2020-2021学年广东省某校高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知直线l1:2x+ay=2，l2:a2x+2y=1且l1⊥l2，则a的值为（）A.0或1B.0C.-1D.0或-12.若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.2πB.22πC.2πD.4π3.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为（）A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘4.若过点(2, 1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3＝0的距离为（）A.55B.255C.355D.4555.下列命题中，正确的命题是（）A.任意三点确定一个平面B.三条平行直线最多确定一个平面C.不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D.一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6.已知M(3, 23)，N(-1, 23)，F(1, 0)，则点M到直线NF的距离为（）A.5B.23C.22D.337.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16 πB.20πC.24πD.32π8.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是( )A.[2, 6]B.[4, 8]C.[2, 32]D.[22, 32]二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.)9.若x2-x-2<0是-2<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是（）A.1B.2C.3D.410.已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A.若m // n，m⊥α，则n⊥αB.若m // α，α∩β＝n，则m // nC.若m⊥α，m⊥β，则α // βD.若m⊥α，m // n，n // β，则α // β11.若直线过点A(1, 2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为( )A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=012.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26．若点M试卷第7页，总7页
为PC的中点，则下列说法正确的为（）A.BM⊥平面PCDB.PA // 面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M-ABCD的体积为6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.命题“∃x<0，x2-2x-1>0”的否定是________．14.已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的斜截式方程为________．15.若直线l:y=kx与曲线M：y＝1+1-(x-3)2有两个不同交点，则k的取值范围是________．16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知直线l1：x+2y-4=0，若直线l2在x轴上的截距为32，且l1⊥l2．(1)求直线l1和直线l2的交点坐标；(2)已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l3的方程．18.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，AB=12CD=1，PA⊥平面ABCD，PA=AD=3．（1）求证：PD⊥AB；（2）求四棱锥P-ABCD的体积．19.已知圆C的圆心坐标为(a, 0)，且圆C与y轴相切．试卷第7页，总7页
（1）已知a=1，M(4, 4)，点N是圆C上的任意一点，求|MN|的最小值．（2）已知a<0，直线l的斜率为43，且与y轴交于点(0,-23)．若直线l与圆C相离，求a的取值范围．20.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=3，BC=4，点D是线段AB上的动点．（1）当点D是AB的中点时，求证：AC1 // 平面B1CD；（2）线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由．21.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，FA⊥平面ABCD，FA // ED，AB=FA=2ED=2．（1）求二面角F-BC-A的大小的正切值；（2）求点E到平面AFC的距离；（3）求直线FC与平面ABF所成的角的正弦值．22.已知圆O:x2+y2=9，过点P(0, -2)任作圆O的两条相互垂直的弦AB、CD，设M、N分别是AB、CD的中点．（1）直线MN是否过定点？若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由；（2）求四边形ACBD面积的最大值，并求出对应直线AB、CD的方程．试卷第7页，总7页
