2020-2021学年天津市某校等八校高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）)1.已知集合e耀ƎologƎ香䁕，e耀ƎoƎ香，则（）A.e耀ƎoƎ香B.e䁧C.e耀ƎoƎ香D.e2.已知向量eƎ，e，则的充要条件是（）A.ƎeB.Ǝ＝C.Ǝ＝D.Ǝ＝䁕3.在䁨中，是䁨的中点．若e，䁨e，则eA.B.C.D.4.已知elog，e䁕䁞，e䁞，则（）A.൏൏B.൏൏C.൏൏D.൏൏5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱柱）的高为，这个球的表面积为，则这个正四棱柱的体积为A.B.C.D.Ǝ6.已知Ǝ香䁕，香䁕，若香恒成立，则实数的取值范围是（）ƎA.或B.或C.൏൏D.൏൏7.设Ǝ为定义在R上的奇函数，当Ǝ䁕时，ƎelogƎƎ（为常数），则不等式Ǝ香的解集为()A.B.C.D.8.将函数ƎesinƎ的图象先向右平移个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的香䁕，纵坐标不变，得到函数Ǝ的图象，若函数Ǝ在上没有零点，则的取值范围是（）A.䁕B.䁕C.䁕D.䁕lnƎƎ香9.已知定义在䁧上的函数Ǝe，若函数Ǝ＝ƎƎ恰有个oƎƎoƎ零点，则实数的取值范围是（）A.耀䁕B.耀䁕C.耀䁕D.耀䁕试卷第1页，总7页,二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分，双空题答对一个空得3分）)Ǝ，Ǝ10.设函数Ǝe，则e________．logƎ，Ǝ香11.设曲线eƎlnƎ在点䁕䁕处的切线方程为Ǝe䁕，则e________．12.底面边长和高都为的正四棱锥的表面积为________．13.设䁨的内角，，䁨所对的边分别为，，．若sincosesin䁨，则䁨的形状为________．14.已知，均为正实数，且e，则的最小值为________，此时的值为________．15.如图，在平面四边形䁨中，䁨，䁨，e䁕，ee．若点为边䁨上的动点，则的最小值为________．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）)16.已知函数Ǝe，其中ecosƎsinƎ，ecosƎ，Ǝ䁧．（1）求函数eƎ的单调递减区间；（2）在䁨中，角、、䁨所对的边分别为、、，e，e且向量esin与esin䁨共线，求边长和的值．17.（文科）设数列耀的前项和为e，耀为等比数列，且e，e（1）求数列耀和耀的通项公式；（2）设耀e，求数列耀的前项和．18.如图，在四棱锥䁨中，平面䁨，底面䁨是直角梯形，其中䁨，，＝e䁨＝，＝，为棱䁨上的点，且e䁨．Ⅰ求证：平面䁨；试卷第2页，总7页,Ⅱ求二面角䁨的余弦值；Ⅲ设为棱䁨上的点（不与䁨、重合），且直线与平面䁨所成角的正弦值䁨为，求的值．䁨19.已知数列耀的前项和为，e，，e，设e．Ⅰ证明：耀是等比数列；Ⅱ设e，求耀的前项和，若对于任意，恒成立，求的取值范围．20.已知函数ƎeƎlnƎƎ，䁧．（1）当时Ǝ香䁕，若关于Ǝ的不等式Ǝ䁕恒成立，求的取值范围；Ǝ（2）当Ǝ时，证明：൏lnƎ൏ƎƎ．Ǝ试卷第3页，总7页,参考答案与试题解析2020-2021学年天津市某校等八校高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.A2.D3.B4.B5.B6.D7.D8.C9.B二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分，双空题答对一个空得3分）10.11.12.13.等腰三角形14.,15.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.由已知得到ƎeecosƎsinƎecosƎsinƎecosƎ，所以令Ǝ，解得Ǝ，函数eƎ的单调递减区间；e，得到e，所以cosee，①又e且向量esin与esin䁨共线，得到sin䁨esin，由正弦定理得到e，②由①②解得e，e．17.解：（1）∵数列耀的前项和为e，∴当e时，ee，当时，eee，当e时，上式成立，∴e．∵耀为等比数列，且e，e，e∴，解得e，e，e试卷第4页，总7页,∴ee，∴e．（2）由（1）可得，eee，∴e䁞䁞䁞，①则e䁞䁞䁞，②由①-②得，e䁞䁞䁞ee，∴e．18.证明：Ⅰ以为坐标原点，为Ǝ轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，䁕䁕䁕，䁕䁕，䁨䁕，䁕䁕，䁕䁕，䁕，e䁕，䁨e䁕，e䁕䁕，∵䁨e䁕，e䁕，∴䁨，，∵䁨＝，∴平面䁨．（2）由Ⅰ知平面䁨的法向量e䁕，设平面䁨的法向量eƎ，∵e䁕，䁨e，ee䁕∴，取＝，得e，䁨eƎe䁕∴cos൏香ee，oooo∴二面角䁨的余弦值为．䁨Ⅲ设e䁕൏൏，即䁨e䁨e，䁨∴＝，∴e，∵直线与平面䁨所成角的正弦值为，oo∴ocos൏，香oee，oooo䁨解得e，∴e．䁨试卷第5页，总7页,19.（1）证明：＝，，＝，当e时，ee，e，当，时，e，e䁕，相减可得e，即e，即＝，又＝＝，可得耀是首项e，公比为的等比数列；（2）由（1）知＝，即＝，所以＝＝e，＝，∴＝，当为偶数时，＝是递减的，此时当e时，取最大值，则．当为奇数时，＝是递增的，此时൏，则．综上，的取值范围是．20.由Ǝ䁕，得ƎlnƎƎ䁕Ǝ香䁕．整理，得lnƎ恒成立，即lnƎmin．ƎƎƎ令Ǝ＝lnƎ．则̵Ǝ＝＝．ƎƎƎƎ∴函数Ǝ在䁕上单调递减，在上单调递增．试卷第6页，总7页,∴函数Ǝ＝lnƎ的最小值为Ǝe．∴，即．∴的取值范围是．Ǝ证明：（1）由（2），当e时，有ƎlnƎƎ，即lnƎ．ƎƎƎƎ要证൏lnƎ，可证൏，Ǝ香，ƎƎƎ即证൏，Ǝ香．ƎƎ构造函数ƎeƎƎƎ．则̵ƎeƎ．∵当Ǝ香时，̵Ǝ香䁕．∴Ǝ在上单调递增．Ǝ∴Ǝ香e䁕在上成立，即香Ǝ，证得൏．ƎƎƎ∴当Ǝ时，൏lnƎ成立．Ǝ构造函数ƎelnƎƎƎƎ．ƎƎƎƎ则̵Ǝ＝Ǝee．ƎƎƎ∵当Ǝ香时，̵Ǝ൏䁕，∴Ǝ在上单调递减．∴Ǝ൏e䁕，即lnƎƎƎ൏䁕Ǝ香．∴当Ǝ时，lnƎ൏ƎƎ成立．Ǝ综上，当Ǝ时，有൏lnƎ൏ƎƎ．Ǝ试卷第7页，总7页
