模块综合检测(二)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是( )A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}解析：选D ∵A⊆B，∴a≥2.故选D.2.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们可用该图证明( )A．如果a>b，b>c，那么a>cB．如果a>b>0，那么a2>b2C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立D．如果a>b，c>0那么ac>bc解析：选C 可将直角三角形的两直角边长记作a，b，斜边长为c(c2＝a2＋b2)．则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.故对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1解析：选A 函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－，于是－＝1可得m＝－2，故选A.4．函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A．(0，4)B．[0，4)C．[0，4]D．(0，4]解析：选B 由题意可知mx2＋mx＋1>0恒成立，当m＝0时，1>0恒成立；当m≠0时需满足代入解不等式可得0<m<4，综上可知实数m的取值范围是[0，4)．5．函数f(x)＝的值域为( )11
A.B．(0，1)C.D．(0，＋∞)解析：选D 当x<1时，f(x)＝x2－x＋1＝＋，故f(x)∈，当x>1时，f(x)＝∈(0，1)，故f(x)＝的值域为(0，＋∞)．故选D.6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征，如函数f(x)＝的图像大致是( )解析：选C 当－1<x<0时，f(x)<0，选项A错误；令f(x)＝0，x＝0，选项B错误；f(－x)＝＝－f(x)，f(x)为奇函数，图像关于原点对称，又当x∈(1，＋∞)时，f(x)<0，排除D，故选C.7．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是( )A．(－∞，－4]B．(－∞，－5)C．(－∞，－5]D．(－5，－4)解析：选A ∵x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，∴解得m≤－4.故选A.8．不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，若|x1|＋|x2|≤2，则( )A．|a＋2b|≥2B．|a＋2b|≤2C．|a|≥1D．|b|≤111
解析：选D ∵不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，∴x1，x2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，∴x1x2＝b，x1＋x2＝－a，又|x1|＋|x2|≤2，不妨令a＝－1，b＝0，则x1＝0，x2＝1，但|a＋2b|＝1，∴选项A不成立；令a＝2，b＝1，则x1＝x2＝－1，但|a＋2b|＝4，∴选项B不成立；令a＝0，b＝－1，则x1＝－1，x2＝1，但|a|＝0，∴选项C不成立；b＝x1·x2≤≤＝1，∴选项D正确．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．设a，b为正实数，现有下列命题，其中是真命题的有( )A．若a2－b2＝1，则a－b<1B．若－＝1，则a－b<1C．若|－|＝1，则|a－b|<1D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1解析：选AD 若a2－b2＝1，则a2－1＝b2，即(a＋1)(a－1)＝b2，∵a＋1>a－1，∴a－1<b<a＋1，即a－b<1，A正确；若－＝1，可取a＝7，b＝，则a－b>1，∴B错误；若|－|＝1，则可取a＝9，b＝4，而|a－b|＝5>1，∴C错误；由|a3－b3|＝1，若a>b>0，则a3－b3＝1，即(a－1)(a2＋a＋1)＝b3，∵a2＋1＋a>b2，∴a－1<b，即a－b<1；若0<a<b，则b3－a3＝1，即(b－1)(b2＋1＋b)＝a3，∵b2＋1＋b>a2，∴b－1<a，即b－a<1.∴|a－b|<1，∴D正确．故选A、D.10．下列命题中是假命题的有( )A．|x|2＋|x|－2＝0有四个实数解B．设a，b，c是实数，若二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则ac≥0C．若x2－3x＋2≠0，则x≠2D．若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2解析：选AD |x|2＋|x|－2＝0则|x|＝1或|x|＝－2，故方程只有两个实数解，故A是假命题；11
设a，b，c是实数，若二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则b2－4ac<0，则ac>≥0，则ac>0，可以推出ac≥0，故B是真命题；若x2－3x＋2≠0，则x≠2且x≠1，可推出x≠2，故C是真命题；若x∈R，则函数y＝＋的最小值为，此时x＝0，故D是假命题．故选A、D.11．若函数f(x)具有下列性质：①定义域为(－1，1)；②对于任意的x，y∈(－1，1)，都有f(x)＋f(y)＝f；③当－1<x<0时，f(x)>0，则称函数f(x)为δ的函数．若函数f(x)为δ的函数，则以下结论正确的是( )A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)为单调递减函数D．f(x)为单调递增函数解析：选AC 函数f(x)为δ的函数，令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，即f(0)＝0，令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0，则f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，设－1<x<y<1，则f(x)－f(y)＝f(x)＋f(－y)＝f，∵－1<x<y<1，∴－1<<0，则f>0，即f(x)－f(y)>0，则f(x)>f(y)，即f(x)在(－1，1)上是减函数．故选A、C.12．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足( )A．f(0)＝0B．y＝f(x)是奇函数C．f(x)在[m，n]上有最大值f(n)D．f(x－1)>0的解集为(－∞，1)解析：选ABD 令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0，选项A正确；11
令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，则f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)＝－f(－x)，故函数f(x)为奇函数，选项B正确；设x1<x2，则x1－x2<0，由题意可得，f(x1－x2)>0，即f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)为R上的减函数，∴f(x)在[m，n]上的最大值为f(m)，选项C错误；f(x－1)>0等价于f(x－1)>f(0)，又f(x)为R上的减函数，故x－1<0，解得x<1，选项D正确．故选A、B、D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设M＝{m，2}，N＝{m＋2，2m}，且M＝N，则实数m的值是________．解析：因为M＝{m，2}，N＝{m＋2，2m}，且M＝N，所以解得m＝0.答案：014．已知a，b∈N*，f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则＋＋…＋＋＝________．解析：∵f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，令a＝n，b＝1，∴f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)×2，∴＝2.∴原式＝2＋2＋…＋2＝2×2019＝4038.答案：403815．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两根的平方和是，则m＝________．解析：设方程的两根分别为x1，x2，由已知得x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(－2m＋1)＝，∴m2＋8m－33＝0，11
