课时29带电粒子在复合场中的运动\n考点一 复合场(叠加场)►基础梳理◄1．定义：同时存在电场和磁场的区域，同时存在磁场和重力场的区域，同时存在电场、磁场和重力场的区域，都叫做复合场，也称为叠加场．2．特征：带电粒子在复合场中同时受到电场力、洛伦兹力、重力的作用，或其中某两种力的作用．\n►疑难详析◄重力、电场力、洛伦兹力的特点大小方向做功特点重力mg竖直向下重力做功与路径无关，由初、末位置的高度差决定磁场力Bqv垂直于B、v决定的平面洛伦兹力始终不做功电场力qE平行于E的方向电场力做功与路径无关，由初、末位置的电势差决定\n►深化拓展◄复合场中重力考虑与否的三种情况：(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力．\n(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单．(3)直接看不出是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果，先进行定性确定是否要考虑重力．\n考点二 带电粒子在复合场中的运动分析►基础梳理◄1．带电粒子在复合场中无约束情况下的运动性质(1)当带电粒子所受合外力为零时，将做匀速直线运动或处于静止状态；\n(2)当带电粒子所受合外力充当向心力，一般情况下是重力恰好与电场力相平衡，洛伦兹力充当向心力．带电粒子做匀速圆周运动．(3)当带电微粒所受的合力的大小、方向均不断变化时，粒子将做非匀变速的曲线运动．\n2．带电粒子在复合场中有约束情况下的运动常见的运动形式有直线运动和圆周运动，带电粒子所受约束，通常有面、杆、绳、圆轨道等，此类问题应注意分析洛伦兹力所起的作用．\n►疑难详析◄1．解决复合场类问题的分析方法和基本思路(1)全面、正确的受力分析．除重力、弹力、摩擦力外，要特别注意电场力和磁场力的分析．核心在于洛伦兹力随带电粒子运动状态的变化而改变．\n(2)正确分析物体的运动状态．找出物体的速度、位置及其变化特点，洛伦兹力随带电粒子运动状态的变化而改变，从而导致运动状态发生新的变化，要结合动力学规律综合分析．如果出现临界状态，注意挖掘隐含条件，分析临界条件，列出辅助方程．\n2.带电粒子在复合场中的曲线运动(1)当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动．(2)当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒定律列方程求解．\n(3)由于带电粒子在复合场中受力情况复杂、运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解．注意：带电粒子在复合场中运动的问题，往往综合性较强．物理过程复杂．在分析处理该部分的问题时，要充分挖掘题目的隐含信息，利用题目创设的情景，对粒子做好受力分析、运动过程分析，培养空间想像能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力．\n考点三 复合场的应用——科学仪器原理►基础梳理◄图11．速度选择器：工作原理如图1所示，带电粒子垂直射入正交的匀强电场和匀强磁场的复合场空间，所受电场力和洛伦兹力方向相反，大小相等．\n2．磁流体发电机：如图2所示，等离子喷入磁场区域，磁场区域中有两块金属板a和b，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚集到a、b板产生电势差．最大电势差可达Bdv(B为磁感应强度，d为两板间距，v为喷射速度)．\n3．电磁流量计：如图3所示，电磁流量计是用来测定导电液体在导管中流动时流量的仪器，设导管直径为d，用非磁性材料组成，磁感应强度为B，a、b间测出电势差为U，则流量：\n4．回旋加速器的构造：如图4所示，回旋加速器主要由以下几部分构成：①D形金属扁盒②中心附近粒子源A0③电磁铁提供的磁场B④高频电源U\n图4\n1．速度选择器中凡是符合v＝的粒子顺利通过场区直线出射，凡是不符合v＝的粒子则均向上或向下偏出．当电场力方向与粒子速度方向成锐角时，电场力做正功，动能增大；当电场力方向与粒子速度方向成钝角时，电场力做负功，动能减小．无论带电粒子偏转与否，洛伦兹力均不做功．\n2.磁流体发电机的原理正负离子进入磁场后在洛伦兹力的作用下分别向上下偏转，于是在上下两板间产生电场．后继进入的正负离子除受到洛伦兹力的作用外，还要受到电场力的作用，只要洛伦兹力大于电场力，带电粒子就要继续偏转，极板上就要继续积累电荷，直到带电粒子所受的电场力与洛伦兹力大小相等为止．此后带电粒子进入后就不再偏转，极板上也就不再积累电荷，极板间形成稳定的电势差．由qvB＝qE＝qU/d，可得U＝Bdv.电源电动势大小ε＝U＝Bdv.\n3．回旋加速器的工作原理两个D形金属扁盒均为半圆形，如图5所示，在它们之间留有一个窄缝S，中心附近放有粒子源A0.当粒子源中释放一个速率为v0并垂直进入由电磁铁产生的强大磁场中时，在磁场中做半径较小的匀速圆周运动，半个周期后由磁场B进入加速电场U中，加速后再次进入磁场B中做匀速圆周运动，半个周期后再次由磁场B进入加速电场U中，加速后又进入磁场中做匀速圆周运动……当带电粒子在D形盒内逐渐趋于盒的边缘并达到预期的速率后，用特殊装置把它们引出．\n这样，利用较小的空间，较低的高频电压，完成了对带电粒子的加速，从而获得了高能带电粒子．图5\n\n题型一 带电体在复合场中的直线运动\n[例1]如图6所示，足够长的光滑绝缘斜面与水平面间的夹角为α(sinα＝0.6)，放在水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E＝50V/m，方向水平向左，磁场方向垂直于纸面向外，一个电荷量q＝＋4.0×10－2C、质量m＝0.40kg的光滑小球，以初速度v0＝20m/s从斜面底端向上滑，然后又下滑，共经过3s脱离斜面．