2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题)1.椭圆＝的焦点坐标为（）A.B.C.D.2.在空间直角坐标系中，已知，，则的中点关于平面㈵的对称点坐标是（）A.B.C.D.3.在正方体ܤܥܤܥ中，二面角ܤܥ的余弦值为（）A.B.C.D.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式＝，其中是柱体的底面积，是柱体柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：），则该柱体的体积（单位：）是（）A.香䁞B.㌳C.䁞D.5.方程所表示的曲线大致形状为（）A.B.试卷第1页，总7页,C.D.6.已知曲线知．则下列命题不正确的是（）A.若，则是椭圆，其焦点在轴上B.若，则是圆，其半径为C.若㔶，则是双曲线，其渐近线方程为＝D.若，，则是两条直线7.已知焦点在轴上的椭圆方程为，随着的增大该椭圆的形状（）A.越接近于圆B.越扁C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆8.已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A.B.㌳C.D.9.如图，在菱形ܤܥ中，ܤܥ㌳，线段ܥ，ܤܥ的中点分别为，．现将ܤܥ沿对角线ܤܥ翻折，则异面直线ܤ与所成角的取值范围是（）A.B.C.D.㌳㌳10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为（）㌳A.B.C.D.二、填空题)11.双曲线＝的实轴长为________，渐近线方程是________．试卷第2页，总7页,12.已知点在椭圆＝上运动，则的最大值是________；点到直线知的最小距离是________．13.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图是一个棱数为䁞的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为．则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．14.已知三棱锥ܤ，平面ܤ，ܤ，，ܤ，则三棱锥ܤ外接球的体积为________．15.若是双曲线：＝的右焦点，是双曲线左支上一点，，则䁞的周长的最小值为________．16.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，ܤ，直线ܤ恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．三、解答题)17.如图，在ܤ中，ܤ㌳，ܤ，ܥ是ܤ上的高，沿ܥ把ܤ折起，使ܤܥ．（1）证明：平面ܥܤ平面ܤܥ；（2）设为ܤ的中点，求异面直线与ܥܤ的夹角的余弦值．试卷第3页，总7页,18.已知椭圆知＝的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为㌳的直线交椭圆于，ܤ两点，求㈵ܤ的面积．19.如图，在四棱锥ܤܥ中，底面ܤܥ是菱形，＝ܥ，ܥܤ＝㌳．（1）证明：ܥܤ；（2）若ܤ㌳，ܤ＝＝，求直线ܤ与平面ܥ所成角的正弦值．20.已知焦点在轴上椭圆的长轴的端点分别为，ܤ，㈵为椭圆的中心，为右焦点，且ܤ，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点，问：是否存在直线，使点恰好为的垂心？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．试卷第4页，总7页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题1.A2.D3.B4.B5.D6.B7.A8.C9.C10.A二、填空题11.,㌳香12.,香13.㌳,14.㌳15.16.㌳三、解答题17.解：由ܤܥ及（1）知ܥ，ܥܤ，ܥ两两垂直，不妨设ܥܤ，以ܥ为坐标原点，分别以ܥܤ、ܥ、ܥ所在直线，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．易得ܥ，ܤ，，，，，，＝，ܥܤ＝，所以与ܥܤ夹角的余弦值为cos，ܥܤ＝ܥܤ＝＝．解：过点作ܤܥ，交ܥ于，＝，＝ܥܥ＝，而ܤܥܥ，即平面ܥ，所以，异面直线与ܥܤ的夹角为，则cos＝＝＝．18.由题＝＝＝，∴，把点代入椭圆知＝，得，试卷第5页，总7页,故椭圆的方程为：＝；㌳过右焦点，斜率＝的直线方程：＝，＝联立㌳，化简得，设，ܤ，＝＝㌳则，所以，＝㌳㌳故㈵ܤ＝＝＝．19.证明：取ܥ中点㈵，连结㈵，ܤ㈵，ܤܥ，∵底面ܤܥ是菱形，且ܥܤ＝㌳，∴ܤܥ是等边三角形，∴㈵ܥ，∵＝ܥ，∴ܥ是等腰三角形，∴㈵ܥ，∵㈵ܤ㈵＝㈵，∴ܥ平面ܤ㈵，∵ܤ平面ܤ㈵，∴ܥܤ．∵ܤ＝＝，∴由（1）知ܤ，ܤܥ中边长为的正三角形，则㈵，ܤ㈵，∵ܤ㌳，∴㈵ܤ㈵＝ܤ，即㈵ܤ㈵，又由（1）知，ܤ㈵ܥ，㈵ܥ，∴以㈵为原点，㈵，㈵ܤ，㈵分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，则ܥ，，，ܤ，ܤ，ܥ，ܥ，设是平面ܥ，ܥ∴，取＝，得，ܥ设直线ܤ与平面ܥ所成角为，ܤ则sin，ܤ㌳香香∴直线ܤ与平面ܥ所成角的正弦值为．香20.解：（1）设椭圆的标准方程为，则，ܤ，试卷第6页，总7页,∵ܤ∴∴∵离心率，∴∴，∴∴椭圆的标准方程为；（2）假设存在直线交椭圆与点，两点，且恰好为的垂，设，，因为，，所以．于是设直线为，由得∴，∵∴∴∴∴或（舍去）故直线的方程为．试卷第7页，总7页
