全称量词与存在量词[A级 基础巩固]1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A．∃x>1，x2－2x－3＝0B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数解析：选C 对于A，是存在量词命题，故A不正确；对于B，是假命题，故B不正确；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈PD．∃x∈P，使得x∉Q解析：选B ∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图，∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2解析：选B A是全称量词命题．B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．因为＋(－)＝0，所以C为假命题．对于任何一个负数x，都有<0，所以D错误．故选B.4．(多选)下列命题中是真命题的是( )A．∀x∈R，2x2－3x＋4＞0B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0C．∃x∈N，使≤xD．不存在x∈N*，使x为29的约数4
解析：选AC ∀x∈R，2x2－3x＋4＞0，因为Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，故A正确；∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0，若x＝－1，则2x＋1＝－1＜0，故B错误；∃x∈N，使≤x，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误．故选A、C.5．(多选)命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥9B．a≥11C．a≥10D．a≤10解析：选BC 当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max.因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9⇒/a≥10，a≥10⇒a≥9，又a≥9⇒/a≥11，a≥11⇒a≥9，故选B、C.6．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.答案：{a|a≤3}7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________．解析：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．答案：∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞08．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2<0;③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.答案：①③④9．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题：(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；(2)对任意实数x，都有x3＞x2；(3)某个四边形不是平行四边形．解：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3＞x2.(3)∃x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形．10．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：4
(1)存在一个三角形没有外接圆；(2)∃x∈R，＜0；(3)存在实数x，＝－x.解：(1)存在一个三角形没有外接圆，是存在量词命题，命题为假命题．(2)存在量词命题．非负数有算术平方根，且仍为非负数，所以该命题为假命题．(3)存在量词命题．当x＜0时，＝－x，所以该命题为真命题．[B级 综合运用]11．下列说法正确的是( )A．对所有的正实数t，有＜tB．存在实数x，使x2－3x－4＝0C．不存在实数x，使x＜4且x2＋5x－24＝0D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2＞4解析：选B t＝时，＞t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，x2>4不成立，所以D选项错．12．已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”和“∃x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是( )A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＞2C．m＞2，n＞0D．m＞2，n＞2解析：选C 由“∀x∈{x|0≤x≤2}，m＞x”是真命题，可得m＞2；由“∃x∈{x|0≤x≤2}，n＞x”是真命题，可得n＞0.13．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．解析：由p(1)是假命题，p(2)是真命题，得解得3≤m＜8.答案：3≤m＜814．设语句q(x)：|x－1|＝1－x.(1)写出q(1)，q(2)，并判断它们是不是真命题；(2)写出“∀a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题；(3)写出“∃a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题．解：(1)q(1)：|1－1|＝1－1，真命题．q(2)：|2－1|＝1－2，因为|2－1|＝1，1－2＝－1，所以|2－1|≠1－2，假命题．(2)∀a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(2)为假命题，所以“∀a∈R，|a－1|＝1－a4
”为假命题．(3)∃a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(1)为真命题，所以“∃a∈R，|a－1|＝1－a”为真命题．[C级 拓展探究]15．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．解：(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，所以解得2≤m≤3.(2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.所以解得2≤m≤4.4
