www.ks5u.com三湘名校教育联盟·2020年上学期高一五月大联考数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】逆用余弦的和角公式即可求解.【详解】解：根据余弦的和角公式有．故选：A.【点睛】本题考查余弦和角公式的逆用，是基础题.2.函数f（x）图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的特征，利用奇偶性判断，再利用特殊值取舍.【详解】因为f（x）=f（x），所以f（x）是奇函数，排除B，C-19-
又因为，排除D故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3.若，则（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求所在的象限，再判断选项.【详解】∵，∴，∴．故选：C【点睛】本题考查解三角不等式，三角函数符号的判断，属于基础题型.4.设向量，，则下列结论中正确的是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】选项A，利用向量共线定理即可判断出正误；选项B，计算是否为，即可判断出正误；选项C，计算是否为，即可判断出正误；选项D，，-19-
，利用数量积运算性质即可得出，，进而判断出正误.【详解】解：选项A，，因此不成立，选项B，，因此成立，选项C，因此不成立，选项D，，，因此不成立.故选：B．【点睛】本题考查了向量坐标运算性质，向量共线定理，向量数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题.5.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由对数函数的定义域可得，从而即可得解.【详解】由已知可得，由正弦函数的性质知.故选：C.-19-
【点睛】本题考查了对数型复合函数定义域的确定，考查了三角函数性质的应用，属于基础题.6.设，，，则（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】用诱导公式将已知角化为锐角，再利用正弦函数和正切函数的单调性比较可得答案.【详解】，，，因为在上单调递增，所以，即，因为在上单调递增，所以，即，所以．故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了利用正弦函数和正切函数的单调性比较大小，属于基础题.7.若弧度为圆心角所对弦长为m，则该圆心角所对的弧长为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设扇形半径为r，由题意，利用扇形弧长公式即可得解.-19-
【详解】设扇形半径为r，由已知，，则弧长.故选：A.【点睛】本题考查了扇形弧长公式的应用，属于基础题.8.设函数，给出下列结论：①的一个周期为②的图像关于直线对称③的图像关于点对称④在单调递减其中所有正确结论的编号是（）．A.①④B.②③C.①②③D.②③④【答案】C【解析】【分析】本题根据余弦型函数的性质直接求解即可.【详解】①：的最小正周期为：即，所以①正确；②：的对称轴为：，即，，所以②正确；③：的对称中心的横坐标为：，即，，所以对称中心为：，，当时③正确；④：的单调递减区间为：，即，，所以④错误.故选：C.-19-
【点睛】本题考查余弦型函数的图像与性质，是中档题.9.，，为所在平面内三点，且，，，则（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】画出图形，根据向量线性运算求解即可.【详解】解：由题知，中点，为三等分点且靠近点，为中点，如图，所以．故选：D.【点睛】本题考查平面向量基本定理，是基础题.10.已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】-19-
由题意，利用同角三角函数商数关系和平方关系可得，解方程即可得，，即可得解.【详解】由得即，即，解得或，由可得，或，，，显然MN与x轴交于点，.故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11.如图，矩形中，，，与相交于点，过点作，垂足为，则（）．A.B.3C.6D.9【答案】B【解析】-19-
【分析】把用表示后再由数量积的定义计算．【详解】，．故选：B．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是用表示，然后根据向量数量积定义计算．12.已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【详解】解：由于在区间有三个零点，，，当时，，-19-
∴由对称轴可知，满足，即.同理，满足，即，∴，，所以最小正周期为：.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.二、填空题：13.已知，则______．【答案】【解析】【分析】对已知式子两边平方，根据同角三角函数的平方和关系和正弦的二倍角公式即可解决.【详解】由已知得，∴．故答案为：.【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，同角三角函数关系，是基础题.14.如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则______．-19-
