2020年南阳春期六校第二次联考高二年级数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：北师大版选修2-2（50%），选修2-3第一章、第二章（50%）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先化简复数，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，其共轭复数为，对应的点是，所以位于第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.若函数，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】C-18-
【解析】【分析】首先求出导函数，进而求出.【详解】由函数，则，所以.故选：C【点睛】本题主要考查了常见函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.3.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率下雨的概率【详解】在下雨条件下吹东风的概率为，选C【点睛】本题考查条件概率的计算，属于简单题．4.已知随机变量X服从二项分布B（8，），则E（3X﹣1）＝（ ）A.11B.12C.18D.36【答案】A【解析】【分析】由二项分布的性质得，再由，能求出结果．【详解】随机变量服从二项分布，-18-
，．故选：．【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.5人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻的排法共有（ ）A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】B【解析】【分析】根据题意，假设5人中除甲乙丙之外的两人为、，分3步进行分析：①，用捆绑法分析甲乙，将甲乙看成一个整体，②，将、全排列，③，在3个空位中任选2个，安排甲乙整体与丙，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，假设5人中除甲乙丙之外的两人为、，分3步进行分析：①，将甲乙看成一个整体，考虑2人的顺序，有种情况，②，将、全排列，有种情况，排好后有3个空位，③，在3个空位中任选2个，安排甲乙整体与丙，有种情况，则满足题意的排法有种；故选：．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6.已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则A.1B.C.D.-1【答案】D【解析】【分析】求出曲线在点处切线的斜率，求出函数的导函数，根据两直线平行的条件，令，，求出；-18-
【详解】，所以，又直线得斜率为，由两直线平行得：，所以故选D【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了运算能力，属于中档题．7.设，则（）A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令x＝1，可得的值；令，即可得到，两式作差即可．【详解】令，则原式化为，令，得，所以.故选D.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．8.已知函数，，则的极大值点为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.【详解】因为，故可得，-18-
令，因为，故可得或，则在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.9.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为( )A.恰有1个是坏的B.4个全是好的C.恰有2个是好的D.至多有2个是坏的【答案】C【解析】【分析】利用超几何分布的概率计算公式，分别计算出对应的概率，由此判断出正确的选项.【详解】对于选项A，概率为.对于选项B，概率为.对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏的，有个坏的和个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查超几何分布的识别以及利用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率，属于基础题.-18-
10.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（）A.30B.60C.90D.120【答案】D【解析】【分析】将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.【详解】由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为共60+60=120种，故选D【点睛】本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.11.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在甲、乙、丙处投中分别记为事件，，，恰好投中两次为事件，，，计算概率解得答案.【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件，，，恰好投中两次为事件，，，故恰好投中两次的概率，-18-
解得.故选：C.【点睛】本题考查了根据概率求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.已知函数，若，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意将问题转化为，记，从而在上单调递增，从而在上恒成立，利用分离参数法可得，结合题意可得即可.【详解】设，因为，所以.记，则在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立.因为，所以函数在上单调递增，故有.因为，-18-
所以，即.故选：D【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用、函数单调性的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，且，则______.【答案】【解析】【分析】根据复数的基本运算法则进行化简求出复数，进而可.【详解】，，，，.故答案为：.【点睛】本题考查复数模计算，比较基础.14.已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＜2）＝0.3，则P（2＜ξ＜6）＝_____．【答案】04【解析】【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，结合，求得，则可求．【详解】随机变量服从正态分布，其对称轴方程为，又，，则．故答案为：0.4．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．15.（x）9的展开式中含x项的系数为_____．（用数字作答）-18-