求磁场的磁感应强度．(g取10m/s2)．\n图6\n\n图7图8\n[答案]5T\n题后反思：在分析带电小球在复合场中的受力情况时，必须按照重力、电场力、磁场力、弹力和摩擦力的顺序进行，因为支持力的大小和方向受到场力的制约，而摩擦力的大小又受到支持力的制约，所以极容易分析错误．另外此类题型的关键在于速度，分析速度变化时所引起的洛伦兹力的变化，并由此引起的支持力和摩擦力的变化，从中分析清楚小球的运动性质以及临界条件．\n如图9所示，在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有一足够长的绝缘细棒OO′在竖直面内垂直于磁场方向放置，细棒与水平面夹角为α.一质量为m、带电量为＋q的圆环A套在OO′棒上，圆环与棒间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanα.现让圆环A由静止开始下滑．试问圆环在下滑过程中：图9\n(1)圆环A的最大加速度为多大？获得最大加速度时的速度为多大？(2)圆环A能够达到的最大速度为多大？\n解析：(1)由于μ＜tanα，所以圆环将由静止开始沿棒下滑．圆环A沿棒运动的速度为v1时，受重力G＝mg、洛伦兹力F＝qv1B、杆的弹力N1和摩擦力f1＝μN1的作用．根据牛顿第二定律，沿棒的方向有mgsinα－f1＝ma，垂直棒的方向有N1＋qv1B＝mgcosα，所以当f1＝0(即N1＝0)时，a有最大值am，且am＝gsinα，此时qv1B＝mgcosα，解得v1＝mgcosα/(qB)．\n(2)设当圆环A的速度达到最大值vm时，圆环受杆的弹力为N2，摩擦力为f2＝μN2，此时应有a＝0，即mgsinα＝f2，N2＋mgcosα＝qvmB，解得vm＝mg(sinα＋μcosα)/(μqB)．\n题型二 带电体在复合场中的曲线运动[例2](2008·江苏高考)在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图10所示．已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g.求：图10\n(1)小球运动到任意位置P(x，y)处的速率v.(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym.(3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm.\n\n(3)小球运动如图11所示，由动能定理，图11\n\n\n题后反思：带电粒子在复合场中的曲线运动的处理(1)当带电粒子所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，处理这类问题，注意同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解．(2)当带电粒子所受的合外力是变力时，即与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．处理这类问题，一般选用动能定理或能量守恒列方程求解．\n在如图12所示的直角坐标系中，坐标原点O处固定着正点电荷Q，另有平行y轴的匀强磁场，一个质量为m、带电荷量为＋q的微粒恰能以y轴上的O′点(0，a,0)为圆心做匀速圆周运动，其轨迹平面与xOz平面平行，角速度为ω，旋转方向如图中箭头所示，试求匀强磁场的磁感应强度的大小和方向.\n解析：如图13所示，微粒受三个力作用：重力mg、库仑力F电和洛伦兹力f洛，三个力的合力为向心力．设圆轨道半径为R，圆周上一点与坐标原点O的连线与y轴成θ角．在竖直方向mg＝F电cosθ①在水平方向f洛－F电sinθ＝mω2R②f洛＝Bqv＝BqωR③R＝atanθ④由①②③④消去F电、R和θ.\n\n题型三 实际应用问题[例3](2009·江苏高考)1932年，劳伦斯和利文斯顿设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图14所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，图14\n两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直．A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，加速电压为U.加速过程中不考虑相对论效应和重力作用．(1)求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；(2)求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t；\n(3)实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制．若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm.[解析](1)设粒子第1次经过狭缝后的半径为r1，速度为v1\n\n\n题后反思：理论与实践相结合是高考命题的热点．往往与最新科技成果、前沿相联系，有一定的综合性，具有浓厚的时代气息．而与带电粒子在复合场中的运动紧密相联的加速器正好符合了这一高考命题特点，成为科技与高考相结合的切入点．解决此类问题的方法往往是抽去科技背景，建立物理模型，由相关规律分析求解.\n有人设想用如图15所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子．粒子在电离室中电离后带正电，电量与其表面积成正比．