简单的三角恒等变换(二) (20分钟 35分)1.函数y=sin2x+sin2x,x∈R的值域是( )A. B.C.D.【解析】选C.y=sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+,因为-1≤sin≤1,所以y=sin2x+sin2x的值域为.2.等于( )A. B. C. D.1【解析】选A.原式====.3.若tan=3,则=( )A.3B.-3C.D.-【解析】选A.因为tan==3,所以tanθ=-.所以====3.9
4.(2020·金昌高一检测)若函数f(x)=5cosx+12sinx在x=θ时取得最小值,则cosθ等于( )A. B.- C.D.-【解析】选B.f(x)=5cosx+12sinx=13=13sin(x+α),其中sinα=,cosα=,由题意知θ+α=2kπ-(k∈Z),得θ=2kπ--α(k∈Z),所以cosθ=cos=cos=-sinα=-.5.函数f(x)=sinx-2sin2x的最小值是 . 【解析】f(x)=sinx-=2sin-1,又≤x≤,所以≤x+≤,所以f(x)min=2sin-1=-1.答案:-16.设函数f(x)=2cos2ωx+sin+a(其中ω>0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求ω的值.(2)设f(x)在区间上的最小值为,求a的值.9
【解析】f(x)=1+cos2ωx+sin2ωx-cos2ωx+a=sin+a+1.(1)由2ωx+=2kπ+(k∈Z)得ωx=kπ+(k∈Z).又ω>0,所以当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x==,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=sin+a+1,由≤x≤,得≤2x≤π,≤2x+≤,所以当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值为+a+1.由+a+1=,得a=-. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知cosα,sinα是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点,则sin2α=( )A.2-2B.2-2C.-1D.1-【解析】选A.因为cosα,sinα是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点,所以sinα+cosα=t,sinαcosα=t,由sin2α+cos2α=1,得(sinα+cosα)2-2sinαcosα=1,即t2-2t=1,解得t=1-,或t=1+(舍).所以sin2α=2sinαcosα=2t=2-2.2.若sin+cos=,则sin=( )A.B.-C.D.-9
【解析】选D.因为sin+cos=sin+cos=2cos=,所以sin=cos=,则cos=1-2sin2=1-2×=,因为cos=cos=-sin=,故sin=-.3.要使sinα+cosα=有意义,则应有( )A.m≤ B.m≥-1C.m≤-1或m≥ D.-1≤m≤【解析】选D.sinα+cosα=2=2sin=,所以sin=,由于-1≤sin≤1,所以-1≤≤1,所以-1≤m≤.4.(2020·大连高一检测)在斜三角形ABC中,sinA=-cosBcosC,且tanB·tanC=1-,则角A的值为( )A. B. C. D.【解析】选A.由题意知,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-cosBcosC,在等式-cosBcosC=sinBcosC+cosBsinC两边同除以cosBcosC,得tanB+tanC=-,9
又tan(B+C)==-1=-tanA,即tanA=1,因为0<A<π,所以A=.5.(2020·江门高一检测)函数f(x)=sin-3cosx的一个单调递增区间是( )A.B.C.D.【解析】选B.因为f(x)=sin-3cosx,=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1,令t=cosx,则t∈[-1,1],则f(t)=-2t2-3t+1,开口向下,对称轴为t=-,当x∈,y=cosx不单调,不符合题意,当x∈时,y=cosx单调递减且cosx∈,即t∈,根据二次函数的性质可知,当t∈,函数f(t)单调递减,根据复合函数的单调性可知,f(x)在上单调递增.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x= 来截. 【解析】设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则=,=,又a=GC+CF=bsinx+bcosx,所以sinx+cosx=,所以sin=.因为0<x<,<x+<,所以x+=或,x=或.9
答案:或7.(2020·泰安高一检测)设α为第四象限角,且=,则tan2α= . 【解析】===2cos2α+1=,所以cos2α=,又α是第四象限角,所以sin2α=-,tan2α=-.答案:-8.已知A+B=,那么cos2A+cos2B的最大值是 ,最小值是 . 【解析】因为A+B=,所以cos2A+cos2B=(1+cos2A+1+cos2B)=1+(cos2A+cos2B)=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+coscos(A-B)=1-cos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时,原式取得最大值;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值.答案: 三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知cos=,<α<,求的值.【解析】===sin2α·=sin2α·tan.9
由<α<,得<α+<2π,又cos=,所以sin=-,tan=-.cosα=cos=-,sinα=-,sin2α=.所以=×=-.10.已知函数f(x)=2cos2,g(x)=.(1)求证:f=g(x).(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,π])的单调区间,并求使h(x)取到最小值时x的值.【解析】(1)f(x)=2cos2=1+cosx,g(x)==1+2sincos=1+sinx.因为f=1+cos=1+sinx,所以f=g(x).(2)函数h(x)=f(x)-g(x)=cosx-sinx==cos.因为x∈[0,π],所以≤x+≤,当≤x+≤π,即0≤x≤时,h(x)递减,当π<x+≤,即<x≤π时,h(x)递增.9
所以函数h(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,根据函数h(x)的单调性,可知当x=时,函数h(x)取到最小值. 【补偿训练】 已知函数f(x)=sin+2sin2(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.【解析】(1)因为f(x)=sin+2sin2=sin+1-cos=2+1=2sin+1=2sin+1,所以T==π. (2)当f(x)取得最大值时,sin=1,则2x-=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z),所以所求x的集合为.1.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),若m·n=1+cos(A+B),则C= . 【解析】因为m·n=1+cos(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sin(A+B)=1+cos(A+B).9
又A+B=π-C,所以整理得sin=.因为0<C<π,所以<C+<.所以C+=.所以C=.答案:2.如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.【解析】过点B作BH⊥OA,垂足为H.设∠OAD=θ,则∠BAH=-θ,OA=2cosθ,BH=sin=cosθ,AH=cos=sinθ,所以B(2cosθ+sinθ,cosθ),OB2=(2cosθ+sinθ)2+cos2θ=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.由0<θ<,知<2θ+<,所以当θ=时,OB2取得最大值7+4.9
