2019-2020学年浙江省杭州某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分)1.已知集合＝tht，＝tht＝香，则＝（）A.䁞香B.䁞香C.䁞D.香䁞tt2.我们把方程分别为：香和香的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A.离心率B.渐近线C.焦点D.顶点3.设，，，则“＝”是“为，的等比中项”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若多项式香＝香香ǤǤǤ香香，则＝（）香香A.B.香C.D.香香䁞5.设函数，则下列结论错误的是（）䁞A.的值域为䁞香B.是偶函数C.不是周期函数D.不是单调函数6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（）A.种B.种C.种D.种t香䁞7.设关于，t的不等式组䁞表示的平面区域内存在点䁞t，满足tt，求得的取值范围是（）香A.䁞B.䁞C.䁞D.䁞8.设香，已知随机变量的分布列是香香香香香若，则＝（）香香香香A.B.C.D.试卷第1页，总8页,9.已知直三棱柱笀币笀币的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，是侧棱上的点（不含端点）．记直线笀与直线币所成的角为，直线笀与直线笀币所成的角为，二面角笀笀币的平面角为，则（）A.B.C.D.10.若函数＝有极值点，，且，＝，则关于香香香香的方程＝的不同实根个数是（）A.B.C.D.二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分)11.若复数满足݂＝݂（݂为虚数单位），则＝________；hh＝________．h香h香12.已知，若＝，则＝________；若，则香的取值范围为________．13.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是________，最长棱长为________．t14.已知椭圆香的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，hh为半径的圆上，则hh＝________；点的坐标为________．15.已知cos，则cossin的值为________．16.在笀币中，笀币为直角，点在线段笀上，满足笀＝＝，记币＝，若对于给定的，这样的笀币是唯一确定的，则笀币＝________．17.已知hh香，向量满足hh，设，的夹角为，则cos的最小值为________．三、解答题：5小题，共74分)18.已知函数ൌsin，．该函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，笀，币为图象与轴的交点，且笀币为正三角形．试卷第2页，总8页,（1）求的值；（2）若，䁞，求香的值．19.香香分制乒乓球比赛，每赢一球得香分，当某局打成香香平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为Ǥ，乙发球时甲得分的概率为Ǥ，各球的结果相互独立．在某局双方香香平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．（1）求＝；（2）求事件“＝且甲获胜”的概率．20.已知数列中，相邻两项，香是关于的方程：的两实根，且＝香．香（1）若为数列的前项和，求香；（2）求数列和的通项公式．21.如图，已知点香䁞为抛物线t＝的焦点，过点的直线交抛物线于、笀两点，点币在抛物线上，使得笀币的重心在轴上．（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线与直线笀币的倾斜角互补；（3）当香䁞时，求笀币面积的最大值．香22.已知实数，设函数ln香．试卷第3页，总8页,（1）当＝香时，求函数的单调区间；香（2）对任意䁞均有，求的取值范围．注：＝Ǥ香…为自然对数的底数．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省杭州某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1.B2.B3.B4.D5.C6.C7.C8.A9.D10.A二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分香香11.݂,12.香,䁞香香䁞13.香,香14.,䁞15.16.17.三、解答题：5小题，共74分18.由ൌsin，得：＝cossinsin．又正三角形笀币的高为，从而笀币＝．∴函数的周期＝＝，即，；由，得sin，整理得sin，∵䁞，∴䁞，∴cos，∴香＝sin＝sincoscossin试卷第5页，总8页,＝．19.设双方香香平后的第个球甲获胜为事件＝香䁞䁞,…，则＝＝香香＝香香＝ǤǤǤǤ＝Ǥ．（＝且甲获胜）＝香香＝香香＝ǤǤǤǤǤǤǤǤ＝Ǥ香．20.因为、香是关于的两实根，所以香＝，香＝香＝，香，所以香＝．香＝，香＝香，两式相减，＝，香＝香香＝，因为＝香＝，所以＝香＝香，因为香，所以香，香香香香香，＝香香香香，香所以，香香．香21.点香䁞为抛物线t＝的焦点，即香，即＝，抛物线的方程为t＝，准线方程为＝香；证明：设过的直线方程为t＝香，，香䁞t香，笀䁞t，币䁞，即有t＝，t＝，＝，香香联立直线t＝香和抛物线t＝可得tt＝，可得t香t，t香t＝，t香tt香t则笀币，香t香tt香tt香t由笀币的重心在轴上，可得，即t香t＝，即有笀币＝，试卷第6页，总8页,当直线笀的斜率不存在时，求得，笀，币的坐标，可得笀币＝．则直线与直线笀币的倾斜角互补；t香tt香t由（2）可得香香，香＝，香香可得香䁞，解得䁞，香由抛物线的定义可得h笀h＝香＝，由t香t＝，即，即，，币的坐标为䁞，hhhh币到直线t＝的距离为，香香香香hh香可得笀币的面积为h笀h＝hh，香香由，可得＝香香，香设香（${1由＝香，则在香䁞递减，可得；当直线笀的斜率不存在时，设香䁞，笀香䁞，可得币䁞，香笀币的面积为香＝，可得笀币的面积的最大值为．香22.由题意，当＝香时，ln香，定义域为h．香香香∴，香香①令，即$${\{}$\${sqrt\{x\,+\,1\}}$<}$x，解得0＜x${<\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$；②令${f′(x)\gt0}$，即${\sqrt{x+1}\gtx}$，解得${x\gt\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}$．∴函数${f(x)}$的单调递减区间为${(0,\,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})}$，单调递增区间为${(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\,+\infty)}$；令ln香，香∵䁞䁞恒成立，香∴香䁞得{0}$下证当{0}$恒成立，先证{\{}݂\ݍ݂香香<\frac{1}{4}}，{g'(x)=\frac{a}{2x}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{4a\sqrt{x}}=\frac{2{a}^{2}(\sqrt{x+1}+\frac{x}{a}-\frac{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{4{a}^{2}})}{4ax\sqrt{x+1}}=\frac{2{a}^{2}\lbrack\sqrt{x+1}(1-\frac{\sqrt{x}}{4{a}^{2}})+\frac{\sqrt{x}}{a}(\sqrt{x}-香\frac{\sqrt{x+1}}{4a})\rbrack}{4ax\sqrt{x+1}}}，当{∴当䁞时恒试卷第7页，总8页,成立，香∴函数t＝在䁞上单调递减，∴当{0}$恒成立．试卷第8页，总8页