电离后，粒子缓慢通过小孔O1进入极板间电压为U的水平加速电场区域Ⅰ，再通过小孔O2射入相互正交的恒定匀强电场、磁场区域Ⅱ，其中磁场的磁感应强度大小为B，方向如图15所示．收集室的小孔O3与O1、O2在同一条水平线上．半径为r0的粒子，其质量为m0、电量为q0，刚好能沿O1O3直线射入收集室．不计纳米粒子重力．\n图15(1)试求图中区域Ⅱ的电场强度；(2)试求半径为r的粒子通过O2时的速率；(3)讨论半径r≠r0的粒子刚进入区域Ⅱ时向哪个极板偏转．\n\n(3)半径为r的粒子，在刚进入区域Ⅱ时受到的合力为F合＝qE－qvB＝qB(v0－v)，由v＝可知，当r＞r0时，v＜v0，F合＞0，粒子会向上极板偏转；r＜r0时，v＞v0，F合＜0，粒子会向下极板偏转．\n1．(2009·北京高考)如图16所示的虚线区域内，充满垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场．一带电粒子a(不计重力)以一定的初速度由左边界的O点射入磁场、电场区域，恰好沿直线由区域右边界的O′点(图中未标出)穿出．若撤去该区域内的磁场而保留电场不变，另一个同样的粒子b(不计重力)仍以相同初速度由O点射入，从区域右边界穿出，则粒子b()\n图16\nA．穿出位置一定在O′点下方B．穿出位置一定在O′点上方C．运动时，在电场中的电势能一定减小D．在电场中运动时，动能一定减小解析：本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动，意在考查考生发散思维的能力．带电粒子的电性可正也可负，当只有电场作用时，粒子穿出位置可能在O′点上方，也可能在O′点下方．电场力一定对粒子做正功，粒子的电势能减小，动能一定增加．\n答案：C\n2．(2009·广东高考)如图17所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并处于方向垂直纸面向外、强度为B的匀强磁场中．质量为m、带电量为＋Q的小滑块从斜面顶端由静止下滑．在滑块下滑的过程中，下列判断正确的是()图17\nA．滑块受到的摩擦力不变B．滑块到达地面时的动能与B的大小无关C．滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下D．B很大时，滑块可能静止于斜面上解析：图18\n本题考查洛伦兹力．意在考查考生对带电物体在磁场中运动的受力分析．滑块受重力、支持力、洛伦兹力、摩擦力，如图18所示．由左手定则首先容易判断洛伦兹力的方向为垂直斜面向下，C正确．由f洛＝QvB，当速度发生变化时，洛伦兹力变化，由FN＝f洛＋mgcosθ，支持力也随之变化，由f＝μFN知摩擦力也随之变化，A错．磁场B的大小最终影响摩擦力的大小，影响滑块到达地面的过程中摩擦力做功的大小，滑块到达地面时的动能与B的大小有关，B错．滑块从斜面顶端由静止下滑，所以中间不可能静止在斜面上，D错．\n答案：C\n3．(2008·宁夏高考)如图19所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外．有一质量为m，带有电荷量＋q的质点由电场左侧平行于x轴射入电场．质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角为φ，A点与原点O的距离为d.接着，质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场．不计重力影响．若OC与x轴的夹角也为φ，求：图19\n(1)粒子在磁场中运动速度的大小；(2)匀强电场的场强大小．解析：(1)质点在磁场中的轨迹为一圆弧．由于质点飞离磁场时，速度垂直于OC，故圆弧的圆心在OC上．依题意，质点轨迹与x轴的交点为A，过A点作与A点的速度方向垂直的直线，与OC交于O′.由几何关系知，AO′垂直于O′C，O′是圆弧的圆心．设圆弧的半径为R，图20\n\n\n\n4．(2008·四川高考)如图21，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下．一电荷量为q(q＞0)，质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′.球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(0＜θ＜)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率．重力加速度为g.图21\n解析：据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O′.P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛伦兹力f＝qvB①式中v为小球运动的速率，洛伦兹力f的方向指向O′.根据牛顿第二定律Ncosθ－mg＝0②\n\n\n\n5．半径为R的光滑绝缘圆环固定在竖直平面内，并且处于水平向右的匀强电场E和垂直于纸面向外的匀强磁场B中．环上套有一个质量为m的带电小球，让小球从与环心等高的P点由静止释放，恰好能滑到圆环的最高点A(如图22)．求：(1)小球的带电性和带电量；(2)小球在运动过程中对环的最大压力．图22\n解析：(1)小球在沿圆环运动的过程中，只有重力和电场力做功，在小球从P点到达A点的过程中，重力做负功，电场力必做正功，故小球带正电．因小球恰好到达A点，故小球在A点的速度为零，有：qER－mgR＝0，解得：.(2)只有当小球到达等效最低点(电场和重力场合成)时，压力才最大，设此时速度为v，受到环的压力为N，则：\n\n\n励志名言形成天才的决定因素应该是勤奋\n安全小贴上课间活动注意安全
