2019-2020学年浙江省某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分)1.已知集合＝‸㈱‸，＝‸㈱log‸，则＝（）A.䁞㌳䁃B.䁞C.香䁞D.䁞㌳䁃2.已知椭圆的离心率为，则其焦距为（）A.B.C.D.3.设为复数，为其共轭复数，则“”是“㈱㈱”的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面知平且平＝，是平面内一点，，是异于且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（）A.若且平，则B.若知且知平，则知C.若且，则平D.若且知，则知平‸䳌香，5.设‸，满足不等式组‸香，若‸䳌的最大值为䳌Ȁ，最小值‸香，为䳌，则实数的取值范围是A.䁞䁃B.䁞䁃C.䁞䳌D.䁞䁃6.将编号为，，，，，㌳，的小球放入编号为，，，，，㌳，的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A.香香B.C.D.香7.已知，R，随机变量满足‸‸䳌，其中‸䁞香䁞，若，则䁃䳌香A.B.C.D.8.已知实数‸，满足‸香，且＝，则‸䳌的最小值为（）试卷第1页，总11页,A.B.C.D.9.已知可导函数‸的导函数为̵‸，若对任意的‸，都有‸̵‸䳌，且‸香Ȁ为奇函数，则不等式‸香‸的解集为（）A.䁞香B.香䁞䳌C.䁞D.，䳌10.已知数列满足，䳌䳌N，则使的正整数香的最小值是A.香B.香ȀC.香香D.香二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分)11.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长，井深各几何？”其大意为：“用绳子测量井的深度，若将绳三等分，则绳比井的深度长四尺；若将绳四等分，则绳比井的深度长一尺．”则绳长________尺，井深________尺．12.一个几何体的三视图如图所示，其中，正视图中䁨是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为________，表面积为________．13.已知，则‸项的二项式系数是________；㈱香㈱䳌㈱㈱䳌㈱㈱䳌䳌㈱㌳㈱＝________．14.在䁨中，䁨＝，＝䁨，为䁨上一点且满足，则当䁨最大时，sin䁨＝________，䁨的面积为________．15.已知点䁞是双曲线右支上的一点，，分别为其左、右焦点，线段交䁨的左支于点，则㈱㈱䳌㈱㈱＝________．16.已知香时直角三角形䁨的斜边䁨上的高，点在香的延长线上，且满足．若，则的值为________．17.如图，在䁨中，，䁨香，䁨．过䁨的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至̵，使得点̵在平面试卷第2页，总11页,䁨内的投影落在线段䁨上，则点̵的轨迹长度为________．三、解答题：5小题，共74分)18.已知角，平的顶点与原点重合，始边与‸轴的非负半轴重合，点，分别在，平的终边上．（1）求cos平的值；（2）设函数，求‸的最小正周期和单调递减区间．19.如图，四边形䁨香是正方形，四边形香为矩形，䁨知，为的中点．（1）求证：知平面䁨香；（2）二面角䁨香的大小可以为㌳香吗？若可以，求出此时的值，若不可以，请说明理由．20.已知数列是等比数列，且满足䳌㌳＝䳌，是数列的前项和，且䳌＝，＝，＝．䳌䳌（1）求，的通项公式；（2）设＝，是数列的前项和．