2019-2020学年北京市某校高二（上）期中考试数学ⅢD试卷一、解答题)1.已知f'(x0)=A，则limn→∞nfx0+2n-fx0-3n=________.2.已知f(x)=x(x-1)(x-2)⋅⋅⋅(x-2019)，则 f'(2019)=________．3.将函数f(x)=1x2+x-6展成带有佩亚诺余项的2阶麦克劳林公式________.4.设函数f(x)在(0, +∞)内可导，且f(ex)＝x+ex，则f'(1)＝________．5.椭圆x24+y23=1在点(1,32)处的切线方程为________.6.已知参数方程x=t2+2ty=1+lnt，则由该参数方程所确定的函数y=y(x)的导数dydx= ________．7.在极坐标系下，已知心脏线ρ=a(1+cosθ)，其中a>0 ，则心脏线上（除极点外）有垂直于x轴的法线的点的坐标为________.8.已知函数fx=x+sinx，其中x∈-1,1，如果f1-a+f1-a2<0成立，那么实数a的取值范围为________.9.设函数f(x)=xαsin1xβ,x≠00,x=0，其中β>0，f(x)的导函数在x=0处连续，则α、β满足的条件是________．10.下列与函数f(x)在x0可导等价的是________．(1)limh→0f(x0+2h)-f(x0)h存在；(2)limh→0[h]fx0+1[h]-f(x0)存在([x]表示不超过x的最大整数）；(3)limh→0f(x0)-f(x0-h2)h2存在； (4)limh→0f(x0+h)-f(x0-h)2h存在.11.limn→∞nken，(k∈Z).12.limx→0sinx-xx2sinx13.limx→0xαlnx(α>0)；14.limx→0(2x+3x+4x3)1x.15.limx→0xex-(1+x)sinxx3.16.已知函数f(x)=12ax3-32x2+32a2x，其中a∈R.试卷第3页，总4页, （1）当a＝-2时，求函数f(x)的极值：（2）若函数g(x)＝f(x)+f'(x)-32a2x，x∈[0, 2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．17.数的概念是从实践中产生和发展起来的．随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实．现在我们引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：①i2=-1;②实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律仍然成立.(1)化简i3 ，in（n为正整数）．(2)利用泰勒展开证明：eix=cosx+isinx．18.设0<c<1, a1="c2," an="">0，且f(a)≠f(b) ．证明：存在ξ,η∈(a,b)使得f'(ξ)=a+b2nf'(η)．20.设函数f(x)=1+lnxx(x>0) ，g(x)=ax, a>0．(1)若m>-1，且f(x)=1+lnxx 在区间(m+1,m+2)上不是单调函数，求m的取值范围；(2)若对∀x1，x2，0<x1<x2≤1e>0}中有且只有三个整数，求a的取值范围．21.已知a>0，函数f(x)＝eaxsinx(x∈[0, +∞)）．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点．证明：(Ⅰ)数列{f(xn)}是等比数列；(Ⅱ)若a≥1e2-1，则对一切n∈N*，xn<|f(xn)|恒成立．试卷第3页，总4页, 参考答案与试题解析2019-2020学年北京市某校高二（上）期中考试数学ⅢD试卷一、解答题1.2.3.4.25.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.当a＝-2时，函数f(x)＝-x3-32x2+6x，∴f'(x)＝-3x2-3x+6，令f'(x)＝-3x2-3x+6＝0，解得x＝-2或x＝1，当x<-2或x>1时，f'(x)>0，函数f(x)单调递减，当-2<x<1时，f'(x)<0，函数f(x)单调递增，∴f(x)极小值＝f(-2)＝8-6-12＝-10，f(x)极大值＝f(2)＝-1-32+6=72；∵f'(x)=32ax2-3x+32a2，∴函数g(x)＝f(x)+f'(x)-32a2x=12ax3-32x2+32a2x+32ax2-3x+32a2-32a2x=12ax3+(32a-32)x2-3x+32a2，∴g'(x)=32ax2+(3a-3)x-3，∵△＝(3a-3)2+12×32a＝3(a2+1)>0，∴g'(x)＝0，有两个不相等的实数根x1，x2，(i)当a>0时，x1，x2异号，若g(x)在x＝0处取得最大值，只需g(0)≥g(2)，解得0<a≤65，(ii)当a＝0时，g(x)=-32x(x+2)，∴g(x)在[0, 2="">0)，g'(t)=et(t-1)t2，当0<t<1时，g'(t)<0，g(t)递减，当t>1时，g'(t)>0，g(t)递增．t＝1时，g(t)取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需a2+1a<g(1)＝e，只需a>1e2-1，当a=1e2-1，tanφ=1a=e2-1>3，且0<φ<π2，可得π3<φ<π2，于是π-φ<2π3<e2-1，且当n≥2时，nπ-φ≥2π-φ>3π2>e2-1，因此对n∈N*，axn=nπ-φe2-1≠1，即有g(axn)>g(1)＝e=a2+1a，故①亦恒成立．综上可得，若a≥1e2-1，则对一切n∈N*，xn<|f(xn)|恒成立．试卷第3页，总4页</e2-1，且当n≥2时，nπ-φ≥2π-φ></g(1)＝e，只需a></t<1时，g'(t)<0，g(t)递减，当t></a≤65，(ii)当a＝0时，g(x)=-32x(x+2)，∴g(x)在[0,></x<1时，f'(x)<0，函数f(x)单调递增，∴f(x)极小值＝f(-2)＝8-6-12＝-10，f(x)极大值＝f(2)＝-1-32+6=72；∵f'(x)=32ax2-3x+32a2，∴函数g(x)＝f(x)+f'(x)-32a2x=12ax3-32x2+32a2x+32ax2-3x+32a2-32a2x=12ax3+(32a-32)x2-3x+32a2，∴g'(x)=32ax2+(3a-3)x-3，∵△＝(3a-3)2+12×32a＝3(a2+1)></x1<x2≤1e></c<1,>
