2021年黑龙江省实验中学高考数学四模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＜4}，则（∁UA）∪B＝（ ）A．{x|x＜3}B．{x|x≤3}C．{x|x＜4}D．{x|x≤4}2．已知复数z满足iz＝z+2i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数f（x）＝e|x+1|﹣x2﹣2x﹣2的图象可能是（ ）A．B．C．D．4．已知抛物线C1：y2＝﹣4x的焦点与椭圆C2：＝1（a＞0）的一个焦点重合，则C2的离心率为（ ）A．B．C．D．5．已知函数f（x）＝ax2+blnx的图象在点（1，f（1））的切线方程为y＝3x﹣2，则a+b＝（ ）A．2B．0C．1D．﹣26．为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．以下结论正确的是（ ）A．乙成绩的极差比甲成绩的极差小B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大
C．乙成绩的方差比甲成绩的方差小D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小7．已知，若θ是第二象限角，则＝（ ）A．B．C．D．8．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）A．π+4B．C．π+2D．9．“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化．”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度．在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子．而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月3日可能是星期（ ）A．一或三．B．二或三C．二或五D．四或六10．将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝f（x）的图象，下列说法正确的是（ ）A．f（x）是奇函数B．f（x）的周期是C．f（x）的图象关于直线x＝﹣对称D．f（x）的图象关于点（﹣，0）对称11．已知函数f（x）＝﹣3x3﹣2x，若f（m﹣3）+f（﹣2m）＜0，则实数m的取值范围为（ ）A．（﹣∞，3）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣3，+∞）
12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内切球的表面积为π，P是空间中任意一点：①若点P在线段AD1上运动，则始终有C1P⊥CB1；②若M是棱C1D1中点，则直线AM与CC1是相交直线；③若点P在线段AD1上运动，三棱锥D﹣BPC1体积为定值；④E为AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为．以上命题为真命题的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为 ．14．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，M是BC中点，则•＝ ．15．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为 ．16．在锐角△ABC中，内角A，B所对的边分别为a，b，若A＝2B，b＝2，则＝ ；边长a的取值范围是 ．三、解答题（共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题都必须作答，第22，23题为选考题，根据要求作答）（一）必考题：每题12分，共60分17．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1＝2an（n∈N*），且S3＝2a3﹣1，（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn＝log2（an•an+1），求数列{bn}的前n项和为Tn．18．2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表．月收入（单位百元）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数123534（1）根据所给数据，完成下面的2×
2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；月收入高于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成不赞成合计（2）若采用分层抽样从月收入在[25，35）和[65，75）的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人收入在[65，75）的概率．（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．已知点C是平面直角坐标系中异于原点O的一个动点，过点C且与y轴垂直的直线与直线x＝﹣4交于点M，且向量与向量垂直．（1）求点C的轨迹方程E；（2）已知点P（1，2），F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于A，B（A位于第一象限）两点，若S△PBF＝4S△PAF，求直线l的方程．20．如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC∥B1C1，BC＝2B1C1，A1C＝AC1．（1）求证：A1B1∥平面ABC；（2）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积V．21．已知f（x）＝lnx﹣mx2﹣（2m﹣1）x（m∈R），g（x）＝﹣x2﹣1．（Ⅰ）讨论f（x）单调性；（Ⅱ）当m＞0时，若对于任意x1＞0，总存在x2∈[﹣2，﹣1]，使得f（x1）≤g（x2），求m的取值范围．
（二）选考题：共10分.请在22，23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为，直线l与曲线C交于A，B两点，求．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a，b，c满足a+b+c＝1．（1）求证：≥a2+b2+c2；（2）求证：．
参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＜4}，则（∁UA）∪B＝（ ）A．{x|x＜3}B．{x|x≤3}C．{x|x＜4}D．{x|x≤4}解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＜4}，∴∁UA＝{x|x≤3}，∴（∁UA）∪B＝{x|x＜4}．故选：C．2．已知复数z满足iz＝z+2i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵iz＝z+2i，∴iz﹣z＝2i，∴z＝＝＝1﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．3．函数f（x）＝e|x+1|﹣x2﹣2x﹣2的图象可能是（ ）A．B．C．D．解：f（x）＝e|x+1|﹣x2﹣2x﹣2＝e|x+1|﹣（x+1）2﹣1，则函数f（x）关于x＝﹣1对称，排除A，C，f（0）＝e﹣2＞0，排除D，故选：B．4．已知抛物线C1：y2＝﹣4x的焦点与椭圆C2：＝1（a＞0）的一个焦点重合，则C2的离心率为（ ）
A．B．C．D．解：抛物线C1：y2＝﹣4x的焦点（﹣1，0），抛物线C1：y2＝﹣4x的焦点与椭圆C2：＝1（a＞0）的一个焦点重合，可得a2﹣3＝1，解得a＝2，所以椭圆的离心率为：e＝＝．故选：B．5．已知函数f（x）＝ax2+blnx的图象在点（1，f（1））的切线方程为y＝3x﹣2，则a+b＝（ ）A．2B．0C．1D．﹣2解：函数f（x）＝ax2+blnx的导数为f′（x）＝2ax+，则切线的斜率为2a+b＝3，由切点为（1，1），可得a＝1，b＝1，所以a+b＝2，故选：A．6．为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．以下结论正确的是（ ）A．乙成绩的极差比甲成绩的极差小B．甲成绩的众数比乙成绩的中位数大C．乙成绩的方差比甲成绩的方差小D．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小解：对于选项A：由茎叶图中的数据，可知甲的极差为92﹣78＝14，乙的极差为94﹣72＝22，所以乙成绩的极差比甲成绩的极差大，故选项A错误，对于选项B：由茎叶图中的数据，可知甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，所以甲成绩的众数比乙成绩的中位数小，故选项B错误，对于选项C：根据茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更离散，所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故选项C错误，
