函数的概念[A级 基础巩固]1．已知函数y＝f(x)，则函数图像与直线x＝a的交点( )A．有1个 B．有2个C．有无数个D．至多有一个解析：选D 根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x都有唯一的函数值与之对应，故选D.2．f(x)＝(x－1)0＋的定义域是( )A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．RD．(－1，1)∪(1，＋∞)解析：选D 要使函数f(x)有意义，需满足且x≠1，∴定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．3．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )xx<22≤x≤3x>3y－101A．{y|－1≤y≤1}B．RC．{y|2≤y≤3}D．{－1，0，1}解析：选D 函数值只有－1，0，1三个数值，故值域为{－1，0，1}．4．设函数f(x)＝，则f＋f的定义域为( )A.B．[2，4]C．[1，＋∞)D.解析：选B ∵函数f(x)＝的定义域为[1，＋∞)，∴解得2≤x≤4，∴f＋f的定义域为[2，4]．5
5．(多选)下列函数中，值域为[0，4]的是( )A．f(x)＝x－1，x∈[1，5]B．f(x)＝－x2＋4C．f(x)＝D．f(x)＝x＋－2(x>0)解析：选AC 对于A，由x∈[1，5]可得f(x)＝x－1∈[0，4]，故A正确；对于B，由f(x)＝－x2＋4≤4可得该函数的值域为(－∞，4]，故B错误；对于C，由0≤f(x)＝≤＝4可得该函数的值域为[0，4]，故C正确；对于D，f(6)＝6＋－2＝>4，所以该函数的值域不为[0，4]，故D错误，故选A、C.6．函数y＝f(x)的图像如图所示，那么f(x)的定义域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．解析：观察函数图像可知，f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]．答案：[－3，0]∪[2，3] [1，2)∪(4，5]7．写出一个定义域为{x|0<x<3}，值域为{y|0≤y<4}的函数解析式__________．解析：由题意得，当0<x<3时，0≤y<4，函数y＝(x－1)2在对称轴x＝1处取最小值0，且y<(3－1)2＝4.答案：y＝(x－1)2(答案不唯一)8．设f(x)＝，则f(f(x))＝________．解析：f(f(x))＝＝＝.答案：(x≠0，且x≠1)9．求下列函数的定义域．(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝＋.解：(1)由题意知2x＋6≥0，即x≥－3，所求定义域为{x|x≥－3}．5
(2)由已知得解得x≤0且x≠－.所求定义域为.(3)由已知得解得x≤1且x≠－5.所求定义域为{x|x≤1且x≠－5}．10．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．(1)求f(2)，g(3)的值；(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．解：(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝－.因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－，f(g(x))＝＝＝(x≠0)．[B级 综合运用]11．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于( )A．p＋qB．3p＋2qC．2p＋3qD．p3＋q2解析：选B 因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，f(8)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.12．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A．(0，3)B．[0，3)C．[0，2)∪(2，3)D．[0，2)∪(2，3]解析：选B 由于函数f(x)的定义域为R，则关于x的不等式mx2＋2mx＋3≠0恒成立．当m＝0时，不等式3≠0恒成立；当m≠0时，由Δ＝4m2－12m<0，解得0<m<3.5
综上，实数m的取值范围是[0，3)，故选B.13．函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x－1)的定义域为________；若函数f(2x－1)的定义域为(－1，0)，则f(x)的定义域为________．解析：(1)∵f(x)的定义域为(－1，0)，∴－1<2x－1<0，解得0<x<，∴函数f(2x－1)的定义域为.(2)∵f(2x－1)的定义域为(－1，0)，∴－3<2x－1<－1，∴函数f(x)的定义域为(－3，－1)．答案： (－3，－1)14．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的结论．解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＋f＝＋＝1，f(3)＋f＝＋＝1.(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1.证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.[C级 拓展探究]15．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x5
，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x))．(1)分别求f1和f2；(2)求x的取值范围，使它同时满足f1(x)＝1，f2(x)＝3.解：(1)∵x＝时，4x＝，∴f1＝＝1，g＝－＝，∴f2＝f1＝f1＝[3]＝3.(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3，∴解得≤x＜.故满足题意的x的取值范围为.5
