系统抽样 (20分钟 35分)1.为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选A.1252=50×25+2，故应从总体中随机剔除2个个体.2.下列说法错误的个数是( )①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；②系统抽样中在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；③百货商场的抽奖活动是抽签法；④整个系统抽样过程中，每个个体被抽取的机会相等.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.依题意及简单随机抽样、系统抽样的定义及特点知：①③④是正确的，②不正确.因为系统抽样分组后，在第一组中利用简单随机抽样，其他组加分组间隔即可.3.在一个个体数目为2003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的机会为( )A.B.C.D.【解析】选C.从2003个个体中抽取100个样本，每个个体被抽到的概率都相等，均为.4.从编号为0，1，2，…，89的90件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是9的样本.若编号为36的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为______. 【解析】样本间隔为90÷9=10，设第一个编号为x，因为编号为36的产品在样本中，所以36=3×10+x.则第一个编号为6，则最大的编号为6+8×10=86.答案：865.人们打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序搬牌，对每个人来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本.则这种抽样方法是______. 【解析】6
简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取.而这里只是随机确定了起始张，这时其他各张虽然是逐张起牌的，其实各张在谁手里已被确定.所以不是简单随机抽样，根据其等距起牌的特点应将其定位为系统抽样.答案：系统抽样【补偿训练】某班级的54名学生编号为：1，2，3，…，54，为了采集同学们的身高信息，先采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知样本中含有编号为5，23和41的学生，则样本中剩余三名同学的编号分别为______. 【解析】根据系统抽样的定义，抽样间距为9，样本中含有编号为5的学生，则应抽取的学生的编号为5，14，23，32，41，50，故应填14，32，50.答案：14，32，506.某装订厂平均每小时装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检验其质量情况，请设计一个抽样方案.【解析】第一步，将362册图书随机编号；第二步，用随机数表法从这些书中抽取2册书，不进行检查；第三步，将剩下的书重新编号(分别为0，1，…，359)，并平均分成40段；第四步，从第一段(编号为0，1，…，8)中用简单随机抽样的方法，抽取1册书，设其编号为k；第五步，抽取编号分别为k，k+9，k+18，k+27，…，k+39×9的书，这样就抽取了总共有40个个体的样本. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列问题中，最适合用系统抽样法抽样的是( )A.从某厂生产的30个零件中随机抽取6个入样B.一个城市有210家超市，其中大型超市20家，中型超市40家，小型超市150家.为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C.从参加竞赛的1500名初中生中随机抽取100人分析试题作答情况D.从参加期末考试的2400名高中生中随机抽取10人了解某些情况【解析】6
选C.A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法.2.为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为( )A.24B.25C.26D.28【解析】选B.因为5008=200×25+8，所以每组的容量为25.3.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，抽取的人的编号在区间[241，360]内的人数是( )A.7B.6C.5D.8【解析】选B.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，则样本间隔为420÷21=20，则在区间[241，360]内共有360-241+1=120(人)，则抽取的人数为：120÷20=6(人).【补偿训练】用系统抽样法(按等距离的规则)从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号.按编号顺序平均分成20段(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是( )A.7 B.5 C.4 D.3【解析】选B.由系统抽样知，每段中有8人，第16段应为从121到128这8个号码，125是其中的第5个号码，所以第1段中被确定的号码是5.4.(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生【解析】选C.由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{an}，公差d=10，所以an=6+10(n-1)(n∈N*)，若8=6+10(n-1)，则n=1.2，不合题意；若200=6+10(n-1)，则n=20.4，不合题意；若616=6+10(n-1)，则n=62，符合题意；若815=6+10(n-1)，则n=81.9，不合题意.故选C.【补偿训练】6
将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽取的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为( )A.14B.15C.16D.17【解析】选C.系统抽样的分段间隔为=10，在随机抽样中，首次抽到003，故可知在001至200中有20人，在201至355中有16人.5.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A.26，16，8B.25，17，8C.25，16，9D.24，17，9【解析】选B.依题意及系统抽样可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300，得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3+12(k-1)≤495，得<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17.从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50-42=8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人进行问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落在区间[481，720]内的人数为______. 【解析】采用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，则分段间隔为20，所以从编号落在区间[481，720]内的240人中抽取=12(人).答案：127.为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是_____. 【解析】6
由系统抽样原理知，抽样间隔是相同的，故抽取样本的编号分别为7，7+13，7+13×2，7+13×3.故还有一位同学的编号应是20.答案：208.某单位有职工72人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量为n，则不需要剔除个体，若样本容量为n+1，则需剔除2个个体，则n=______. 【解析】由题意知n为72的约数，n+1为70的约数，其中72的约数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，其中加1后能整除70的有1，4，6，9，其中n=1不符合题意，故n=4或6或9.答案：4或6或9三、解答题(每小题10分，共20分)9.某工厂有工人1007名，现从中抽取100人进行体检，试写出抽样方案.【解析】用系统抽样的方法抽取样本.第一步，编号.将1007名工人编号，号码为0001，0002，…，1007.第二步，利用随机数表法抽取7个号码，将对应编号的工人剔除.第三步，将剩余的1000名工人重新编号，号码为0001，0002，…，1000.第四步，确定分段间隔k==10，将总体分成100段，每段10名工人.第五步，在第1段中，利用抽签法或者随机数表法抽取一个号码m.第六步，利用分段间隔，将m，m+10，m+20，…，m+990共100个号码抽出.10.某工厂有普通工人1001人，高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队参加某项活动，应怎样抽样？【解析】先抽取普通工人.(1)将1001名普通工人用随机方式编号；(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1000名工人重新编号(分别为0001，0002，…，1000)，并平均分成40段，其中每一段包含=25个个体；(3)在第一段0001，0002，…，0025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0003)作为起始号码；(4)将编号为0003，0028，0053，…，0978的个体抽出；再抽取高级工程师.(5)将20名高级工程师用随机方式编号为1，2，…，20；(6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签；6
(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀；(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号；(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出.以上得到的个体便是代表队成员.1.一个总体中的80个个体的编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i，依次错位地得到后面各组的号码，即在第k组中抽取个位数字为i+k(当i+k<10时)或i+k-10(当i+k≥10时)的号码.当i=6时，所抽到的8个号码是__________________. 【解析】由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6+1=7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6+2=8，故应选28；依次类推，应选39，40，51，62，73.答案：6，17，28，39，40，51，62，732.一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0，1，2，…，9.要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位得到后面各组的号码，即第k组抽取的号码的后两位数是x+33k的后两位数.(1)当x=24时，写出所抽样本的10个号码.(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围.【解析】(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，第1组后两位数是24+33=57，所以第1组号码为157；k=2，24+66=90，所以第2组号码为290，以此类推，10个号码为：24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)当k=0，1，2，…，9时，33k的值依次为：0，33，66，99，132，165，198，231，264，297.又因为抽取的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以是87，54，21，88，55，22，89，56，23，90.所以x的取值范围是{21，22，23，54，55，56，87，88，89，90}.6
