第2课时 指数函数的图像和性质基础过关练题组一 指数函数的图像特征1.(2020江西贵溪实验中学高一月考)已知函数f(x)=3-ax+1(a>0且a≠1)的图像恒过定点P,则点P的坐标是( )A.(0,3)B.(-1,2)C.(-1,3)D.(3,-1)2.函数f(x)=πx的图像与g(x)=1πx的图像关于( )A.原点对称B.x轴对称C.y轴对称D.直线y=-x对称3.(2020北京海淀实验学校高一月考)函数y=ax-1a(a>0,且a≠1)的图像可能是( )4.(2020陕西西安中学高一上期中)已知实数a,b满足等式2019a=2020b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2020福建厦外高一上期中)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图像如图所示,则函数g(x)=ax+b的图像大致为( ) A B C D题组二 指数函数的单调性及其应用6.(2020广东珠海高一上期末)已知函数f(x+1)的定义域是[0,31),则f(2x)的定义域是( )11
A.[1,32)B.[-1,30)C.[0,5)D.(-∞,30)7.(2020山东师大附中高一上第一次学分认定考试)设y1=40.9,y2=80.48,y3=12-1.5,则( )A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y28.(2020广东湛江一中高一上第一次大考)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )A.12,1B.0,12C.[0,1]D.(0,1]9.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a= . 10.(2020广东汕头金山中学高一期末)函数y=13x2+2x的单调递减区间为 ,值域是 . 题组三 解指数方程或指数不等式11.(2020山东枣庄第十六中学高一期中)集合A={x|y=x(2-x)},B={y|y=2x,x>0},则A∩B=( )A.[0,2]B.(1,2]C.[1,2]D.(1,+∞)12.方程9x+3x-2=0的解是 . 13.不等式23-2x<0.53x-4的解集为 . 题组四 指数函数性质的综合应用14.已知函数f(x)=x(2x+a×2-x)(x∈R),若f(x)是偶函数,记a=m,若f(x)是奇函数,记a=n,则m+2n=( )A.0B.1C.2D.-115.设f(x)=|3x-1|,c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的是( )A.3a<3bB.3c>3bC.3c+3a>2D.3c+3a<216.设函数f(x)=1210-ax,a是不为零的常数.(1)若f(3)=12,求使f(x)≥4的x的取值范围;11
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值是16,求a的值.能力提升练一、单项选择题1.(疑难3,★★☆)已知a=1334,b=1312,c=π12,则( ) A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a2.(2020河南巩义第四高级中学高一月考,★★☆)设函数f(x)=2-x,x≤0,1,x>0,则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)3.(★★☆)函数f(x)=18|x+2|的部分图像大致为( )4.(2020山东济南历城二中高一期末,★★☆)若函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2,则a的值为( )A.12B.32C.23或2D.12或325.(2020安徽合肥高考数学三模,疑难2,★★☆)“关于x的方程a(2|x|+1)=2|x|有实数解”的一个充分不必要条件是( )11
A.13<a<1B.a≥12C.23<a<1D.12≤a<1二、多项选择题6.(★★☆)设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),若f(2)=4,则( )A.f(-2)>f(-1)B.f(1)>f(2)C.f(-2)>f(2)D.f(-4)>f(3)7.(★★☆)已知函数f(x)=πx-π-x2,g(x)=πx+π-x2,则f(x),g(x)满足( )A.f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)B.f(x)-g(x)=π-xC.f(2x)=2f(x)g(x)D.[f(x)]2-[g(x)]2=1三、填空题8.(2019重庆第二外国语学校高一月考,★★☆)若不等式14a2-8>4-2a成立,则实数a的取值范围为 . 9.(2020江西九江修水英才高级中学高一月考,★★☆)已知点(2,9)在函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图像上,对于函数y=f(x)的定义域中的任意x1,x2(x1≠x2),有如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);③f(x1)-f(x2)x1-x2<0;④fx1+x22<f(x1)+f(x2)2.上述结论中正确的是 (填序号). 四、解答题10.(★★☆)已知f(x)=10x-10-x10x+10-x.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)证明f(x)在定义域内为增函数;(3)求f(x)的值域.11
