顶尖名校联盟2019～2020学年下学期高一6月联考数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）．A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】先推导出，从而，由此能求出结果．【详解】解：函数，，，故选：C．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．．2.（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】三角函数的诱导公式求解即可.【详解】解：由，故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，属基础题.-21-
3.阅读如图所示的程序，则运行结果为（）．A.1B.3C.5D.7【答案】C【解析】【分析】根据给定的算法，运行该程序的计算，即可求解.【详解】根据给定的算法，该程序的运行过程，可得，，输出.故选：C.【点睛】本题主要考查算法语句的计算与输出，其中解答中根据给定的算法，依次计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.4.的内角，，的对边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）．A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】D【解析】【分析】已知两边和其中一边对角解三角形时要分类讨论，当已知角是锐角时，要把与比较大小，作出相应判断；已知两边和夹角有且只有1解；根据以上对选项判断即可.【详解】解：对于A，，故只有1解.对于B，已知两边夹角有且只有1解.-21-
对于C，，，故有1解.对于D，，，故有2解.故选：D.【点睛】考查三角形解的个数，已知两边和其中一边的对角解三角形时要注意分类讨论，基础题.5.在平面直角坐标系xOy中，圆C与圆O：外切，且与直线相切，则圆C的面积的最小值为 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，求出最小圆的半径，代入圆的面积公式即可．【详解】解：如图，圆心O到直线x﹣2y+5＝0的距离d，则所求圆的半径r，圆C面积的最小值为S．故选C．点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．-21-
6.在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为A.0.2B.0.25C.40D.50【答案】D【解析】【分析】直方图中，所有小长方形面积之和为1，每个小长方形的面积就是相应的频率，由此可列方程求解.【详解】设中间一组的频率为，则其他8组的频率为，由题意知，得，所以中间一组频数为.选D.【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题型.7.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为A.B.C.D.【答案】B-21-
【解析】【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件即可，根据输出结果可得循环条件．【详解】当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，.此时循环结束，故选B.【点睛】本题考查程序框图，解题时只要模拟程序运行，观察其中变量值的变化情况，进行判断．8.函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（）A.B.函数与的图象均关于直线对称C.函数与的图象均关于点对称D.函数与在区间上均单调递增【答案】D【解析】-21-
【分析】由三角函数图像可得，，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解.【详解】解：由函数的部分图象可得,,即,则，又函数图像过点，则，即，又，即，即，则对于选项A，显然错误；对于选项B，函数的图像关于直线对称，即B错误；对于选项C，函数的图像关于点对称，即C错误；对于选项D，函数的增区间为，函数的增区间为，又，，即D正确，故选：D.【点睛】本题考查了利用三角函数图像求函数解析式，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.9.的内角，，的对边分别为，，，若，则是（）．-21-
A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】由正弦定理和题设条件，求得，进而得到，即可求解.【详解】在中，满足，由正弦定理，可得，所以，解得，因为，可得，所以，又因为，所以,所以是直角三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，以及三角函数的形状的判定，其中解答中合理应用正弦定理的边角互化，结合三角恒等变换的公式进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.记，分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程有两个不同实根的概率为（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用列举法求得投掷两次骰子所包含的基本事件的个数，再结合一元二次方程的性质，求得方程有两个不同实根所包含的基本事件的个数为27，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意知，投掷两次骰子所得的数字分别为，，则基本事件有，，，，，，…，，，，，，，共36个，-21-
而方程有两个不同实根的条件是，其中满足条件的有27个，故所求事件的概率为．故选：D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数，以及结合一元二次方程的性质，求得所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11.在中，，，，点是边上的一点（包括端点），点是的中点，则的取值范围是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由点是的中点，所以，把用表示，最后求的范围即可.【详解】解：因为点是的中点，所以，因为点是边上的一点（包括端点），所以，，，则．因为，，，所以，，，则．因为，则．故的取值范围是-21-
故选：B．【点睛】以三角形为载体，考查向量数量积的取值范围，解决的关键是选择合适的基底表示向量，是基础题.12.若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，，得是等腰直角三角形，取的中点，连接，再由底面是以为斜边的等腰直角三角形，得，进而得即为球心，根据球的表面积公式即可得出结论.【详解】解：根据题意得：，所以是等腰直角三角形，且为斜边，取的中点，连接.因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，所以点即为球心，则该三棱锥的外接圆半径，故该三棱锥的外接球的表面积为．故选：D.【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，考查计算能力，属于中档题.二、填空题：13.的内角，，的对边分别为，，，若，，，则-21-
