2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分)1.已知全集＝‸〱〱〱〱，设集合＝‸〱〱，＝〱〱，则等于（）A.B.C.〱D.‸2.已知实数，满足，则䁪的最大值是（）A.B.C.䁪D.䁪3.已知数列满足：＝，且＝，则的值为（）A.B.C.‸D.4.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则5.函数＝sin的图象可能是（）A.B.C.试卷第1页，总8页,D.6.将函数＝sini的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A.，‸B.，‸C.，‸D.，‸i7.函数的图象上关于坐标原点对称的点共有（）A.对B.对C.对D.‸对8.若关于的不等式䁪䁪䁪䁪的解集为空集，则实数的取值范围是（）A.‸〱B.䁪〱‸C.䁪〱䁪‸〱D.䁪〱䁪〱9.设非零向量，夹角为，若＝，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A.䁪〱B.䁪〱C.䁪䁛〱D.〱䁛10.已知矩形矩形，形㘵，沿直线形将形折成䳌形，使点䳌在平面矩形上的射影在矩形内（不含边界）．设二面角䳌䁪形䁪矩的大小为，直线䳌形，䳌矩与平面矩形所成的角分别为，，则（）A.B.C.D.二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分)11.已知㘵，则㘵________，䁪logi㘵________．12.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是，表面积是．试卷第2页，总8页,13.在矩中，角，，矩所对的边分别是，，．若，＝，＝i‸，则＝________，矩的面积＝________．14.已知，为正实数，且＝，则的最小值为________，的最大值为________．15.将正方形矩形沿对角线形折叠成一个四面体矩形，当该四面体的体积最大时，直线与矩形所成的角的大小为________．16.若是函数＝sincos的一条对称轴，则函数的最大值是________．17.在三棱锥䁪矩中，在底面矩的射影为矩的重心，点为棱的中点，记二面角䁪矩䁪的平面角为，则tan的最大值为________．三、解答题：5小题，共74分.)18.如图，四面体矩形中，，分别是形、矩的中点，矩＝矩＝矩形＝形＝，＝形＝．（1）求证：平面矩形；（2）若为上的一点，且＝，求证：矩平面形．19.已知函数㘵sin‸〱䁪的图象关于直线㘵对称，且图象上相邻两个最高点的距离为．Ⅰ求和的值；试卷第3页，总8页,Ⅱ若㘵，求cos的值．i20.如图，在多面体ܨ䁪矩形中，形矩，矩形ܨ，形＝形矩＝形＝，矩＝ܨ＝，矩形＝矩形＝．（1）若为ܨ中点，求证：矩形；（2）若二面角䁪形矩䁪的平面角为，求直线与平面ܨ所成角的大小．21.已知数列满足＝，且是和䁪的等差中项．（1）证明：数列是等比数列；（2）证明：．22.设函数㘵䁪䁪䁪䁪䁪䁪．（1）当㘵时，求的最小值（2）对，‸恒成立，求的取值范围．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1.D2.B3.C4.C5.A6.A7.8.D9.A10.D二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.䁛,䁪12.；13.,14.,15.i‸16.17.三、解答题：5小题，共74分.18.连接矩，∵＝形，∴形，∵＝形，矩＝矩形．在矩中，由题设知＝＝，∴矩＝矩，∴矩＝‸，即矩．∵形，形矩＝，∴平面矩形；在矩形中，形，形边上的中线，则矩＝，又＝，即＝，连接，可得矩，而平面形，矩平面形，所以矩平面形．试卷第5页，总8页,19.（1）由题意可得函数的最小正周期为，∴㘵，∴＝．再根据图象关于直线㘵对称，可得＝，．结合䁪可得㘵䁪．i（2）∵㘵，i∴sin䁪㘵，∴sin䁪㘵．ii再根据‸䁪，i∴cos䁪㘵䁪sin䁪㘵，ii∴cos＝sin＝sin䁪＝sin䁪coscos䁪siniiiiii㘵㘵．20.证明：连接矩，∵矩形，∴四边形矩形为平行四边形，矩形，∵，∴矩形形，∵矩形，矩形，且矩形矩，∵矩矩＝矩，∴矩形平面矩，∵平面矩，∴矩形．由（1）得矩形平面矩，同理得矩形平面形，∴二面角䁪形矩䁪的平面角为形＝∵矩形ܨ，∴ܨ平面形，∵ܨ平面ܨ，∴平面ܨ平面形，同理，由题意得平面形平面矩，∵平面ܨ，设平面ܨ平面形＝，如图，延长形至，连接，并在平面形上作于点，∵形＝形＝＝矩，且形矩，∴形矩，∴四边形是平行四边形，∴两平面交线即为直线，试卷第6页，总8页,∵，∴平面ܨ，∵形＝形＝，且形＝，∴＝形＝，，∵＝，∴＝，∴＝．∴直线与平面ܨ所成角的大小为．21.∵是和䁪的等差中项，∴＝䁪＝（，又＝＝．∴数列是等比数列，公比为．由（1）可得＝䁪，∴＝䁪．∴＝，∴++…+++…+＝＝），∴．22.解（1）当㘵时，㘵䁪䁪䁪，当时，㘵䁪，当时，㘵‸，试卷第7页，总8页,∴的最小值为‸；（2）由‸‸，‸，…即，，得䁪．…又当䁪时，ⅰ）若，㘵䁪‸，ⅱ）若，㘵䁪‸，ⅲ）若，㘵䁪‸，综上可知䁪时，对，‸恒成立，故䁪〱．试卷第8页，总8页