解得m＝－11或m＝3.当m＝－11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，Δ＝b2－4ac＝112－4×2×23＝－63<0，方程无实数根，不合题意，舍去；当m＝3时，方程为2x2－3x－5＝0，Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－5)＝49>0，方程有两个不相等的实数根．综上可知，m的值为3.答案：316．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥4m恒成立，则m的最大值为________．解析：∵a>0，b>0，＋＝，∴＋＝1.∴＝×＝(2a＋b)×＝5＋＋≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝12时取等号，∴若不等式2a＋b≥4m恒成立，则m的最大值为9.答案：9四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合U＝R，A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|0<x<3}，C＝{x|m<x≤1－3m}．(1)求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)；(2)若C⊆(A∩C)，求m的取值集合．解：(1)因为A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|0<x<3}，故A∩B＝{x|0<x<2}，A∪B＝{x|－1≤x<3}．又∁UA＝{x|x<－1或x≥2}，∁UB＝{x|x≤0或x≥3}，故(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<－1或x≥3}．(2)因为C⊆(A∩C)，故C⊆A.①当C＝∅时，m≥1－3m⇒m≥满足条件．②当C≠∅时，解得－<m<.综上，m∈.18．(本小题满分12分)在①k＝－1；②k＝1，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．11
已知函数f(x)＝－kx，且________，(1)求f(x)的定义域，并判断f(x)的奇偶性；(2)判断f(x)的单调性，并用定义给予证明．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：选择①：因为f(x)＝－kx，所以f(x)＝x－.(1)要使函数f(x)有意义，只需x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)均为增函数．证明如下：∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝，因为0<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>0，x1x2＋1>0,所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间(0，＋∞)为增函数；同理可证，函数f(x)在区间(－∞，0)为增函数；所以函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)均为增函数．选择②：因为f(x)＝－kx，所以f(x)＝－x.(1)要使函数f(x)有意义，只需x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(－x)＝－(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)奇函数．(2)函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)均为减函数．证明如下：∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，11
则f(x1)－f(x2)＝－x1－＝＋(x2－x1)＝(x2－x1)＝，因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x1x2>0，x1x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在区间(0，＋∞)为减函数；同理可证，函数f(x)在区间(－∞，0)为减函数；所以函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)均为减函数．19．(本小题满分12分)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明：(1)∵abc＝1，∴＋＋＝·abc＝bc＋ac＋ab，∵2(a2＋b2＋c2)＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ac，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴2(a2＋b2＋c2)≥2，即a2＋b2＋c2≥＋＋.(2)∵(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3(a＋b)(b＋c)(c＋a)，当且仅当a＝b＝c时取等号，又a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3×2×2×2＝24又abc＝1，∴(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.20．(本小题满分12分)若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数)，则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－＝0，x2＋6x－27＝0，x2＋4x＋4＝0，都是“偶系二次方程”．(1)判断方程x2＋x－12＝0是不是“偶系二次方程”，并说明理由；(2)对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．解：(1)不是．理由如下：11
解方程x2＋x－12＝0得x1＝3，x2＝－4，∴|x1|＋|x2|＝3＋4＝7＝2×3.5，∵3.5不是整数，∴x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”．(2)存在．理由如下：由题可知，x1＋x2＝－b，x1x2＝c，假设对于任意一个整数b，存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，则|x1|＋|x2|＝2|k|,∴x＋2|x1x2|＋x＝4k2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＋2|x1x2|＝4k2，∴b2－2c＋2|c|＝4k2，当c>0时，b2＝4k2，与题意不符，舍去；当c<0时，b2－4c＝4k2.∵b为任意一个整数，k为整数，∴设b＝k，则b2－4c＝4b2，∴c＝－b2，又Δ＝b2－4c＝b2＋3b2≥0，符合题意，∴对于任意一个整数b，存在c＝－b2，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”．21．(本小题满分12分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/米3)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/米3)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)＝4y＝则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4.当4<x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，所以此时4<x≤8.综上，得0≤x≤8，即若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．11
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4≥2－a－4＝8－a－4.因为14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4∈[4，8]，故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6.22．(本小题满分12分)函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝.(1)确定f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明；(3)解关于t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.解：(1)由函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，知f(0)＝＝0，所以b＝0，经检验，b＝0时f(x)＝是(－2，2)上的奇函数，满足题意．又f(1)＝＝，解得a＝1，故f(x)＝，x∈(－2，2)．(2)f(x)在(－2，2)上为增函数．证明如下：在(－2，2)任取x1，x2且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝，因为x2－x1>0，4＋x1x2>0，4－x>0，4－x>0，所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(－2，2)上为增函数．(3)因为f(x)为奇函数，所以－f(x)＝f(－x)，不等式f(t－1)＋f(t)<0可化为f(t－1)<－f(t)，即f(t－1)<f(－t)，又f(x)在(－2，2)上是增函数，所以解得－1<t<，11
所以关于t的不等式解集为.11
