任意角的三角函数(二) (15分钟 30分)1.下列说法不正确的是( )A.当角α的终边在x轴上时角α的正切线是一个点B.当角α的终边在y轴上时角α的正切线不存在C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D.余弦线和正切线的始点都是原点【解析】选D.根据三角函数线的概念,A,B,C是正确的,只有D不正确,因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上.2.图中角α的正弦线、余弦线和正切线分别是( )A.OM,MP,ATB.OM,MP,A′T′C.MP,OM,ATD.MP,OM,A′T′【解析】选D.由角的终边及单位圆可知,正弦线,余弦线,正切线分别为:MP,OM,A′T′.3.sin1,cos1,tan1的大小关系为( )A.tan1>sin1>cos1B.sin1>tan1>cos1C.sin1>cos1>tan1D.tan1>cos1>sin1【解析】选A.单位圆中,∠MOP=1>,因为<<<,所以cos1<sin1<tan1.7
4.已知θ∈,在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP,OM,AT,则它们从大到小的顺序为 . 【解析】画图如图所示,由图可知AT>MP>OM.答案:AT>MP>OM5.求函数y=的定义域.【解析】由题意得:2cosx-1≥0,则有cosx≥.如图在x轴上取点M1使OM1=,过M1作x轴的垂线交单位圆于点P1,P2,连接OP1,OP2.则OP1与OP2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x的终边的范围.所以满足cosx≥的角的集合即y=的定义域为:. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.角和角有相同的( )A.正弦线B.余弦线C.正切线D.不能确定7
【解析】选C.与的终边互为反向延长线,故它们有相同的正切线.2.设MP与OM分别是角的正弦线和余弦线,则( )A.MP<OM<0B.MP<0<OMC.OM<MP<0D.OM<0<MP【解析】选D.根据三角函数线的定义得到,π的余弦线是负的,正弦线是正的,故得到OM<0<MP.3.使sinx≤cosx成立的x的-个变化区间是( ) A.B.C.D.[0,π]【解析】选A.根据三角函数线易判断图中阴影部分即为所求.4.已知cosα>cosβ,那么下列结论成立的是( )A.若α,β是第一象限角,则sinα>sinβB.若α,β是第二象限角,则tanα>tanβC.若α,β是第三象限角,则sinα>sinβD.若α,β是第四象限角,则tanα>tanβ【解析】选D.由图(1)可知,cosα>cosβ时,sinα<sinβ,故A错误;由图(2)可知,cosα>cosβ时,tanα<tanβ,故B错误;由图(3)可知,cosα>cosβ时,sinα<sinβ,故C错误;7
由图(4)可知,cosα>cosβ时,tanα>tanβ,故D正确.5.依据三角函数线,作出如下判断:①sin=sin;②cos=cos;③tan>tan;④sin>sin.其中判断正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.如图,容易判断正确的结论有②④.二、填空题(每小题5分,共15分)6.点P(sin3-cos3,sin3+cos3)所在的象限为 . 【解析】因为π<3<π,作出单位圆如图所示,作PM⊥x轴.设MP,OM分别为a,b.sin3=a>0,cos3=b<0,所以sin3-cos3>0.因为|MP|<|OM|,即|a|<|b|,7
所以sin3+cos3=a+b<0.故点P(sin3-cos3,sin3+cos3)在第四象限.答案:第四象限7.sin,cos,tan从小到大的顺序是 . 【解析】由图可知:cos<0,tan>0,sin>0.因为|MP|<|AT|,所以sin<tan.故cos<sin<tan.答案:cos<sin<tan8.若0<α<2π,且sinα<,cosα>.利用三角函数线,得到α的取值范围是 . 【解析】利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB的区域内,所以α的取值范围是∪.答案:∪三、解答题(每小题10分,共20分)7
9.利用三角函数线,写出满足|cosα|>|sinα|的角α的集合.【解析】如图,作出单位圆.所以角α满足的集合为.10.利用单位圆和三角函数线证明:若α为锐角,则(1)sinα+cosα>1.(2)sin2α+cos2α=1.【证明】(1)如图,记角α的两边与单位圆的交点分别为点A,P,过点P作PM⊥x轴于点M,则sinα=MP,cosα=OM.在Rt△OMP中,MP+OM>OP,所以sinα+cosα>1.(2)在Rt△OMP中,MP2+OM2=OP2,所以sin2α+cos2α=1.1.若-<θ<0,且P=3cosθ,Q=(cosθ)3,R=(cosθ,则P,Q,R的大小关系为 . 【解析】因为-<θ<0,由余弦线知cosθ∈(0,1),所以P=3cosθ>1,Q=(cosθ)3∈(0,1);R=(cosθ∈(0,1),(cosθ)3<(cosθ,可得:Q<R<P.答案:Q<R<P2.利用三角函数线证明:若0<α<β<,则β-α>sinβ-sinα.【证明】7
如图所示,单位圆O与x轴正半轴交于点A,与角β,α的终边分别交于点P,Q,过P,Q分别作OA的垂线,垂足分别是M,N,则sinα=NQ,sinβ=MP.过点Q作QH⊥MP于H,则HP=MP-NQ=sinβ-sinα.连接PQ,由图可知HP<=-=β-α,即β-α>sinβ-sinα.7
