全称量词命题与存在量词命题的否定基础过关练1.B2.A5.B6.C7.D8.D9.A10.C11.C12.B13.D1.B “若p,则q”的否定为“若p,则¬q”.故选B.2.A 由命题的否定与原命题的关系可得命题“若a2<b,则-b<a<b”的否定为“若a2<b,则a≥b或a≤-b”.故选A.3.答案 若0<a<b,则a2≥b24.解析 由命题的否定与原命题的关系可得题中命题的否定分别为:(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2+n2=0,则实数m,n不全为零.(3)π不是有理数.(4)在△ABC中,若A>B,则sinA≤sinB.5.B “∀x>0,x2-x≤0”的否定是“∃x>0,x2-x>0”.故选B.6.C 在¬p中,量词“∀”改为“∃”,结论“x2+16>8x”改为“x2+16≤8x”,故选C.7.D “所有能被2整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题,其否定一定是一个存在量词命题,排除选项A,B;结合全称量词命题的否定方法,可知命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.故选D.8.D “∀a,b>0,a+1b≥2和b+1a≥2至少有一个成立”的否定为“∃a,b>0,a+1b≥2和b+1a≥2都不成立”.9.A 因为x∈{x|1≤x<3},所以要使m>x恒成立,只需m≥3即可.10.C 由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,结合存在量词命题的否定方法知选C.11.C 命题p是存在量词命题,其否定是全称量词命题,所以¬p为“∀x∈R,x2-x-1>0”.故选C.12.B 对于(1),取x=-1,显然-1<0,故为真命题,其否定为假命题;对于(2),存在整数,如1既不是合数也不是素数,故为真命题,其否定为假命题;对于(3),当3x+4=5成立时,x=13∉Z,因而不存在x∈Z,使3x+4=5,故为假命题,其否定为真命题.故选B.4
13.D ∵命题“∃x∈R,4x2+x+14(a-2)≤0”是假命题,∴命题“∀x∈R,4x2+x+14(a-2)>0”是真命题,即Δ=12-4×4×14(a-2)<0,所以a>94.14.解析 (1)¬p:∃x∈R,x2-x+14<0.因为对任意x∈R,x2-x+14=x-122≥0恒成立,所以¬p是假命题.(2)¬q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.(3)¬r:∀x∈R,x2+2x+2>0.因为对任意x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立,所以¬r是真命题.(4)¬s:∀x∈R,x3+1≠0.因为当x=-1时,x3+1=0,所以¬s是假命题.能力提升练1.A2.D3.C4.D5.D6.CD7.AC一、单项选择题1.A 因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“∃x>0,2x2=5x-1”的否定是“∀x>0,2x2≠5x-1”.故选A.2.D ①有理数是实数为真命题,则命题的否定是假命题;②有些平行四边形不是菱形为真命题,则命题的否定是假命题;③当x=0时,不等式x2-2x>0不成立,故∀x∈R,x2-2x>0为假命题,则命题的否定是真命题;④∃x∈R,2x+1为奇数为真命题,则命题的否定是假命题.故满足条件的命题是③,故选D.名师点睛本题主要考查命题的否定以及命题的真假判断,先判断原命题的真假是解决本题的关键.3.C 若命题“∃x∈R,3x2+2ax+1<0”是假命题,则其否定“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”为真命题,所以Δ=4a2-12≤0,解得a∈[-3,3],故选C.4.D 若“∀x∈[1,2],x2-a≥0”是真命题,则a≤(x2)min,∴a≤1.若“∃x∈R,x2+2ax+4=0”是真命题,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2.∵命题¬p和命题q都是真命题,∴a>1,a≤-2或a≥2,∴a≥2.故选D.4
5.D 因为命题“∃x∈R,4x2+(a-2)x+14≤0”是假命题,所以其否定“∀x∈R,4x2+(a-2)x+14>0”是真命题,则Δ=(a-2)2-4×4×14<0,解得0<a<4.故选D.二、多项选择题6.CD A中,方程-2x2+x-4=0无实数根,故A为假命题;B中,2是素数,但不是奇数,故B为假命题;易知C为真命题;D中,35能被5和7整除,故D为真命题.故选CD.7.AC A中命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”,由平行四边形的定义知A中命题的否定是假命题;B中命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”,因为02=0,不是正数,所以B中命题的否定是真命题;C中命题的否定为“所有四边形都有外接圆”,因为只有对角互补的四边形才有外接圆,所以命题的否定为假命题;D中,如方程ax-2=0,当a=0时,该方程无解,所以原命题为假命题,其否定为真命题.故选AC.三、填空题8.答案 (-∞,-5]解析 ∵命题“∃x∈(1,2),x2+mx+4≥0”是假命题,∴该命题的否定“∀x∈(1,2),x2+mx+4<0”是真命题,∴12+m+4≤0,22+2m+4≤0,即m≤-5,m≤-4,∴m≤-5,故实数m的取值范围为(-∞,-5].9.答案 (-∞,-1)解析 由题意知,不等式2x>m(x2+1)恒成立,即不等式mx2-2x+m<0恒成立.①当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意;②当m≠0时,要使不等式mx2-2x+m<0恒成立,则m<0,(-2)2-4m2<0,解得m<-1.综上,实数m的取值范围是(-∞,-1).四、解答题10.解析 (1)因为命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,所以B⊆A.当B=⌀时,m-1>2m-3,解得m<2;当B≠⌀时,m-1≤2m-3,m-1≥-2,2m-3≤5,解得2≤m≤4.综上,实数m的取值范围为(-∞,4].4
(2)因为q:∃x∈A,x∈B是真命题,所以A∩B≠⌀,所以B≠⌀,即m≥2,所以m-1≥1,要使A∩B≠⌀,仍需满足m-1≤5,即m≤6.综上,实数m的取值范围为[2,6].11.解析 若p是真命题,则x+m-1<0对0<x<1恒成立,即m-1<-x对0<x<1恒成立.当0<x<1时,-1<-x<0,所以m-1≤-1,即m≤0.若命题q是假命题,则¬q:∃x∈{x|x>0},使得mx2+4x-1=0为真命题,即关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.当m=0时,方程为4x-1=0,有正实数根.当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4,设两根分别为x1,x2,①当方程有两个正实数根时,x1+x2=-4m>0,且x1x2=-1m>0,解得m<0,此时-4≤m<0;②当方程有一正、一负两个实数根时,x1x2=-1m<0,解得m>0,满足题意.综上所述,m≥-4.因为p是真命题,q是假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.名师点睛在与全称量词命题、存在量词命题有关的问题中,如果从原来的命题出发解决问题不方便,那么可以先否定原来的命题,再依据补集思想解决原问题.4
