函数的概念与性质(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝＋的定义域是( )A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1，0)∪(0，＋∞)D．R解析：选C 要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C.2．已知函数f(x＋1)＝ex－1，则f(2)＝( )A．1B．0C．eD．e2解析：选A ∵f(x＋1)＝ex－1，∴f(2)＝f(1＋1)＝e1－1＝1.3．已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则a的值是( )A．－3或5B．3或－3C．－3D．3或－3或5解析：选A 若a≤0，则f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝－3(a＝3舍去)；若a>0，则f(a)＝2a＝10，解得a＝5.综上可得，a＝5或a＝－3，故选A.4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A．y＝xB．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝－解析：选B y＝x是奇函数，故A不符合题意；y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；y＝－x2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，C不合题意；y＝－是奇函数，D不合题意．5．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α等于( )8
A.B．1C.D．2解析：选A ∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，＝，∴α＝－，∴k＋α＝1－＝.6．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝－x2＋2x，则f(x)在[－3，－1]上( )A．单调递增，最小值为－1B．单调递增，最大值为－1C．单调递减，最小值为－1D．单调递减，最大值为－1解析：选C f(x)＝－x2＋2x，图象为开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，所以x>0时f(x)在[1，3]上单调递减．因为f(x)为奇函数图象关于原点对称，所以函数f(x)在[－3，－1]也单调递减．7．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时总有>0，则满足f(1－2x)－f>0的x的范围是( )A.B.C.D.解析：选A 由题意，f(x)在(－∞，0]上单调递增，又f(x)是定义域为R的偶函数，故f(x)在[0，＋∞)上单调递减．由f(1－2x)－f>0可得f(1－2x)>f＝f，即f(|1－2x|)>f，所以|1－2x|<，解得<x<.8．已知函数f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是( )A．(0，3)B．(0，3]C．(0，2)D．(0，2]解析：选D ∵函数f(x)＝是R上的减函数，∴x≤1时，f(x)单调递减，即a－3<0，①8
x>1时，f(x)单调递减，即a>0，②且(a－3)×1＋5≥，③联立①②③解得0<a≤2，故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是( )A．f(3)＝9B．f(－3)＝4C．f(x)＝x2D．f(x)＝(x＋1)2解析：选BD 因为f(2x－1)＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故选项C错误，选项D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，选项B正确．故选B、D.10．设f(x)＝，则下列结论一定正确的有( )A．f(－x)＝－f(x)B．f＝－f(x)C．f＝f(x)D．f(－x)＝f(x)解析：选BD 因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝f(x)，D正确，A错误；f＝＝＝－f(x)，B正确；f＝＝＝－f(x)，C错误．故选B、D.11．如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．则下列说法中，正确的有( )8
A．图②的建议：提高成本，并提高票价B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变D．图③的建议：提高票价，并降低成本解析：选BC 根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．12．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是( )A．f(x)＝x－B．f(x)＝x＋C．f(x)＝D．f(x)＝解析：选AC 对于A，f＝－x＝－＝－f(x)，满足“倒负”变换．对于B，f＝＋x＝x＋＝f(x)≠－f(x)，不满足“倒负”变换．对于C，当0<x<1时，>1，f＝－＝－x＝－f(x)；当x＝1时，＝1，f＝0＝－f(x)；当x>1时，0<<1，f＝＝－＝－f(x)，满足“倒负”变换．对于D，当0<x<1时，>1，f＝＝x≠－f(x)，不满足“倒负”变换．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知幂函数f(x)＝(m＋1)x2m－1，则f(2)＝________．解析：因为f(x)＝(m＋1)x2m－1是幂函数，所以m＋1＝1，即m＝0，所以f(x)＝x－1，所以f(2)＝2－1＝.答案：14．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)，则当x<0时，f(x)＝________．8
解析：因为x<0，所以－x>0，所以f(－x)＝(－x)(1＋x)，又函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)(1＋x)＝x(1＋x)，所以当x<0时，f(x)＝x(1＋x)．答案：x(1＋x)15．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2，则f(－)＝________，不等式f(1－2x)<f(3)的解集是________．解析：由f(x)为奇函数且x≥0时，f(x)＝x2，可得，f(－)＝－f()＝－3.因为x≥0时，f(x)＝x2单调递增，根据奇函数的对称性可知，f(x)在R上单调递增，故由f(1－2x)<f(3)可得，1－2x<3，解得x>－1.答案：－3 (－1，＋∞)16．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是________．解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，则由解得0<x≤.因为x∈N*，所以x的最大值为16.答案：16四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.(1)求m的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解：(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，又∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，∴此函数是奇函数．18．(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1.8
(1)求f(x)的解析式；(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.又因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1.当x＝0时，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以f(x)＝(2)作出函数图象，如图所示．由函数图象易得函数f(x)的单调递增区间为，.19．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？解：(1)∵g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数．(2)g(x)＋h(x)＝＋＝f(x)．(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，且f(2)＝15.(1)求函数f(x)的解析式；8
(2)令g(x)＝(1－2m)x－f(x)．①若函数g(x)在区间[0，2]上不是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g(x)在区间[0，2]上的最小值．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)－f(x)＝2ax＋b＋a＝－2x＋1，∴2a＝－2，a＋b＝1，∴a＝－1，b＝2.又f(2)＝15，∴c＝15，∴f(x)＝－x2＋2x＋15.(2)g(x)＝(1－2m)x－f(x)＝x2－(2m＋1)x－15，其图象的对称轴为直线x＝m＋.①∵g(x)在[0，2]上不单调，∴0<m＋<2，∴m∈.②当m＋≤0，即m≤－时，g(x)min＝g(0)＝－15；当0<m＋<2，即－<m<时，g(x)min＝g＝－m2－m－；当m＋≥2，即m≥时，g(x)min＝g(2)＝－4m－13.综上，g(x)min＝21．(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．解：(1)由题意可知，2≥30.所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，所以x≤－或x≥3.又1≤x≤10，所以3≤x≤10.所以x的取值范围是[3，10]．(2)易知获得的利润y＝8
＝120，x∈[1，10]，令t＝∈，则y＝120(－3t2＋t＋5)．当t＝，即x＝6时，ymax＝610，故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元．22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x，y满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)证明：f(x)为偶函数；(3)若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求不等式f(3－x)≤f(2)＋f(3)的解集．解：(1)在f(xy)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0；再令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.(2)证明：在f(xy)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－1，得f(－x)＝f(x)＋f(－1)，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(3)f(2)＋f(3)＝f(6)，不等式f(3－x)≤f(2)＋f(3)，即f(3－x)≤f(6)．当3－x>0时，根据函数的单调性和不等式f(3－x)≤f(6)，得3－x≤6，解得－3≤x<3；当3－x<0时，f(3－x)＝f(x－3)≤f(6)，由函数单调性，得x－3≤6，解得3<x≤9.综上，不等式f(3－x)≤f(2)＋f(3)的解集为[－3，3)∪(3，9]．8
