“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作2020－2021学年第一学期联考高二数学试卷（考试时间：120分钟总分：150分）第I卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．是空间不同的三条直线，若，与相交，则与的位置关系是A．平行B．相交C．异面D．相交或异面2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是A．B．C．D．3．已知空间向量，若，则（）A．3B．C．D．4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是A．B．C．D．5．如图，四边形和均为长方形，且，它们所在的平面互相垂直，
分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是A．B．C．D．6．若圆与圆关于直线对称，则两圆的公切线有A．1条B．2条C．3条D．4条7.已知双曲线的焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C.D．8.已知椭圆方程为，是上、下顶点，为椭圆上的一个动点，且的最大值为120°，若，则的最小值为（）A．9B．3C.D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列四个命题正确的是（）A．方程一定表示圆B．两圆与公共弦所在的直线方程为
C.圆上的点到直线的距离最大值为3D．过点且横截距与纵截距的绝对值相等的直线有两条10.下列说法正确的是（）A．“三角形的内角和为180°”是全称命题B．“”是“”的必要不充分条件C.若命题对于任意为真命题，则D．若命题，则11.如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点，连结交直线于点，连结交于点（是坐标原点），则下列结论正确的是（）A．为定值B．C.D．的最大值为12.一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是（）
A．B．与平面所成的角的余弦值为C.平面与平面所成的二面角的平面角为45°D．设平面平面，则有第Ⅱ卷（选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.抛物线的准线方程为．14.圆心在直线上，且与轴相切于点的圆的标准方程为．15.已知三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为．16.已知是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知实数满足，方程表示双曲线.（1）若，命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18.已知圆，直线.（1）若直线被圆截得的弦长为，求的方程；（2）若直线与圆交于两点，求的中点的轨迹方程.19.如图，多面体，四边形是直角梯形，，，，平面平面，且为等腰直角三角形，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.20.已知抛物线，过的直线与抛物线相交于两点.（1）若，求直线的方程；（2）求证：为定值，并求出该定值.21.如图1，已知，，点分别是边上的点，且
，如图2，将沿折起到的位置.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角所成角的余弦值.22.椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.（1）求该椭圆的方程；（2）线段的中点为，且的中垂线与轴、轴分别交于两点.记的面积为，（坐标原点）的面积为.求的取值范围.
试卷答案一、选择题1-4:DCBD5-8:BBAD二、多项选择题9.BC10.AC11.ABC12.AD第12题解析：易证，得面，故A正确；与平面
所成的角为，所以余弦值为，故B错误；设面与平面的交线为，又因为，易证面，由线面平行的性质定理可得：，故D正确；对于选项可以考虑特殊位置法，由面得面面，所以点在平面内的射影在直线上，不妨设点平面内的射影为，过点作，连结.易证面，则面，所以为平面与平面所成的二面角的平面角，不妨设，因为，所以，则，显然不等于45°，故C错误.三、填空题：13.14.15.16.四、解答题17.解：（1）当，命题，解得：；（2）∵，命题，命题方程表示双曲线，则，即，因为是的充分不必要条件，则，∴得，∴实数的取值范围为.18.解：（1）可化为，
则圆心，半径，∵被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为，∴点到直线的距离，解得，此时直线的方程为；（2）设，直线过定点，由题意可知，，∴，即，化简可得，，即，经检验，与，圆心距为，可知两圆内含，则上的所有点都在圆的内部，所以中点的轨迹方程为.19.（1）证明：取的中点，连结，
∵分别是的中点，∴，又，∴，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）解法一：取的中点，连结，∵为等腰直角三角形，且，∴，∴，∵侧面底面，侧面底面，∴面，即为三棱锥的高，又∵中，且，∴，∴，∵是的中点，∴，∴；解法二：取中点，连结，因为，所以为等边三角形，所以；又因为面底面，所以面；因为，为等腰直角三角形，所以.
分别以所以的直线为轴，如图建系：可得，又因为为的中点，所以，设平面的法向量为，，，由得，不妨令，得，所以，，所以点到平面的距离为.可得，所以直线的一个单位方向向时为.所以，点到直线的距离为，（也可利用求点到直线的距离）则，得20.解：（１）设过的直线为，，联立得，，得，
因为为抛物线的焦点，所以，，（焦点弦公式写对就给分）即，所以，因此，直线的方程为：或；法二：当过点的直线与轴垂直时，与抛物线的交点坐标分别为，又，所以，不合题意舍去：当过点的直线斜率存在时，可设，联立得，所以，得，因此，直线的方程为：或．（２），所以定值为１．21.证明：∵，∴，∴，又，在中，由余弦定理得：，∴，∴，
将沿折起到的位置后，可得，，且，∴面，又面，∴面面；（2）由余弦定理可得，在中，，可知为锐角，所以与不平行，定会相交于一点，又由（1）知，又，∴面，又，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，∴，设面的一个法向量为，∴，，∴，不妨令，则，∴，又面的一个法向量，∴，
∴二面角所成角的余弦值为.（本题也可用几何法来做）22.解：（1）依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为60°，设，则，将代入，得，得.所以椭圆的方程为.设，由题知，直线不能与轴、轴垂直，故设直线的方程为，联立，得，则，则，所以中点，所以的中垂线为，令，得，则，因为，所以，所以的取值范围是.
