模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{－1，1，2}，集合N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝( )A．{1，2，4} B．{1} C．{1，2} D．{4}解析：选B ∵M＝{－1，1，2}，x∈M，∴x＝－1或1或2.由y＝x2得y＝1或4，∴N＝{1，4}．∴M∩N＝{1}．2．已知函数f(x)＝如果f(f(－1))＝18，那么实数a的值是( )A．0B．1C．2D．3解析：选C ∵函数f(x)＝∴f(－1)＝3＋1＝4，f(f(－1))＝f(4)＝4a＋2＝18，解得a＝2.3．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝3sin，那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和完成一次完整的摆动所需的时间(秒)分别为( )A．3，4B．－3，4C．3，2D．－3，2解析：选A 振幅是3，T＝＝＝4.4．若“p：x>a”是“q：x>1或x<－3”的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．a≥1B．a>1C．a≥－3D．a≤－3解析：选A p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/p．设A＝{x|x>a}，B＝{x|x>1或x<－3}，则A⊆B，但B⃘A.如数轴，易知a≥1.故选A.5．如果关于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于( )A．－81B．81C．－64D．64解析：选B 因为不等式x2<ax＋b可化为x2－ax－b<0，其解集是{x|1<x<3}，所以x＝1和x＝3是关于x的一元二次方程x2－ax－b＝0的两个实数根，11
所以由一元二次方程根与系数的关系，得解得所以ba＝(－3)4＝81.故选B.6．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于( )A．30°或60°B．45°C．60°D．30°解析：选D 因为cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sinα＝，所以α＝30°.7．若＝2，则tan＝( )A．－B.C.D．－解析：选A 因为＝2，所以＝2，即＝＝2，所以tanα＝，所以tan2α＝＝＝，所以tan＝＝＝－，故选A.8．设函数f(x)＝且方程f(x)－k＋1＝0有三个不相等的实根，则k的取值范围为( )A．(－1，0)B．(0，1)C．[－1，0]D．[0，1]解析：选B f(x)＝的图象如下：方程f(x)－k＋1＝0有三个不相等的实根等价于函数y＝f(x)的图象与y＝k11
－1的图象有三个交点，所以－1＜k－1＜0，即0＜k＜1.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则下列结论正确的是( )A．M∩N＝NB．M∩(∁UN)≠∅C．M∪N＝UD．M⊆(∁UN)解析：选AB 由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，∴M∩N＝N.又∁UN＝{x|x≤0或x≥1}，∴M∩(∁UN)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M⃘(∁UN)，故选A、B.10．下列命题是真命题的是( )A．若幂函数f(x)＝xα的图象过点，则α＝－B．∃x∈(0，1)，＞logxC．∀x∈(0，＋∞)，logx＞logxD．命题“∃x∈R，sinx＋cosx＜1”的否定是“∀x∈R，sinx＋cosx≥1”解析：选BD 选项A中，4＝⇒2－α＝22⇒α＝－2，A错误；选项B中，在同一平面直角坐标系中作出y＝与y＝logx的图象，设两图象交点的横坐标为x0，则当x0＜x＜1时，＞logx，B正确；选项C中，取x＝2，log2＝－1，log2＝－log32＞－1，C错误；选项D显然正确．故选B、D.11．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列说法正确的是( )A．函数f(x)的最小正周期是πB．函数f(x)是偶函数11
C．函数f(x)的图象关于点中心对称D．函数f(x)在上是增函数解析：选ABC 因为f(x)＝sin＝－sin＝cos2x，所以函数f(x)是偶函数，且最小正周期T＝＝π，故A、B正确；由2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以函数f(x)的图象关于点中心对称，故C正确；当x∈时，2x∈[0，π]，所以函数f(x)在上是减函数，故D不正确．故选A、B、C.12．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：①∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；②∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.则以下四个函数中不是“优美函数”的是( )A．f(x)＝sinxB．f(x)＝－2x3C．f(x)＝1－xD．f(x)＝ln(＋x)解析：选ACD 由条件①，得f(x)是奇函数，由条件②，得f(x)是R上的减函数．对于A，f(x)＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于B，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于C，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于D，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选A、C、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．一批救灾物资由51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速送达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________h.解析：当最后一辆汽车出发时，第一辆汽车走了＝h，最后一辆汽车走完全程共需要h，所以一共需要h，结合基本不等式计算最值，可得＋≥2＝10，故最小值为10h.答案：1011
14．已知函数g(x)＝f(x)＋x2是奇函数，当x>0时，函数f(x)的图象与函数y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，则g(－1)＋g(－2)＝________．解析：∵当x>0时，f(x)的图象与函数y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，∴当x>0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，g(x)＝2x＋x2，又g(x)是奇函数，∴g(－1)＋g(－2)＝－[g(1)＋g(2)]＝－(2＋1＋4＋4)＝－11.答案：－1115.如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．解析：由图象可知，点A(xA，2)在函数y＝logx的图象上，所以2＝logxA，xA＝＝.点B(xB，2)在函数y＝x的图象上，所以2＝(xB)，xB＝4.所以点C(4，yC)在函数y＝的图象上，所以yC＝＝.又xD＝xA＝，yD＝yC＝，所以点D的坐标为.答案：16．已知函数f(x)＝sin＋，ω＞0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________．函数f(x)的单调递增区间为________．解析：函数f(x)＝sin＋，ω＞0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，11