【答案】4【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】解：如图，，，，若，则，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量的线性运算，是基础题.15.函数的最大值为______．【答案】【解析】【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简为关于的二次函数求最值.【详解】，∴当时，取得最大值．故答案为：-19-
【点睛】本题考查三角恒等变形，二次函数求最值，属于基础题型.16.已知是第三象限角，，则______；______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】用诱导公式求，用二倍角公式求，注意确定的范围．【详解】，，∴．∵是第三象限角，∴是第二或第三象限角．若是第二象限角，则，，此时，不满足，∴是第三象限角．∴，∴．故答案为：；．【点睛】本题考查诱导公式，考查二倍角公式，解题时要注意确定角的范围，能确定函数值的正负．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数．-19-
（1）求的最大值及取得最大值时的值；（2）求的单调递减区间．【答案】（1）1；；（2），【解析】【分析】（1）根据的性质中的最值即可求解；（2）根据的性质中的单调性即可求解.【详解】（1）令，即时，取最大值1．（2）由得的减区间为，【点睛】本题考查的性质，是基础题.18.已知，都是锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）因为都是锐角，而，可得 ，由同角三角函数基本关系式得 ；（2）凑角可得 ，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.【详解】（1）∵，∴，∴，-19-
∵，∴，∴，解得．（2）由已知及（1）可得，，∴．【点睛】本题考查三角恒等变换，考查数学运算能力，是中档题.19.已知是第二象限角，，求下列各式值：（1）；（2）．【答案】（1）3；（2）．【解析】【分析】（1）首先根据诱导公式化简，再代入正切值求解.（2）首先利用诱导公式化简，再根据二倍角和两角差的正切公式化简，最后用表示原式，计算结果.【详解】（1）．（2）．-19-
【点睛】本题考查三角恒等变形，利用正切值表示的齐次分式，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握公式.20.已知向量，满足，，．（1）求向量与的夹角；（2）求的值；（3）若向量，，，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由得，再根据夹角公式计算即可；（2）根据向量模的计算公式计算即可；（3）根据共线向量定理求解即可.【详解】（1）∵，∴，，，设向量与的夹角为，则，又∵∴．（2）由向量模的计算公式得：．（3）∵，∴，∴，∴，解得．【点睛】本题考查向量的夹角，模，及共线向量基本定理等知识，考查运算能力，是基础题.21.已知函数．-19-
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图像，并写出图像的对称中心；（2）先将函数的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若在上的值域为，求的取值范围．【答案】（1）作图见解析；对称中心，；（2）．【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简得，再根据五点法作图即可，计算对称中心；（2）根据伸缩变换得，再根据正弦函数图象即可解决【详解】（1），列表如下：0-19-
12001在上的图像如图所示，其对称中心为，．（2）将函数的图像向右平移个单位后得到的图像，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，∵，∴，结合正弦函数图数可知，解得，∴的取值范围是．【点睛】本题考查五点法作图，三角函数图象的变换，正弦型函数的值域问题，是中档题.-19-
22.函数的部分图像如图所示．（1）求的解析式；（2）若，，求取值范围；（3）求实数的正整数，使得函数在上恰有2021个零点．【答案】（1）；（2）；（3）或时，；时，．【解析】【分析】（1）根据图象，分析函数的周期，求，利用“五点法”中的值求，得到函数的解析式；（2）首先求的范围，再利用二次函数恒成立问题，列式求的取值范围；（3）首先将零点问题转化为函数的图像与直线在上恰有2021个交点，再讨论的取值范围，确定的值.【详解】（1）由图可得，即，，∴，∴，，∴，．（2）∵，∴，∴，-19-
令，则由题意得恒成立，由二次函数图像可知只需，，解得．（3）由题意可得的图像与直线在上恰有2021个交点．在上，，①当或时，的图像与直线在上无交点．②当或时，的图像与直线在仅有一个交点，此时的图像与直线在上恰有2021个交点，则．③当或时，的图像与直线在恰有2个交点，的图像与直线在上有偶数个交点，不可能有2021个交点．④当时，的图像与直线在恰有3个交点，此时，才能使的图像与直线在上有2021个交点．综上可得，当或时，；当时，．【点睛】本题考查三角函数的解析式和性质，不等式恒成立，以及根据函数零点求参数的取值范围，属于中档题型，本题的难点是第三问，需根据三角函数的图形，讨论的取值范围.-19-
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