2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷 (1)

2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.圆x2+2x+y2+4y+1=0的圆心坐标为（）A.(1, 2)B.(-1, 2)C.(1, -2)D.(-1, -2)2.由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（）A.8092m3B.4046m3C.24276m3D.12138m33.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是BC的中点，且AB=BC=2，AB，BC分别与y'轴、x'轴平行，则△ACD在原图中的对应三角形的面积为(    )A.22B.1C.2D.84.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（）A.B.C.D.5.长方体ABCD-AiB1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则二面角A1-BD-C1的余弦值的大小为（）A.-63B.-13C.13D.636.设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若n⊥α，α⊥β，则n // βB.若m // α，n // β，α // β，则m // nC.若m⊥α，α // β，则m⊥βD.若m⊥α，n // α，α⊥β，则n⊥β试卷第7页，总7页, 7.若a∈{-3,-2,-1,0,23，1}，则方程x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0能表示的不同圆的个数为（）A.1B.2C.3D.48.设直线l：(2a+1)x+(a-1)y+3a+3=0(a∈R)与圆C：(x-1)2+y2=r2(r>0)交于A，B两点，当实数a变化时，△ABC的最大面积为9，则此时a的值为（）A.4B.1或4C.1D.1或1109.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱AD的中点，点F，G在平面A1B1C1D1内，若|EF|＝5，CE⊥BG，则|FG|的最小值为（）A.2-1B.355-1C.12D.35510.已知t∈R，点A(x0, y0)表示不在直线l:tx+(t2-14)y+1＝0上的点，则所有点A(x0, y0)构成的图形的面积为（）A.πB.2πC.4πD.8π二、填空题：本大题共7小题。)11.球的体积是323π，则此球的表面积是________．12.圆锥底面半径为1，高为22，轴截面为PAB．如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，则最短绳长为________．13.已知⊙C1:x2+y2-2x-4y+1=0与⊙C2:x2+y2+2x-3=0相交于A，B两点，则直线AB的方程为________，以线段AB为直径的圆的方程为________．14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．试卷第7页，总7页, 15.若⊙C:x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x+y=0与直线l2:x-y+2=0都对称，则D+E=________，点P(2, -2)，若点Q在⊙C上，当∠CPQ的最大值不超过45∘时，实数F取值范围是________．16.如图，三棱台ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AB⊥AC，AA1=A1C1=C1C=1，AB=AC=2，则异面直线AA1与BC1所成角的余弦值为________．17.2020年是中国传统的农历“鼠年”，现用3个圆构成“卡通鼠”的形象．如图，A(0, -2)是⊙A的圆心，且⊙A过原点；点B，C在x轴上，圆⊙B、⊙C的半径均为1，⊙B、⊙C均与⊙A相切．直线l过原点．（1）若直线l与⊙B、⊙C均相切，则直线l截⊙A所得的弦长为________；（2）若直线l截⊙A、⊙B、⊙C所得的弦长均等于m，则m=________．三、解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E为棱AB的中点．(Ⅰ)求证：D1E⊥B1C；(Ⅱ)求证：AC1 // 平面EB1C．19.已知⊙C:x2+y2=16．(Ⅰ)设点Q(x, y)试卷第7页，总7页, 为⊙C上的一个动点，求4x+3y的范围；(Ⅱ)直线l过点P(3, 4)，且与⊙C交于A、B两点，若|AB|＝27，求直线l的方程．20.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，且AB=AC=2，AA1=23．(Ⅰ)求证：平面AB1C⊥平面ABB1A1；(Ⅱ)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值．21.在平面直角坐标系xOy中，点A(-3, 0)，直线l:y=x+4，设⊙C的半径为2，圆心在直线l上．