答案全解全析基础过关练1.B ∵y=ax(a>0且a≠1)的图像恒过定点(0,1),∴y=-ax(a>0且a≠1)的图像过定点(0,-1),则由函数y=-ax(a>0且a≠1)的图像向上平移3个单位长度,向左平移1个单位长度可得f(x)=3-ax+1的图像,恒过定点P(-1,2).2.C 设点(x,y)为函数f(x)=πx的图像上任意一点,因为g(-x)=1π-x=πx=y,所以点(-x,y)为g(x)的图像上的点.因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=πx的图像与g(x)=1πx的图像关于y轴对称,故选C.3.D 当a>1时,y=ax-1a为增函数,当x=0时,y=1-1a<1且y=1-1a>0,故A,B不符合.当0<a<1时,y=ax-1a为减函数,当x=0时,y=1-1a<0,故C不符合,D符合.11
故选D.方法总结 解决此类问题,用到了分类讨论的方法.对于与指数函数有关的问题,往往要对底数分大于1和大于0小于1两种情况讨论.4.B 作出y=2020x与y=2019x的图像如图,观察易知,a,b的关系为a<b<0或0<b<a或a=b=0.故不可能成立的关系式有2个.5.A 由题中f(x)=(x-a)(x-b)的图像及a>b,可得b<-1,0<a<1.由0<a<1可得函数g(x)=ax+b是减函数,又由b<-1可得其函数图像与y轴交点在x轴的下方.分析选项可得A满足这两点,B,C,D均不满足.故选A.6.C ∵f(x+1)的定义域是[0,31),∴0≤x<31,∴1≤x+1<32,∴f(x)的定义域为[1,32),∴f(2x)满足20=1≤2x<32=25,∴0≤x<5.故选C.7.D 40.9=21.8,80.48=21.44,12-1.5=21.5,根据y=2x在R上是增函数,得21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2.8.D 由f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在区间[1,2]上是减函数得a≤1;由g(x)=(a+1)1-x=1a+1x-1在区间[1,2]上是减函数得0<1a+1<1,因此a+1>1,解得a>0.因此a的取值范围是(0,1].故选D.9.答案 7或17解析 若a>1,则函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上是单调递增的,当x=2时,f(x)取得最大值,即f(2)=2a2-4=10,即a2=7,又a>1,所以a=7.若0<a<1,则函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上单调递减,当x=-1时,f(x)取得最大值,即f(-1)=2a-1-4=10,所以a=17.综上所述,a的值为7或17.10.答案 [-1,+∞);(0,3]解析 令u=x2+2x,则y=13u在R上单调递减,u=x2+2x=(x+1)2-1在(-∞,-1]上单调递减,在11
[-1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性,知函数f(x)的单调递减区间是[-1,+∞).∵u=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,∴y=13u≤13-1=3.又y>0,∴函数的值域为(0,3].11.B ∵A={x|y=x(2-x)}={x|x(2-x)≥0}={x|x(x-2)≤0}=[0,2],由于指数函数y=2x是增函数,所以当x>0时,y=2x>20=1,则B=(1,+∞),因此,A∩B=(1,2],故选B.12.答案 x=0解析 因为9x+3x-2=0,即(3x)2+3x-2=0,所以(3x+2)(3x-1)=0,解得3x=-2(舍去)或3x=1,所以x=0.13.答案 {x|x<1}解析 原不等式可化为23-2x<24-3x,因为函数y=2x是R上的增函数,所以3-2x<4-3x,解得x<1,故所求不等式的解集为{x|x<1}.14.B 当f(x)是偶函数时,f(x)=f(-x),即x(2x+a×2-x)=-x(2-x+a×2x),即(1+a)·(2x+2-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1,即m=-1.当f(x)是奇函数时,f(x)=-f(-x),即x(2x+a×2-x)=x(2-x+a×2x),即(1-a)(2x-2-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=1,即n=1.所以m+2n=1.15.D f(x)=|3x-1|的图像如图所示.11