______．【答案】【解析】【分析】直接利用正弦定理代入求解即可.【详解】因为，，，所以．故答案为：.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用.属于容易题.14.已知函数，若在区间内任取一个实数，则使得实数满足的值域为的概率为______．【答案】【解析】【分析】求出分段函数的值域，结合函数值域为，求得实数的取值范围，再利用长度比，即可求得答案.【详解】由题意，函数的值域为，当时，可得，当时，可得，所以，即，解得，-21-
故所求概率为．故答案为：.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求解，其中解答中根据分段函数的值域，求得实数的取值范围是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15.已知样本数据，，，，的平均数大于0且方差，则样本数据，，，，的平均数为______．【答案】9【解析】【分析】根据方差与平均数的计算公式即可得出结论.【详解】解：设，，，，的平均数为．则，所以.又因为所以，所以．数据，，，，的平均数为．故答案为：9.【点睛】本题主要考查方差与平均数，考查计算能力，属于基础题.16.下列说法：①函数的最大值为1；-21-
②函数是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式可以写成；③若函数的值域为，则的取值范围是；④已知定义在上的偶函数在区间上是减函数，若，则的取值范围是．其中正确的是______（填写所有正确说法的序号）．【答案】①②④【解析】【分析】对于①，根据指数函数的性质判断；对于②，根据奇函数对称区间上解析式的求法，求出的解析式即可判断；对于③，分和讨论即可；对于④，根据偶函数性质转化，然后解绝对值不等式即可.【详解】解：对于①，函数的值域是，所以①正确．对于②，设，又，所以，则在上的解析式可以写；故②正确.对于③，∵函数的值域为，∴当时符合题意；当时，且，可得，所以③不错误．对于④，因为是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，所以在区间上是增函数，不等式可化为，，即或，-21-
所以或，所以或，所以或，所以④正确．故答案为：①②④.【点睛】考查指数型函数、对数型函数、奇偶函数的性质以及奇函数对称区间上解析式的求法，基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在四棱柱中，已知底面ABCD是菱形，平面ABCD，M、N分别是棱、的中点证明：平面DMN；证明：平面平面在D.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】连接，推导出平行四边形，从而推导出，从而由此能证明平面DMN．推导出 ，由，得，再由，得平面由此能证明平面平面D.【详解】连接，在四棱柱中，-21-
因为，，所以，所以为平行四边形，所以 又M，N分别是棱，的中点，所以，所以 又平面DMN，平面DMN，所以平面 因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，而平面，所以 又因为棱柱的底面ABCD是菱形，所以底面也是菱形，所以，而，所以又，，平面，且，所以平面而平面DMN，所以平面平面D.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，熟悉定理是解题的关键，是中档题．18.已知向量，满足，且.（1）求与夹角的大小；（2）求的值.-21-
【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）运用向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义和夹角范围，即可求得夹角；（2）先利用平面向量数量积的运算求出与，然后开方即可求得答案.【详解】（1）设，的夹角为，，又，所以，所以，即.又，所以与的夹角为，（2）因为，，所以.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的定义，向量夹角，向量的模，属于简单题目.19.近年来，某市实验中学校领导审时度势，深化教育教学改革，经过师生共同努力，高考成绩硕果累累，捷报频传，尤其是2017年某著名高校在全国范围内录取的大学生中就有25名来自该中学.下表为该中学近5年被录取到该著名高校的学生人数.（记2013年的年份序号为1，2014年的年份序号为2，依此类推……）年份序号12345录取人数1013172025（1）求关于的线性回归方程，并估计2018年该中学被该著名高校录取的学生人数（精确到整数）；（2）若在第1年和第4年录取的大学生中按分层抽样法抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人中恰好有一位来自第1年的概率.参考数据：，.-21-
参考公式：，.【答案】（1）28；（2）.【解析】【分析】（1）求出，代入公式即可，再利用回归方程估计2018年该中学被该著名高校录取的学生人数；（2）由分层抽样可知抽取的6人中有2人来自第1年，4人来自第4年，6人中任选2人共有15种情形，这2人中恰好1名来自第1年的抽法共有8种情形，即可求得答案.【详解】（1），，线性回归方程.当时，，即2018年该中学大约被录取28人.（2）由分层抽样可知抽取的6人中有2人来自第1年，4人来自第4年，6人中任选2人共有15种情形，这2人中恰好1名来自第1年的抽法共有2×4=8种情形，故概率.点睛：求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为，常数项为，这与一次函数的习惯表示不同．)20.函数的图象与轴的交点为，且当时，的最小值为.（1）求和的值；-21-
（2）求不等式的解集.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据图象过点，可得，当时，的最小值为，可得周期为，可得；（2）根据条件可得，利用整体换元可得，进而得解.【详解】解：（1）因为的图象与轴的交点为，所以，即，因为，所以.因为当时，的最小值为，所以的最小正周期为，因为，所以.（2）由（1）可知，.因为，即，所以，解得.故不等式的解集为.【点睛】已知函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到的值．求的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据的取值范围求解；另一种方法是“五点法”，即将-21-
作为一个整体，通过观察图象得到对应余弦函数图象中“五点”中的第几点，然后得到等式求解．21.在锐角中，内角A,B,C的对边分别为且（1）求角A；(2)若的面积为，求实数的范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角差的正弦公式求得，得A可求；(2)由面积公式得，进而得由三角形内角和表示为C的函数求解即可【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，又A为锐角，；(2)因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，故<【点睛】本题考查正弦定理及三角恒等变换，同角三角函数基本关系，熟记公式及定理，准确计算是关键，是中档题22.已知圆关于轴对称，且在轴上截得的线段长为，在轴上截得线段长为．-21-
（1）求圆的方程；（2）已知圆的圆心在轴的左侧，若斜率为1的直线与圆交于点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由题意可知圆心在轴上，设圆心，由在轴上截得的线段长可得圆的半径，由在轴上截得线段长结合勾股定理即可得到圆的方程.（2）写出直线l和线段的中垂线方程，联立两直线方程可得以AB为直径的圆的圆心，由勾股定理可得半径，从而得到以AB为直径的圆的方程，将原点（0,0）代入圆的方程可得答案.【详解】（1）因为圆关于轴对称，所以圆心在轴上，设圆心，半径为，则，由，得．所以圆的方程为．（2）由题可知圆的方程：．设，则线段的中垂线（过圆心）为，联立方程组，解得，即线段的中点坐标为．由于，因此，以线段为直径的圆的方程为，-21-
因该圆过原点，则，解得或，所以直线或.【点睛】本题考查圆的标准方程的求解和直线与圆的位置关系的应用，考查学生的分析能力，转化能力和计算能力，属于基础题型.-21-
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