若对任意的正整数，䳌恒成立，求实数的取值范围．21.如图，已知抛物线䁨‸和点䁞，过点作直线分别交䁨于、两点，为线段的中点，‸香䁞香为抛物线䁨上的一个动点．试卷第3页，总11页,（1）当香时，过点作直线知交䁨于另一点香，为线段香的中点，设、的纵坐标分别为、．求㈱㈱的最小值；（2）证明：存在香的值，使得㈱㈱㈱㈱恒成立．22.已知函数‸＝ln‸‸‸䁞．Ⅰ当＝时，设‸，‸为‸的两个不同极值点，证明：‸䳌‸ln；Ⅱ设‸，‸为‸的两个不同零点，证明：‸䳌‸‸䳌‸．试卷第4页，总11页,参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1.C2.B3.C4.D5.B6.C7.B8.B9.B10.C二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.㌳,12.,13.,㌳14.,15.䳌16.17.三、解答题：5小题，共74分18.由已知可得：sin，cos，sin，cos，试卷第5页，总11页,所以cos，sin，所以cos平＝cos㌳平cos䳌sin平sin＝；由sin，cos，所以函数‸＝sin‸䳌＝䳌ㄮ＝），所以函数的最小正周期为＝，令，解得‸，所以函数的单调递减区间为ㄮ䳌，ㄮ．19.证明：∵四边形香是矩形，∴知香，又䁨知，䁨香＝、香平面䁨香，∴知平面䁨香；∵为的中点，∴，∴知平面䁨香，以为坐标原点，分别以香、所在直线为‸、，设＝，＝，则（），䁨香，，香，香，平面香的一个法向量为，，，设平面䁨的一个法向量为，由，取‸＝，得，试卷第6页，总11页,由㈱cos㈱＝㈱＝cos㌳香，解得，即．∴二面角䁨香的大小可以为㌳香，时的值为．20.，∴䳌香，香＝，又＝，∴，已知：，，∴，∴，∴，又满足，∴，试卷第7页，总11页,已知：，，由系数相等得：，∴＝䳌䳌䳌＝，∴，∴恒成立，∴恒成立，又，时，，∴香，即．21.因为分别交䁨于，两点，所以直线不平行于‸轴，设方程为‸䳌䳌，‸䁞，‸䁞，‸香䁞香，联立直线与椭圆䁨的方程可得香香，所以㌳香㌳䳌䳌香，䳌由韦达定理可得，因为直线交椭圆䁨于点，，所以直线不平行于‸轴，即香，又因为知，设直线‸䳌䳌，香‸䁞，联立直线与椭圆的方程可得䳌香，因为为线段香的中点，香䳌由韦达定理可得，所以㈱㈱㈱䳌㈱，当且仅当时取等号，所以㈱㈱的最小值为．证明：当直线不经过点时，㈱㈱㈱㈱等价于知，即ㄮㄮ，设直线的方程为‸䳌䳌，‸䁞，‸䁞，由（1）联立方程可得香香，试卷第8页，总11页,䳌＝由韦达定理，，＝香香香又ㄮ‸，‸香香䳌香同理可得ㄮ，䳌香㌳所以ㄮㄮ，䳌香䳌香于是䳌䳌䳌䳌㌳香，香香将代入整理可得䳌香，香香香＝香要使得该式恒成立，则，解得香，‸香，＝香香当直线经过点时，ㄮㄮ‸‸‸‸䳌䳌䳌䳌䳌䳌䳌䳌䳌䳌䳌㌳䳌㌳香䳌，香䳌䳌䳌䳌㌳䳌㌳所以存在香时，使得㈱㈱㈱㈱．22.证明：Ⅰ当＝时，‸＝ln‸䳌‸‸，∴̵‸＝䳌‸＝，∵‸，‸为‸的两个不同极值点，∴‸，‸为方程‸‸䳌＝的两个不同正根，∴‸䳌‸＝，‸‸＝，又香，∴，∴‸䳌‸＝ln‸䳌‸‸䳌ln‸䳌‸‸㌳＝ln‸‸䳌‸䳌‸‸䳌‸＝ln‸‸䳌‸䳌‸‸‸䁃‸䳌‸㌳＝lnln．（2）要证明‸䳌‸‸䳌‸，即ln，下面分别证明ln‸㌳䳌‸⩽‸䳌‸和两式相加即得结论，先证明ln‸䳌‸㌳⩽‸䳌‸，令＝‸䳌‸，即证ln䳌⩽香，试卷第9页，总11页,令函数＝ln䳌㌳，则，∴在香䁞单调递增，䳌单调递减，∴⩽＝，证毕．再证明-，即，∵‸，‸为‸的两个不同零点，不妨设‸‸，∴①，∴①-②可得ln，两边同时乘以可得，即＝，令，则，即证，即ln，试卷第10页，总11页,即证ln，令函数，则，∴在香䁞㌳单调递增，∴＝香，证毕．试卷第11页，总11页
