°5
14．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，则＝x＋y.(1)若＝，求x，y的值；(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．解：(1)若＝，则＝＋，故x＝y＝.(2)因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°，所以∠OBA＝90°，所以||＝2.又因为＝3，所以||＝.所以||＝＝，cos∠OPB＝.所以与的夹角θ的余弦值为－.所以·＝||||cosθ＝－3.[C级 拓展探究]15．已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.(1)若b⊥c，求实数x的值；(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．解：(1)当b⊥c时，b·c＝0，即b·c＝xa·b＋(1－x)b2＝0，－5x＋5(1－x)＝0，解得x＝.(2)c2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝25x2－20x＋5＝25＋1，当x＝时，|c|取最小值1，此时，c＝a＋b.设向量a与c的夹角为θ，则a·c＝|a|·|c|cosθ＝a·＝1，解得cosθ＝5
，故当|c|取最小值时，向量a与c的夹角的余弦值为.5