由c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)可知,c,b,a不在同一个单调区间上,故有c<0,a>0,∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1.∴1-3c>3a-1,即3c+3a<2.16.解析 (1)由f(3)=12得a=3,∴不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22,由此可得3x-10≥2,∴x≥4,故x的取值范围是[4,+∞).(2)当a>0时,f(x)=1210-ax=2ax-10是增函数,则当x∈[-1,2]时,f(x)max=f(2)=22a-10=16,∴a=7;当a<0时,f(x)=1210-ax=2ax-10是减函数,则当x∈[-1,2]时,f(x)max=f(-1)=2-a-10=16,∴a=-14.综上,a=7或a=-14.能力提升练一、单项选择题1.D 因为y=13x在R上单调递减,且0<12<34,所以1>b>a.又因为y=πx在R上单调递增,且12>0,所以c>1.所以c>b>a.2.D 函数f(x)的图像如图所示:因为f(x+1)<f(2x),11
所以2x<0,2x<x+1,解得x<0,所以满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(-∞,0).3.B 由题意得f(-2)=1,排除C,D;当x≥-2时,f(x)=18|x+2|=18x+2,∵0<18<1,∴f(x)在[-2,+∞)上单调递减,排除A.故选B.4.D 当a>1时,y=ax在[1,2]上单调递增,y的最大值为a2,最小值为a,故有a2-a=a2,解得a=32或a=0(舍去);当0<a<1时,y=ax在[1,2]上单调递减,y的最大值为a,最小值为a2,故有a-a2=a2,解得a=12或a=0(舍去).综上,a=32或a=12.故选D.5.C 关于x的方程a(2|x|+1)=2|x|,化为a=2|x|2|x|+1,令t=2|x|,t≥1,则f(t)=tt+1=1-1t+1∈12,1,∴结合选项知“关于x的方程a(2|x|+1)=2|x|有实数解”的一个充分不必要条件是a∈23,1.故选C.方法技巧 求使一个问题成立的充分不必要条件或必要不充分条件时,往往先求使之成立的充要条件,从而再根据需要确定结果.二、多项选择题6.AD 由f(2)=a-2=4得a=12,即f(x)=12-|x|=2|x|,故f(-2)>f(-1),f(2)>f(1),f(-2)=f(2),f(-4)=f(4)>f(3),所以A、D正确.7.AC A正确,f(-x)=π-x-πx2=-f(x),g(-x)=π-x+πx2=g(x),所以f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x);B不正确,f(x)-g(x)=πx-π-x2-πx+π-x2=-2π-x2=-π-x;C正确,f(2x)=π2x-π-2x2=2·πx-π-x2·πx+π-x2=2f(x)g(x);D不正确,[f(x)]2-[g(x)]2=πx-π-x22-πx+π-x22=πx-π-x2+πx+π-x2·πx-π-x2-πx+π-x2=2πx2·-2π-x2=-1.故选AC.三、填空题11
8.答案 (-2,4)解析 因为指数函数f(x)=14x为单调递减函数,且14a2-8>4-2a,即14a2-8>142a,所以a2-8<2a,即a2-2a-8<0,解得-2<a<4,故实数a的取值范围是(-2,4).9.答案 ①④解析 由点(2,9)在函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图像上,得9=a2,∴a=3,∴f(x)=3x,∵对于函数f(x)=3x的定义域中的任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1+x2)=3x1+x2=3x1·3x2=f(x1)f(x2),∴结论①正确;又f(x1x2)=3x1x2,f(x1)+f(x2)=3x1+3x2,∴f(x1x2)≠f(x1)+f(x2),∴结论②错误;又f(x)=3x在R上为增函数,∴对任意的x1,x2,不妨设x1<x2,则f(x1)<f(x2),∴x1-x2<0,f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)-f(x2)x1-x2>0,∴结论③错误;又fx1+x22=3x1+x22,f(x1)+f(x2)2=3x1+3x22,∴f(x1)+f(x2)2fx1+x22=123x13x1+x22+3x23x1+x22=12(3x1-x22+3x2-x12),∵x1≠x2,∴3x1-x22+3x2-x12>2,∴f(x1)+f(x2)2fx1+x22>1,∴结论④正确.四、解答题10.解析 (1)∵f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=10-x-10x10-x+10x=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)证明:f(x)=10x-10-x10x+10-x=102x-1102x+1=1-2102x+1.任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x1)-f(x2)11
=1-2102x1+1-1-2102x2+1=2·102x1-102x2(102x1+1)·(102x2+1).∵y=10x为R上的增函数,∴102x1-102x2<0.又∵102x1+1>0,102x2+1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在定义域内为增函数.(3)令y=f(x),由y=102x-1102x+1,解得102x=1+y1-y.∵102x>0,∴1+y1-y>0,解得-1<y<1,即f(x)的值域为(-1,1).11
