三角函数模型的简单应用 (20分钟 35分)1.函数f(x)=在[—π,π]上的图象大致为( )【解析】选D.由f(-x)===-f(x),得f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.又f==>1,f(π)=>0,故选D.2.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的( ) A.[0,5] B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]【解析】选C.当10≤t≤15时,有π<5≤≤<π,此时F(t)=50+4sin是增函数,即车流量在增加.3.如图,从某点给单摆一个作用力后,单摆开始来回摆动,它离开平衡位置O的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数解析式为s=5sin,则单摆摆动时,从最右边到最左边的时间为( )9
A.2sB.1sC.sD.s【解析】选C.由题意,知周期T==1(s).单摆从最右边到最左边的时间是半个周期,为s.4.振动量函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和,则它的相位是 . 【解析】T==,所以ω==3π,所以相位ωx+φ=3πx-π.答案:3πx-π5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,若将A,B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数,则d= ,其中t∈[0,60]. 【解析】秒针1s转弧度,ts后秒针转了t弧度,如图所示,sin=,所以d=10sin.答案:10sin6.如图,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象.(1)经过多长时间,小球往复振动一次?9
(2)求这条曲线的函数解析式.(3)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少?【解析】(1)由题图可知,周期T=2=π,所以小球往复振动一次所需要的时间为πs.(2)可设该曲线的函数解析式为s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π),t∈[0,+∞),从题图中可以看出A=4,T=2×=π.即=π,即ω=2,将t=,s=4代入解析式,得sin=1,解得φ=.所以这条曲线的函数解析式为s=4sin,t∈[0,+∞).(3)当t=0时,s=4sin=2(cm),故小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是2cm. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在一个港口,相邻两次高潮发生的时间间隔为12h,低潮时水深9m,高潮时水深15m.每天潮涨潮落时,该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+k的图象,其中0≤t≤24,且t=3时涨潮到一次高潮,则该函数的解析式可以是( )A.y=3sint+12B.y=-3sint+12C.y=3sint+12D.y=3cost+12【解析】选A.根据题意,由ω===,排除选项C,D.当t=3时,3sint+12=3sin+12=15,符合题意,-3sint+12=-3sin+12=9.不符合题意,故选项B错误.2.已知函数y=sinax+b(a>0)的图象如图所示,则函数y=loga(x+b)的图象可能是( )9
【解析】选C.由函数y=sinax+b的图象可得0<b<1,=>2π-π,所以0<a<1,故函数y=loga(x+b)为减函数,且图象经过点(1-b,0),结合所给选项可知选C.3.函数f(x)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是( )A.f(x)=x+sinxB.f(x)=C.f(x)=xcosx D.f(x)=x【解析】选C.观察图象知函数为奇函数,排除D项;又函数在x=0处有意义,排除B项;取x=,f=0,A项不合适,故选C项.4.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系,设秒针位置为P(x,y).若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是( )A.y=sinB.y=sin9
C.y=sinD.y=sin【解析】选C.由题意知,函数的周期为T=60,所以|ω|==.设函数解析式为y=sin.因为初始位置为P0,所以t=0时,y=,所以sinφ=,所以φ可取,所以函数解析式可以是y=sin.又由秒针顺时针转动可知,y的值从t=0开始要先逐渐减小,故y=sin.5.如图所示的是一个半径为3米的水轮,水轮的圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y=Asin(ωt+φ)+2,则( )A.ω=,A=3B.ω=,A=3C.ω=,A=5D.ω=,A=5【解析】选B.因为y=Asin(ωx+φ)+2,最高点离平衡位置距离是3,所以A=3.因为水轮每分钟旋转4圈,所以转动一周为一个周期,所以T=15秒,ω==.故ω=,A=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.根据以上条件可确定f(x)的解析式为 . 【解析】由条件可知,B=7,A=9-7=2.9
又T=2×(9-3)=12,所以ω==.因为3月份达到最高价,所以3×+φ=,所以φ=0.所以f(x)的解析式为f(x)=2sinx+7.答案:f(x)=2sinx+77.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f的值为 . 【解析】取K,L的中点N,则MN=,因此A=.由T=2得ω=π.因为函数为偶函数,0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=cosπx,所以f=cos=.答案:8.电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则当t=s时,电流强度是 A. 【解析】由题图可知,Imax=10,Imin=-10,最小正周期T满足T=-=,所以T=.所以A==10,ω==2π×50=100π,所以函数I=10sin(100πt+φ),将点代入该函数解析式得10sin=10得sin=1.因为0<φ<,所以<+φ<,则+φ=,得φ=,所以I=10sin,当t=9
时,I=10sin=-10sin=-5.答案:-5三、解答题(每小题10分,共20分)9.以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的.已知3月份出厂价格最高为8元,7月份出厂价格最低为4元.而该商品在商店的销售价格是在8元的基础上按月份随正弦曲线波动的.并已知5月份销售价格最高为10元,9月份销售价格最低为6元,假设某商店每月购进这种商品m件,且当月售完,求盈利最大的月份.【解析】由已知条件可得,出厂价格的函数关系式为y1=2sin+6,销售价格的函数关系式为y2=2sin+8,则利润的函数关系式为y=m(y2-y1)=m=-2·msinx+2m.当x=6时,y=2m+2m=m(2+2).即6月份盈利最大.10.如图为一个缆车示意图,缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数解析式.(2)设从OA开始转动,经过ts后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?【解析】(1)以圆心O为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,9
故B点坐标为.所以h=5.6+4.8sin.(2)点A在圆上转动的角速度是,故ts转过的弧度数为.所以h=5.6+4.8sin,t∈[0,+∞).到达最高点时,h=10.4m.由sin=1,得t-=+2kπ,k∈N,所以tmin=30(s).即缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒.1.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( )【解析】选C.令AP所对圆心角为θ,由|OA|=1,得l=θ,sin=,所以d=2sin=2sin.即d=f(l)=2sin(0≤l≤2π),它的图象为C.2.下表是某地某年月平均气温(华氏):9
月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴(x=月份-1),以平均气温为y轴.(1)用正弦曲线去拟合这些数据.(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A.(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据?①=cos;②=cos;③=cos.【解析】(1)如图.(2)最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,故=7-1=6,所以T=12.因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.(3)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0.代入①,得=>1≠cos,故①不适合;代入②,得=<0≠cos,故②不适合;代入③,得=>0且<1,故③适合.所以应选③.9
