二倍角的正弦、余弦、正切公式[A级 基础巩固]1．化简＝( )A．1 B．2C.D．－1解析：选B ＝＝＝2.故选B.2．设sinα＝，2π<α<3π，则sin＋cos＝( )A．－B.C.D．－解析：选A ∵sinα＝，∴＝1＋sinα＝.又2π<α<3π，∴π<<，∴sin＋cos＝－.3．(多选)下列各式中，值为的是( )A．2sin15°cos15°B．1－2sin215°C．sin215°＋cos215°D.解析：选BD A不符合，2sin15°cos15°＝sin30°＝；B符合，1－2sin215°＝cos30°＝；C不符合，sin215°＋cos215°＝1；D符合，＝·＝·tan30°＝.故选B、D.7
4．若sin＝，则sin2θ＝( )A.B.C.D．±解析：选C 若sin＝，则sin＝－，∴sin2θ＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝.5．(2021·湖北省襄阳市月考)若cosα＝－，α是第三象限角，则＝( )A．－B.C．2D．－2解析：选A ∵cosα＝－，α是第三象限角，∴sinα＝－，∴＝＝＝＝－.6．(2021·吉林五地六校高一月考)4cos50°－tan40°＝________．解析：4cos50°－tan40°＝＝＝＝＝＝＝.答案：7
7．若tan＝，则tan2α＋＝________．解析：由tan＝＝，可求得tanα＝，则tan2α＋＝＋＝＝＝2.答案：28．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cosB＝，sinB＝＝＝.所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB＝2××＝.答案：9．已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．解：原式＝＝.因为α为第二象限角，且sinα＝，所以cosα＝－，sinα＋cosα≠0，所以原式＝＝－.10．已知α，β均为锐角，且tanα＝7，cosβ＝，求α＋2β的值．解：∵β为锐角，且cosβ＝，7
∴sinβ＝.∴tanβ＝，tan2β＝＝＝.∴0<2β<，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝＝＝－1，∴α＋2β＝.[B级 综合运用]11．若tan·cos＝sin－msin，则实数m的值为( )A．2B.C．2D．3解析：选A 由tancos＝sin－msin得，msincos＝sincos－cos·sin，因此msin＝sin＝sin，∴m＝，即m＝2，故选A.12．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选B 由sinBsinC＝cos2得sinBsinC＝，∴2sinBsinC＝1＋cosA，∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1.又∵－180°<B－C<180°，∴B－C＝0°，7
∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形．13．已知角α，β为锐角，且1－cos2α＝sinαcosα，tan(β－α)＝，则tanα＝________，β＝________．解析：由1－cos2α＝sinαcosα，得1－(1－2sin2α)＝sinαcosα，即2sin2α＝sinαcosα.∵α为锐角，∴sinα≠0，∴2sinα＝cosα，即tanα＝.法一：由tan(β－α)＝＝＝，得tanβ＝1.∵β为锐角，∴β＝.法二：tanβ＝tan[(β－α)＋α]＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.答案： 14．(2021·北京东城高一质检)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，以角α的终边为始边，逆时针旋转得到角β.(1)求tanα的值；(2)求cos(α＋β)的值．解：(1)∵角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，7
∴tanα＝＝－.(2)以角α的终边为始边，逆时针旋转得到角β，∴β＝α＋.易得cosα＝－，sinα＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝－.∴cos(α＋β)＝cos＝cos2αcos－sin2αsin＝(cos2α－sin2α)＝.[C级 拓展探究]15．(2021·山东烟台高一月考)某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．cos215°＋cos215°－sin15°sin15°；cos280°＋cos2(－50°)－sin80°sin(－50°)；cos2170°＋cos2(－140°)－sin170°sin(－140°)．(1)求出这个常数；(2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)cos215°＋cos215°－sin15°·sin15°＝2cos215°－sin215°＝1＋cos30°－(1－cos30°)＝1＋－×＝.(2)推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sinαsinβ＝.证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，cos2α＋cos2β－sinαsinβ＝cos2α＋cos2(30°－α)－sinαsin(30°－α)＝cos2α＋－sinα·7
＝cos2α＋cos2α＋cosαsinα＋sin2α－cosαsinα＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝.7