参考答案与试题解析2020-2021学年广东省某校高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.A3.C4.B5.C6.B7.C8.A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.B,C,D10.A,C11.A,B,C12.B,C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.∀x<0，x2-2x-1≤014.y=-2x-215.[12，34)16.36π四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：(1)∵l1⊥l2，∴k2 = - 1 - 12 = 2．∴直线l2的方程为：y-0＝2(x - 32)，化为：y＝2x-3．联立x + 2y - 4 = 0，2x - y - 3 = 0，解得 x = 2，y = 1， ∴直线l1和l2的交点坐标为(2, 1)．(2)当直线l3经过原点时，可得方程：y = 12x．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：xa + y2a = 1，把交点坐标(2, 1)代入,可得：2a + 12a = 1，解得a = 52．可得方程：2x+y=5．试卷第7页，总7页
综上可得直线l3的方程为：x-2y=0或2x+y-5=0．18.因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，AB∩PA=A，所以AB⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD．S梯形ABCD=12(AB+CD)⋅AD=332，又PA⊥平面ABCD，所以V四棱锥P-ABCD=13×S梯形ABCD×PA=13×332×3=32．19.当a=1时，圆C的方程为(x-1)2+y2=1，又|MC|=(4-1)2+(4-0)2＝5，∴|MN|的最小值为5-1=4；∵直线l的斜率为43，且与y轴交于点(0,-23)，∴直线l的方程为y＝43x-23，即4x-3y-2=0．∵直线l与圆C相离，∴|4a-2|42+(-3)2>|a|，又a<0，则2-4a>-5a，解得a>-2．∴a的取值范围为(-2, 0)．20.证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，则点E是BC1的中点，又点D是AB的中点，由中位线定理得DE // AC1，因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以AC1 // 平面B1CD．当CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1．证明：因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD．又CD⊥AB，AA1∩AB=A，所以CD⊥平面ABB1A1，因为CD⊂平面CDB1，所以平面ABB1A1⊥平面CDB1，故点D满足CD⊥AB．因为AB=5，AC=3，BC=4，所以AC2+BC2=AB2，故△ABC是以角C为直角的三角形，又CD⊥AB，所以AD=95．试卷第7页，总7页
21.作AG⊥BC，AG⊥BC于点G，连接FG，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，AB=2，△ABC为等边三角形，BG=GC=1，AG＝3，∵FA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴FA⊥BC，又 AG∩FA=A，AG∩FA=A，∴BC⊥平面AFG，∴BC⊥FG，∴∠AGF为二面角F-BC-A的平面角，∴tan∠AGF＝AFAG＝23＝233；连接AE，设点E到平面AFC的距离为h，则VE-ACF=VC-AEF，即13×12AF⋅AC⋅h=13×12AF⋅AD⋅3，解得：h＝3；点E到平面AFC的距离3．作CH⊥AB于点H，连接FH，∵△ABC为等边三角形，∴H为AB的中点，AH＝1,CH＝3，FH＝FA2+AH2＝5，∵FA⊥平面ABCD，CH⊂平面ABCD，∴FA⊥CH，又∵CH⊥AB，AB∩AF=A，∴CH⊥平面ABF，∴∠CFH为直线FC与平面ABF所成的角，∴sin∠CFH＝CHCF＝322＝64．22.当直线AB、CD的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：y=kx-2(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，由y＝kx-2x2+y2＝9得：(k2+1)x2-4kx-5=0，∵点P(0, -2)在圆内，故△>0．又∴x1+x2＝4kk2+1∴xM＝x1+x22＝2kk2+1，yM＝kxM-2＝-2k2+1，即 M(2kk2+1，-2k2+1)，∵AB⊥CD以-1k代换k得N(-2kk2+1，-2k2k2+1)，∴kMN＝-2k2+1+2k2k2+12kk2+1+2kk2+1＝k2-12k．∴直线MN的方程为：y+2k2+1＝k2-12k(x-2kk2+1)，化简得y＝k2-12kx-1，故直线MN恒过定点(0, -1)，试卷第7页，总7页
当直线AB、CD的斜率不存在或为0时，显然直线MN恒过定点(0, -1)，综上，直线MN恒过定点(0, -1)．解法一：圆心O到直线AB的距离d1＝2k2+1|AB|＝2r2-d12＝29-4k2+1，（或由第（1）问得：|AB|＝1+k2|x2-x1|＝(1+k2)[(x2+x1)2-4x2x1]＝29k2+5k2+1，以-1k代换k得|CD|＝25k2+9k2+1)，∵AB⊥CD，∴以-1k代换k得：|CD|＝29-4k2k2+1，∴SACBD=12|AB|⋅|CD|=29-4k2+1⋅9-4k2k2+1=245+16k2(k2+1)2=245+16k2+1k2+2≤245+162k2⋅1k2+2=14，当且仅当k2＝1k2，k＝±1时，取等号，故四边形ACBD面积的最大值为14，对应直线AB、CD分别为y=x-2，y=-x-2或y=-x-2，y=x-2．解法二：设圆心O到直线AB、CD的距离分别为d1、d2，则|AB|＝r2-d12＝9-d12，|CD|＝r2-d22＝9-d22，∵AB⊥CD，∴d12+d22＝|OP|2＝4，∴SACBD＝12|AB|⋅|CD|=29-d12⋅9-d22≤(9-d12)+(9-d22)＝18-(d12+d22)=18-|OP|2=18-4=14，当且仅当d1=d2，即k=±1时，取等号，故四边形ACBD面积的最大值为14，对应直线AB、CD分别为y=x-2，y=-x-2或y=-x-2，y=x-2．试卷第7页，总7页
