长沙市名校2022届高三上学期第一次月考数学本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，则（）A．B．C．D．★2．设复数z满足则（）A．1B．C．D．★3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型预测当时，y的估计值为（）A．210.5B．211C．211.5D．2124．过抛物线，的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则（）A．2B．3C．D．5．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球奖（直径为a），等边圆柱（底面圆的直径为a），正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为，那么（）A．B．C．D．,6．已知且，若，则（）A．或B．或1C．1D．7．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三天，第一关与第二关的过关率分别为只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进人第三关的概率为（）A．B．C．D．★8．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2．则（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知函数，则下列关于的说法正确的是（）A．最大值为4B．在上单调递减C．是它的一个对称中心D．是它的一条对称轴10．已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则11．如图已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的值可以是（参考数据）（）,A．B．C．0D．112．如图所示，在矩形中，，E为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，G为垂足．设，则下列说法正确的是（）A．若平面，则B．若平面，则C．若平面平面，且，则D．若平面平面，且，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若是偶函数，则_________．14，已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则_________．15．设函数，若曲线在处的切线经过点．则实数a的值为＿＿＿＿；在（e为自然对数的底数，）上的最小值为_________．16．在数列中，对任意，当且仅当，若满足，则m的最小值为_________．,四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，面积，求的值．★18．（本小题满分12分）比知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为．若对恒成立．求正整数m的最大值．19．（本小题满分12分）设甲、乙两位同学在高中年级上学期间，甲同学每天6：30之前到校的概率均为，乙同学每天6：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设A为事件“上学期间的五天中，甲同学在6：30之前到校的天数为3天”，B为事件“上学期间的五天中，甲同学有且只有一次连续两天在6：30之前到校”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，（2）甲、乙同学组成了学习互助小组后，若某天至少有一位同学在6：30之后到校，则之后的一天甲，乙同学必然同时在6：30之前到校，在上学期间的五天，随机变量Y表示甲、乙同学同时在6：30之前到校的天数，求Y的分布列与数学期望．20．（本小题满分12分）如图，在中，．O为的外心，平面，且．（1）求证：平面；（2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与,平面所成角取最大值时，求的值21．（本小题满分12分）设椭圆长轴的左，右顶点分别为A，B．（1）若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为，求的最小值；（2）已知过点的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线分别交y轴于点S、T，记（O为坐标原点），当直线1的倾斜角为锐角时，求的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数（是自然对数的底数）．（1）设，求的最小值；（2）讨论关于x的方程的根的个数，长沙市名校2022届高三上学期第一次月考数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CBCCDDBA1．C【解析】由函数单调递增，不等式解得，即集合，则．故选C．2．B【解析】因为，所．故选B3．C【解析】，将代入得，则，当时，，应选答,案C4．C【解析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，设，则，，故选C．5．D【解析】由题意得球的体积为；等边圆柱的体积为；正方体的体积，所以，故选D．6．D【解析】由，得，所以，求得（舍），．又，将的值代入上式可得：．故选D．7．B【解析】该选手闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为，所以该选手能进入第三关的概率为．故选B8．A【解析】由双曲线的定义知，，∵，∴，即，∴，,在中，由余弦定理知，，∵，故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．题号9101112答案ADABDABCAC9．AD【解析】由，∴的最大值为4，所以A正确；因为当时，，不是单调函数，所以B错误；因为不在图象上，所以不是其对称中心，所以C错误；因为为函数的最大值，所以对称轴，所以D正确，故选AD．10．ABD【解析】由题意．，∴，所以A正确；对于B：等号当且仅当，即时成立，所以B正确；对于C：由韦达定理，知，所以C错误；对于D：由韦达定理，知，则，解得，所以D正确；故选ABD．11．ABC【解析】以圆心为原点，平行的直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，,则设，则，且，，∵在递增，在递减，∴当时，最小值为，当时，的最大值为，则所以ABC正确，D错误，故选ABC12．AC【解析】对于A，若平面，则，在中，，则，是三角形的高，则所以A正确；对于B，若平面，则有，则，在中，，即，解得，所以B错误；对于C，若平面平面，作，垂足为H，,因为平面平面，所以平面，从而，又，所以平面，从而，因为，所以在等腰直角三角形中，，所以在等腰直角三角形中，，所以C正确；对于D，若平面平面，平面平面，又，故平面，所以，作，垂足为H，从而有平面，从而，从而有C，H，G三点共线，则，又，故，又，所以，故，因为，所以，所以D错误；故选AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解析】∵是偶函数，∴，经检验符合题意，故答案为．14．【解析】圆，圆心，半径，∵，∴直线过圆心，∴，∴，∴直线，倾斜角为，∵过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，∴．,15．1【解析】函数，则定义域为，．由题设，解得．从而；当时，时，．可知在单调递增．在上单调递减．又，所以在上的最小值为．16．512【解析】不妨设，由题意可得，，因为，所以，同理可得，，…所以，因为，所以，解得，又，所以k的最小值整数解为9，故m的最小值为．故答案为：512．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解析】由三角形面积公式，则，∵，∴4分（法一）由正弦定理得，．又由得，所以，8分所以,10分（法二）由余弦定理得，即，解得（舍）或，8分由余弦定理得．10分18．【解析】（1）因为数列满足：，所以，设的公比为q，可得，4分又，即，解得，4分所以；5分（2），6分，，7分上面两式相减可得，8分化简可，9分因为，10分所以递增，最小，且为所以，11分解得，则m的最大值为2021．12分19．【解析】（1）事件包含6种情况；甲同学第1、2、4天6：30之前到校；甲同学第1、2、5天6：30之前到校；甲同学第2、3，、5天6：30之前到校；甲同学第1、3、4天6：30之前到校；甲同学第1、4、5天6：30之前到校；甲同学第2、4、5天6：30之前到校，故，又,，所以．5分（2）随机变量Y的所有可能取值为2、3、4、5．则，.10分则随机变量Y的分布列为：Y2345P11分则12分20．【解析】（1）如图，连接，交于点D，O为的外心，，所以，所以故和都为等边三角形，3分即四边形为菱形，所以又平面，平面，所以平面．5分（2）由（1）同理可知因为平面，平面，平面平面，所以．6分如图所示：以点D为原点，，垂直平面的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则．设所以,设平面的法向量为．，得令得．9分所以直线l与平面所成角的正弦值为：，11分即当即点M是线段的中点时，直线l与平面所成角取最大值．12分21．【解析】（1）设点，由椭圆的对称性知，不妨令，由已知，则，显然有，2分则，，则，4分因，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为．5分（2）当直线l的倾斜角为锐角时，设，设直线，由得，从而，又，得，,所以，6分又直线的方程是：，令，解得，所以点S为；直线的方程是：，同理点T为·所以，因为，所以，8分所以11分∵，∴，综上，所以，的范围是．12分22．【解析】（1）由题意可求得，1分因为，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，3分,所以时，的最小值为．4分（2）设，令，则，所以在上递增，在递减．5分（i）当时，，则，所以．因为，所以，因此在上单调递增．7分（ⅱ）当时，，则，则．因为，即，又，所以，因此在上单调递减．综合（i）（ⅱ）可知，当时，，5分当，即时，）没有零点，故关于x的方程根的个数为0，当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根个数为1，7分当，即时，①当时，，要使，可令，即；9分②当时，，,要使，可令，即，所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2，11分综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，当时，关于x的方程根的个数为1，当时，关于x的方程根的个数为2．12分
