二倍角的正弦、余弦、正切公式 (20分钟 35分)1.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角,则( )A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【解析】选D.方法一:因为α为第四象限角,所以sinα<0,cosα>0,所以sin2α=2sinαcosα<0,而cos2α=cos2α-sin2α的符号不确定.方法二:因为α为第四象限角,所以2kπ-<α<2kπ,k∈Z,所以4kπ-π<2α<4kπ,k∈Z,所以2α为第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上,所以sin2α<0,cos2α的符号不确定.2.(2020·金昌高一检测)sin4-cos4等于( )A.-B.-C.D.【解析】选B.原式==sin2-cos2=-cos=-.3.若=,则cos的值为( )A.B.-C.-D.【解析】选A.因为=,所以=,所以cosα-sinα=,平方得1-2cosαsinα=,7
所以sin2α=,所以cos=sin2α=.4.若sinx·tanx<0,则等于( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】选D.因为sinx·tanx<0,所以x为第二或第三象限的角,所以cosx<0,所以==|cosx|=-cosx.5.(2020·平顶山高一检测)已知α∈,sinα=,则tan2α= . 【解析】因为α∈,sinα=,所以cosα=-.所以tanα=-.所以tan2α==-.答案:-6.化简:tan70°cos10°(tan20°-1).【解析】原式=·cos10°·=·cos10°·=·cos10°·=-·=-1. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知a=(sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,c=,则( )A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c7
【解析】选A.a=(sin17°+cos17°)=sin17°·cos45°+cos17°·sin45°=sin62°,b=2cos213°-1=cos26°=sin64°,c==sin60°,所以c<a<b.2.若△ABC的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA=( )A.-B.-C.D.【解析】选C.因为sin2A=,所以2sinAcosA=,所以(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=,因为0<A<π,所以sinA>0,因为2sinAcosA=>0,所以cosA>0,所以sinA+cosA>0,所以sinA+cosA=.3.已知cosx=,且x∈,则cos+sin2x的值为( )A.B.-C.D.-【解析】选A.因为cosx=,x∈,所以sinx=-=-,所以sin2x=2sinxcosx=-,所以cos+sin2x=+7
=-sin2x=-×=.4.(2020·大连高一检测)设sin=,则sin2θ=( )A.B.-C.D.-【解析】选D.方法一:sin=,即(sinθ+cosθ)=,两边平方得(1+sin2θ)=,所以sin2θ=-.方法二:sin2θ=-cos=2sin2-1=-1=-.5.(2020·哈尔滨高一检测)化简+的结果是( )A.sinB.cosC.2sin-cosD.2cos-sin【解析】选B.原式=+=cos-sin+sin=cos.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2π<α<3π)的化简结果为 . 【解析】因为2π<α<3π,所以π<<,<<,所以====2sin.答案:2sin7.(2020·泰安高一检测)函数f(x)=sin-2·sin2x的最小正周期是 . 7
【解析】f(x)=sin-2sin2x=sin2x-cos2x-2×=sin2x+cos2x-=sin-,故该函数的最小正周期为=π.答案:π8.若=2020,则+tan2α= . 【解析】+tan2α=+=====2020.答案:2020三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知α为第二象限角,且sinα=,求的值.【解析】原式==.因为α为第二象限角,且sinα=,所以sinα+cosα≠0,cosα=-,所以原式==-.10.已知sin-2cos=0.(1)求tanx的值.(2)求的值.7
【解析】(1)由sin-2cos=0,知cos≠0,所以tan=2,所以tanx===-.(2)由(1),知tanx=-,所以====×=×=.1.(2020·嘉祥高一检测)已知α∈,且sin2α-sinαcosα-2cos2α=0,则tan= . 【解析】因为sin2α-sinαcosα-2cos2α=0,cosα≠0,所以tan2α-tanα-2=0.所以tanα=2或tanα=-1.因为α∈,所以tanα=2.所以tan===.答案:2.在△ABC中,设向量m=(sinA,cosB),n=(sinB,cosA)且m∥n,m≠n.(1)求证:A+B=.(2)求sinA+sinB的取值范围.(3)若(sinAsinB)x=sinA+sinB,试确定实数x的取值范围.7
【解析】(1)因为向量m=(sinA,cosB),n=(sinB,cosA)且m∥n,所以sinAcosA-sinBcosB=0,即sin2A=sin2B,解得2A=2B或2A+2B=π,化简可得A=B或A+B=,但A=B时有m=n,与已知矛盾,故舍去,故有A+B=.(2)由(1)可知A+B=,故sinA+sinB=sinA+sin=sinA+cosA=sin,因为0<A<,所以<A+<,所以1<sin≤,故sinA+sinB的取值范围是(1,].(3)由题意可知x==,设sinA+cosA=t∈(1,],则t2=1+2sinAcosA,故sinAcosA=,代入得x===≥=2,故实数x的取值范围为[2,+∞).7
