湖南省长沙市雅礼中学2022届高三数学上学期第一次月考试题文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2．设，为两个不相等的集合，条件：，条件：，则是的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．是虚数单位，复数（）A．B．C．D．4．已知，，若，则（）A．B．C．D．5．下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为（）A．，B．，，且C．，D．，6．如图所示的程序框图表示求算式“”的值，则判断框内可以填入（）A．B．C．D．7．已知，则（）A．B．C．D．-9-\n8．已知，，，，则（）A．B．C．D．9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象11．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．如图，已知双曲线（，）的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，△的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．-9-\n二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．在锐角△中，角，所对的边长分别为，，若，则．14．在棱长为3的正方体内随机取点，则点到正方体各顶点的距离都大于1的概率为．15．已知实数，满足则的最大值为．16．定义在上的函数满足：对，都有；当时，，给出如下结论：其中所有正确结论的序号是：．①对，有；②函数的值域为；③存在，使得；④函数在区间单调递减的充分条件是“存在，使得”．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列各项均为正，且，（）．（1）设，求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．18．（本小题满分12分）今年暑假期间，雅礼中学组织学生进社区开展社会实践活动．部分学生进行了关于“消防安全”的调查，随机抽取了50名居民进行问卷调查，活动结束后，对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：-9-\n年龄（岁）频数141286知道的人数348732（1）求上表中的、的值，并补全右图所示的频率分布直方图；（2）在被调查的居民中，若从年龄在，的居民中各随机选取1人参加消防知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道灭火器的使用方法的概率．19．（本小题满分12分）如图1，在边长为4的菱形中，∠，点，分别是边，的中点，，沿将△翻折到△，连接，，，得到如图2的五棱锥，且．（1）求证：⊥平面（2）求四棱锥的体积．20．（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到焦点的距离为3，椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．（1）求抛物线和椭圆的方程；-9-\n（2）已知直线：交椭圆于、两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围．21．（本小题满分12分）设函数，．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，，且，求证：．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），又以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．-9-\n雅礼中学2022解高三第一次月考试卷数学答案（文科）（2）由（1）知，，所以，即，所以，所以．18．解：（1）年龄在的频数为，年龄在的频数为．（2）记年龄在区间的居民为，，，（其中居民为不知道使用方法）；年龄在区间的居民为，，，，，（其中居民，不知道使用方法）．选取的两人的情形有：，，，，，，-9-\n，，，，，，，，，，，，，，，，，，共24个基本事件，其中仅有一人不知道灭火器的使用方法的基本事件有10个．所以选中的两人中仅有一人不知道灭火器的使用方法的概率．19．（1）证明：∵点，分别是边，的中点，∴．∵菱形的对角线互相垂直，∴⊥，∴，∴，．∵平面，平面，，∴平面，∴平面．（2）设，连接，∵∠，∴△为等边三角形，∴，，，．在△中，，在△中，，∴．∵，，平面，平面，∴平面．∵梯形的面积，∴四棱锥的体积．20．解：（1）由题意可知，解得，所以抛物线的方程为：．∴抛物线的焦点，∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴椭圆半焦距，．-9-\n∵椭圆的离心率为，∴，解得，，∴椭圆的方程为．（2）设、，由得，∴，，由，即，解得或．①∵原点在以线段为直径的圆的外部，则，∴，解得．②由①②解得实数的范围是或．21．解：（1）函数的定义域为，，∵曲线在点处的切线与直线垂直，∴．（2）由于，所以令，则．①当，即时，，从而，故函数在上单调递增；②当，即时，的两个根为，，-9-\n当，即时，，当时，．故当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在，单调递增，在单调递减．22．解：（1）曲线的极坐标方程，化为，即．∴曲线的直角坐标方程为．（2）将直线的参数方程（为参数），代入曲线方程得，设，对应的参数分别为，，则，，所以．-9-