(Ⅰ)若⊙C与直线y=-2x-8相交于E，F两点，且|AE|=|AF|，求⊙C的方程；(Ⅱ)若⊙C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．22.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠DAB=60∘．点G，H分别在边CD，CB上，点G与点C，D不重合，GH⊥AC，GH与AC相交于点O，沿GH将△CGH翻折到△EGH的位置，使二面角E-GH-B为90∘，F是AE的中点．(Ⅰ)请在下面两个条件：①AB=AD，②AB⊥BD中选择一个填在横线处，使命题P：若_____，则BD⊥平面EOA成立，并证明．(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下，当EB取最小值时，求直线BF与平面EBD所成角的正弦值．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D2.A3.C4.A5.B6.C7.B8.D9.B10.C二、填空题：本大题共7小题。11.16π12.3313.x+y-1=0,x2+(y-1)2=214.3,6+3+615.0,[-7, 2)16.371417.45543三、解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（1）证明：连结D1A，A1D，则A1D // B1C，∵ADD1A1是正方形，∴D1A⊥A1D．∵AE⊥平面ADD1A1，∴AE⊥A1D．又D1A∩EA=A，A1D⊥平面AED1．∵D1E⊂平面D1AE，∴D1E⊥A1D，∴D1E⊥B1C．（2）证明：连结BC1，与B1C相交于点O．∵E，O分别是AB，BC1的中点，∴AC1 // EO，又∵AC1⊄平面BEC，OE⊂平面B1EC，∴AC1 // 平面EB1C试卷第7页，总7页, 19.（1）设4x+3y=t，则直线4x+3y=t与⊙C有公共点，所以圆心到直线的距离d≤4，|t|42+32≤4，解得-20≤t≤20．4x+3y的范围：[-20, 20]；（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=3，l与圆的两个交点坐标为(3,7)，(3,-7)，这两点的距离为27，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-4=k(x-3)，即kx-y-3k+4=0，设圆心到此直线的距离为d(d>0)，则27＝216-d2，得d=3，从而|-3k+4|k2+1＝3，得k＝724，此时直线方程为7x-24y+75=0，综上所述，所求直线方程为7x-24y+75=0或x=3．20.（1）证明：∵B1C⊥平面ABC，∴B1C⊥AB，又AB⊥AC，B1C∩AC=C，所以AB⊥平面AB1C，AB⊂ABB1A1；所以平面AB1C⊥平面ABB1A1；（2）设BC1∩B1C=O，作OE⊥AB1于E，连结BE，∵平面AB1C⊥平面ABB1A1于AB1，∴OE⊥平面ABB&1A1，∴∠EBO为BC1与平面ABB1A1所成角；由已知AB=AC=2，BB1＝23，得B1C=2，B1A＝22，∴BO＝BC2+OC2＝3，在等腰直角△AB1C中，OE＝22，所以sin∠EBO＝OEOB＝26，即BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为26．21.(Ⅰ)设EF的中点为G，连结AE，AF，试卷第7页，总7页, CE，CF，AG，CG，由已知得AG⊥EF，又CE=CF，所以CG⊥EF，则可得AC⊥EF，则直线AC的方程为y＝12(x+3)，圆心C满足，y＝12(x+3)y＝x+4，解得C(-5, -1)，则圆C的方程为(x+5)2+(y+1)2=4．（2）∵⊙C的圆心在在直线l:y=x+4上，设圆心C为(a, a+4)，则⊙C的方程为(x-a)2+[y-(a+4)]2=4，又∵|MA|=2|MO|，设M(x, y)，(x+3)2+y2＝2x2+y2整理得：(x-1)2+y2=4，设此为⊙D，∴点M应该既在⊙C上又在⊙D上即⊙C和⊙D有交点，∴|2-2|≤(a-1)2+(a+4)2≤|2+2|，由2a2+6a+17≥0得a∈R，由2a2+6a+1≤0得-3-72≤a≤-3+72，终上所述，a的取值范围为：[-3-72，-3+72]．22.（1）命题P：若AB=AD，则BD⊥平面EOA．∵AC⊥GH，∴AO⊥GH，EO⊥GH，又二面角E-GH-B的大小为90∘，∴∠AOE=90∘，即EO⊥AO，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥BD，又AB=BC，∴AO⊥BD，AO∩EO=O，∴BD⊥平面EOA．（2）设AC与BD交于点M，AB=4，∠DAB=60∘，则AC＝43，设CO=x，OM＝23-x，OB2＝OM2+MB2＝x2-43x+16，EB2＝EO2+OB2＝2x2-43x+16，当x＝3，|EB|min＝10，连结EM，作QF⊥EM于F，连结BF，由(Ⅰ)知BD⊥平面EOA，∴BD⊥QF，∴QF⊥平面EBD，∴∠QBF即为QB与平面EBD所成角，在Rt△EMB中，EB＝10，BM=2，EM＝6，AE＝30，由(2QB)2+AE2＝2(AB2+BE2)⇒|QB|＝222，|QF|＝62，∴sin∠QBF＝QFQB＝3311，即QB与平面EBD所成角得正弦值为3311．试卷第7页，总7页