得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋.则f＝sin＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.答案： ，k∈Z四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知p：＜1，q：x2－3ax＋2a2＜0(其中a为常数，且a＞0)，(1)若p为真，求x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．解：(1)由＜1，得x＞1或x＜0，即命题p是真命题时x的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．(2)由x2－3ax＋2a2＜0得(x－a)(x－2a)＜0，因为a＞0，则a＜x＜2a，若p是q的必要不充分条件，则q对应的集合是p对应集合的真子集，因为a＞0，则满足得a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求sin2α的值；(2)求cosβ的值．11
解：(1)已知α为锐角，cosα＝，所以sinα＝，则sin2α＝2sinαcosα＝2××＝.(2)由于α，β为锐角，则0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－⇒sin(α＋β)＝，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋.(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)在同一平面直角坐标系中，再画出函数g(x)＝(x＞0)的图象，观察图象，写出当x＞0时，不等式f(x)＞的解集．解：(1)当x≥0时，f(x)＝1＋＝1；当x＜0时，f(x)＝1＋＝x＋1.所以f(x)＝(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)函数g(x)＝(x＞0)的图象如图所示，当f(x)＞时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方，所以由图象可知f(x)＞的解集是{x|x＞1}．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x是定义在(0，＋∞)上的函数．11
(1)用定义法证明函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(2)若关于x的不等式f＜0恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)证明：任取0＜x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝－＝＋(x2－x1)＝＋(x2－x1)＝(x2－x1).∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，＋1＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)．故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)∵函数f(x)在其定义域内是减函数，且f(1)＝0，∴当x∈(0，＋∞)时，原不等式恒成立等价于f＜f(1)恒成立，即＞1恒成立，即m＞－x2－x.∵当x∈(0，＋∞)时，－x2－x＝－＋＜0，∴m≥0，即实数m的取值范围是[0，＋∞)．21．(本小题满分12分)从①函数f为奇函数；②当x＝时，f(x)＝；③是函数f(x)的一个零点，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：∵函数f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，11
∴T＝＝2π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．选条件①：(1)∵f＝2sin为奇函数，∴φ－＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z.∵0＜φ＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.(2)令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤.∴函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，.选条件②：(1)∵f＝2sin＝，∴sin＝，∴＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ或φ＝＋2kπ，k∈Z.∵0＜φ＜，11
∴φ＝，∴f(x)＝2sin.(2)同条件①.选条件③：(1)∵是函数f(x)的一个零点，∴f＝2sin＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.∴0＜φ＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.(2)同条件①.22．(本小题满分12分)某人开网店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开始第一个月就达到1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比，第4个月成本为8000元，但第11个月起每月成本固定为3万元，现打算用函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)或f(x)＝kmx＋n(k≠0，m＞0，m≠1)来模拟销量下降期间的月销量．(1)请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份x之间的函数关系式；(2)前20个月内，该网店取得的月利润最高是多少，出现在哪个月？解：(1)假设从第11个月开始，月销量符合f(x)＝ax2＋bx＋c的变化趋势，则(11，13)，(12，9)，(13，7)均在f(x)上，即解得所以f(x)＝x2－27x＋189，对称轴为x＝，当x≥14时，不符合题意，故此模型舍去；11
假设从第11个月开始，月销量符合f(x)＝kmx＋n的变化趋势，则(11，13)，(12，9)，(13，7)均在f(x)上，即解得所以f(x)＝214－x＋5，当x＝17时，f(17)＝214－17＋5＝，f(18)＝214－18＋5＝，f(18)＜f(17)，故f(x)＝kmx＋n更合理，此时f(x)＝214－x＋5，x≥11；由题知前10个月符合一次函数模型，设f(x)＝1.5x＋b，将(1，1)代入，解得b＝－0.5，则f(x)＝1.5x－0.5，1≤x≤10，故f(x)＝x∈N＋.(2)设前10个月成本(万元)与月份的关系为h(x)＝nx2，将(4，0.8)代入解得n＝，则h(x)＝，前10个月利润可表示为w(x)＝f(x)－h(x)＝2(1.5x－0.5)－＝－(x－30)2＋44，当x＝10时取到最大值，w(x)max＝24；当x≥11时，f(x)＝214－x＋5单调递减，第11个月利润有最大值，w(x)max＝13×2－3＝23；故月利润最高记录为24万元，出现在第10个月．11
