复数的乘、除运算[A级 基础巩固]1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)解析：选C A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，(1＋i)2＝2i，2i是纯虚数；D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.2．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D ∵z＝＝＝－i，∴复数z在复平面内对应的点是，位于第四象限．故选D.3．复数＝( )A．－1B．1C．－iD．i解析：选A ＝＝－1.4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )A.B．1C.D．2解析：选B ∵＋＝＋＝＋i，又∵＋是实数，∴＝0，解得a＝1.5．(多选)下列关于复数z＝的四个命题，其中为真命题的是( )A．|z|＝2B．z2＝2i5
C．z的共轭复数为1－iD．z的虚部为－1解析：选BC ∵z＝＝＝1＋i，∴|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为1－i，z的虚部为1.故选B、C.6．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．解析：复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i，实部是2.答案：27．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________．解析：∵z＝1＋i，∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2)＝(1＋i)(－1＋i)＝－3.答案：－38．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则＝________．解析：∵z＝－1－i，∴＝－1＋i，＝＝＝－1＋2i.答案：－1＋2i9．设w＝－＋i，求证：(1)1＋w＋w2＝0；(2)w3＝1.证明：(1)因为w2＝＝－i－＝－－i，所以1＋w＋w2＝1＋＋＝0.(2)w3＝ww2＝＝－＝＋＝1.10．计算：(1)＋(－－i)3＋；(2).解：(1)＋(－－i)3＋5
＝－i＋＋＝－i－8i＋i＝－8i.(2)＝＝＝＝＝－2－2i.[B级 综合运用]11．(多选)已知复数z满足·z＋2i＝3＋ai，a∈R，则实数a的值可能是( )A．1B．－4C．0D．5解析：选ABC 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，∴x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai，∴⇒y2＋2y＋－3＝0，∴Δ＝4－4≥0，解得－4≤a≤4，∴实数a的值可能是1，－4，0.故选A、B、C.12．(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是( )A．若|z1－z2|＝0，则1＝2B．若z1＝2，则1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z11＝z22D．若|z1|＝|z2|，则z＝z解析：选ABC A项，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，真命题；B项，z1＝2⇒1＝z2，真命题；C项，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z11＝z22，真命题；5
D项，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．13．关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，则实数a的值等于________．解析：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，所以解得a＝11或－.答案：11或－14．已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位．(1)求复数z和|z|；(2)若复数z1＝＋－i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，即b＝－2.又＝＝＝＋i为实数，所以＝0，故a＝－2b.又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i，所以|z|＝＝2.(2)z1＝＋－i＝4＋＋i＝＋i.因为z1在复平面内对应的点位于第四象限，所以解得－2<m<或1<m<，故实数m的取值范围为∪.[C级 拓展探究]15．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的根．(1)求p＋q的值；5
(2)复数w满足zw是实数，且|w|＝2，求复数w的值．解：(1)关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1.(2)设w＝a＋bi(a，b∈R)．由(a＋bi)(2＋i)＝(2a－b)＋(a＋2b)i∈R，得a＋2b＝0.又|w|＝2，则a2＋b2＝20，解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，因此w＝4－2i或w＝－4＋2i.5