【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，令的次数等于1，从而求出展开式中含项的系数．【详解】（x）9展开式的通项公式为：Tr+1•x9﹣r•••x9﹣2r，令9﹣2r＝1，解得r＝4；所以展开式中含x项的系数为：•126．故答案为：．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式计算问题，是基础题．16.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____.【答案】0.245【解析】【分析】甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．【详解】甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1＝0.3×0.7×0.5×0.5×0.7＝0.03675，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2＝0.7×0.3×0.5×0.5×0.7＝-18-
0.03675，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.7×0.7×0.5×0.5×0.7＝0.08575，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.7×0.7×0.5×0.5×0.7＝0.08575，则甲队以4：1获胜的概率为：p＝p1+p2+p3+p4＝0.03675+0.03675+0.08575+0.08575＝0.245．故答案为：0.245．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设复数.（1）若为纯虚数，求；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）由实部等于0且虚部不为0列式求出的值，进而可；（2）由实部大于0且虚部小于0联立不等式组得答案.【详解】（1）若为纯虚数，则，所以，故，，；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，则，得.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，训练了不等式组的解法，是基础题.18.设函数．-18-
（1）若在处取得极值，求a的值；（2）若在上单调递减，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)对求导,再根据题意有,据此列式求出;(2)由题可知对恒成立,即对恒成立,因此求出在区间上的最小值即可得出结论.【详解】(1),则,因为在处取得极值,所以解得,经检验,当时,在处取得极值;(2)因为在上单调递减,所以对恒成立,则对恒成立,∵当时,,∴,即a的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用函数的单调性与极值求参,需要学生对相关基础知识牢固掌握且灵活运用.19.（1）求的展开式的常数项；（2）若的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.-18-
【答案】(1)84(2)2048【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，令x的次数为0，即可求出常数项．（2）通过第6项与第7项的系数互为相反数，可得，的各项系数绝对值之和与的各系数之和相等，令x=1,即可得到答案.【详解】解：（1）因为的通项是，当r=6时可得展开式的常数项，即常数项.（2）的通项为，则第6项与第7项分别和，它们的系数分别为和.因为第6项与第7项的系数互为相反数，所以，则，因为的各项系数绝对值之和与的各系数之和相等，令，得的各项系数的绝对值之和为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项式展开式通项公式和二项式系数的应用，属于基础题.20.已知函数，数列的前项和为，且满足．（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】（1）（2）猜想．见解析【解析】【分析】-18-
（1）先求得的值，然后根据已知条件求得，由此求得的值.（2）由（1）猜想数列的通项公式为，然后利用数学归纳法进行证明.【详解】（1）由，即，①所以，由①得，②，得．当时，；当时，；当时，．（2）由（1）猜想．下面用数学归纳法证明：①当时，由（1）可知猜想成立；②假设时猜想成立，即，此时，当时，，整理得，所以当时猜想成立．综上所述，对任意成立．【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的值，考查数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.-18-
21.探月工程“嫦娥四号”探测器于2018年12月8日成功发射，实现了人类首次月球背面软着陆.以嫦娥四号为任务圆满成功为标志，我国探月工程四期和深空探测工程全面拉开序幕.根据部署，我国探月工程到2020年前将实现“绕、落、回”三步走目标.为了实现目标，各科研团队进行积极的备战工作.某科研团队现正准备攻克甲、乙、丙三项新技术，甲、乙、丙三项新技术独立被攻克的概率分别为，若甲、乙、丙三项新技术被攻克，分别可获得科研经费万，万，万.若其中某项新技术未被攻克，则该项新技术没有对应的科研经费.（1）求该科研团队获得万科研经费的概率；（2）记该科研团队获得的科研经费为随机变量，求的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）记“该甲、乙、丙三项新技术被攻克”分别为事件，则，，，要获得万科研经费，则分两类，一是攻克甲，乙、丙未攻克，二是甲未攻克，乙丙攻克求解.（2）所有可能的取值为，分布求得相应概率，列出分布列，再求期望.【详解】（1）记“该甲、乙、丙三项新技术被攻克”分别为事件，则，，，该科研团队获得万科研经费的概率为.（2）所有可能的取值为，，，-18-
，，，，.所以随机变量的分布列为：020406080100120所以（万）.【点睛】本题主要考查独立事件的概率和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数.（1）求的解析式及单调区间；（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值.【答案】（1）；单调递增区间为，单调递减区间为；（2）0.【解析】【分析】-18-
（1）首先求函数导数，并赋值，求函数的解析式，并利用导数求函数的单调区间；（2）由题意转化为，设函数，利用导数求函数的最小值，根据求的最小值.【详解】（1），令，得.令，得.则，，且在上单调递增，，且当时，；当时，，则，且单调递增区间为，单调递减区间为.（2）因为，所以.令，则，易知在上单调递增.又，，则存在唯一的，使得，且当时，；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以.又，，即，则.因为，所以.-18-
因为存在实数，使得成立，所以，又，则整数最小值为0.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质以及根据不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查逻辑推理能力，计算能力，属于中档题型，本题的第二问的关键是根据零点存在性定理，确定极小值点的范围.-18-
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