对于选项D：由平均数的计算公式，可得甲成绩的平均数为≈85.4分，乙成绩的平均数为≈86.4分，所以甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小，故选项D正确，故选：D．7．已知，若θ是第二象限角，则＝（ ）A．B．C．D．解：由，得﹣cosθ＝，即cosθ＝﹣，又θ是第二象限角，∴sinθ＝＝，∴＝＝．故选：B．8．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）A．π+4B．C．π+2D．解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个三棱柱，一个半圆柱的组合体，半圆柱底面的半径为1，半圆柱和三棱柱的高均为2，三棱柱的底面是等腰直角三角形，边长为2，半圆柱的体积为：2π，三棱柱的体积为：＝4，故组合体的体积为：4+π．
故选：A．9．“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化．”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度．在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子．而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月3日可能是星期（ ）A．一或三．B．二或三C．二或五D．四或六解：若这个月为31天，则该月1日为星期天，符合题意，此时3日为星期二；若这个月为29天，则该月1日为星期一，符合题意，此时3日为星期三．故选：B．10．将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝f（x）的图象，下列说法正确的是（ ）A．f（x）是奇函数B．f（x）的周期是C．f（x）的图象关于直线x＝﹣对称D．f（x）的图象关于点（﹣，0）对称解：将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）＝sin（2x﹣+）＝cos2x的图象，故f（x）是偶函数，最小正周期为＝π，故A、B错误；令x＝﹣，求得f（x）＝，不是最值，故C错误；令x＝﹣，求得f（x）＝0，故f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故D正确，故选：D．11．已知函数f（x）＝﹣3x3﹣2x，若f（m﹣3）+f（﹣2m）＜0，则实数m的取值范围为（ ）A．（﹣∞，3）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣3，+∞）解：易知f（x）是R上的奇函数，且f（x）在R上递减，由f（m﹣3）+f（﹣2m）＜0，得f（m﹣3）＜﹣f（﹣2m）＝f（2m），故m﹣3＞2m，解得：m＜﹣3，
故选：C．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内切球的表面积为π，P是空间中任意一点：①若点P在线段AD1上运动，则始终有C1P⊥CB1；②若M是棱C1D1中点，则直线AM与CC1是相交直线；③若点P在线段AD1上运动，三棱锥D﹣BPC1体积为定值；④E为AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为．以上命题为真命题的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5解：对于①：因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1内切球的表面积为π，设内切球的半径为r，则4πr2＝π，解得r＝，所以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2r＝1，因为CB1⊥BC1，CB1⊥AB，且BC1∩AB＝B，所以CB1⊥平面ABC1D1，因为C1P⊂平面ABC1D1，所以C1P⊥CB1，故①正确；对于②：由图可知，直线AM与CC1是异面直线，故②错误；对于③：
由图可知：因为CD∥平面BPC1，三棱锥D﹣BPC1体积等于三棱锥C﹣BPC1的体积，由A可知，CB1⊥平面BPC1，所以C点到平面BPC1的距离为，因为动点P到直线BC1的距离等于1，所以△BPC1的面积等于××1＝，所以V＝××＝，故棱锥D﹣BPC1的体积为定值，故③正确；对于④：取A1D1中点为M，BC中点为N，连接B1M，MD，DN，B1N，因为B1M∥BE，B1N∥A1E，所以平面B1MDN∥平面A1BE，所以过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为面B1MDN，由图可知面B1MDN是菱形，其中对角线长为B1D＝，MN＝，所以S＝××＝，故④正确．所以真命题有3个，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为 4 ．解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，﹣2），化z＝x﹣y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故答案为：4．14．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，M是BC中点，则•＝ 2 ．解：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，M是BC中点，•＝＝||2＝2．故答案为：2．15．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为 ．解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°＝，可得：＝，即，可得离心率为：e＝．故答案为：．16．在锐角△ABC中，内角A，B所对的边分别为a，b，若A＝2B，b＝2，则＝ 4 ；边长a的取值范围是 （2，2） ．解：∵A＝2B，∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，
由正弦定理知，，∴a＝2bcosB，即＝2b＝4．∵A+B+C＝π，∴C＝π﹣3B，∵锐角△ABC，∴，解得B∈（，），∴cosB∈（，），∴a＝2bcosB＝4cosB∈（2，2）．故答案为：4；（2，2）．三、解答题（共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题都必须作答，第22，23题为选考题，根据要求作答）（一）必考题：每题12分，共60分17．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1＝2an（n∈N*），且S3＝2a3﹣1，（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn＝log2（an•an+1），求数列{bn}的前n项和为Tn．解：（1）由an+1＝2an（n∈N*），可得数列{an}是公比为2的等比数列，由S3＝2a3﹣1，可得a1+2a1+4a1＝8a1﹣1，解得a1＝1，所以an＝2n﹣1；（2）bn＝log2（an•an+1）＝log2（2n﹣1•2n）＝2n﹣1，则数列{bn}的前n项和为Tn＝＝n2．18．2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表．月收入（单位百元）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数123534
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；月收入高于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成不赞成合计（2）若采用分层抽样从月收入在[25，35）和[65，75）的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人收入在[65，75）的概率．（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）2×2列联表如下：月收入高于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成71118不赞成32932合计104050∴，所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异．（3）按照分层抽样方法可知，月收入在[25，35）的抽4人，记为{a，b，c，d}，月收入在[65，75）的抽2人，记为{A，B}，则从6人中任取3人的所有情况为：{A，B，a}、{A，B，b}、{A，B，c}、{A，B，d}、{A，a，b}、{A，a，c}、{A，a，d}、{A，b，c}、{A，b，d}、{A，c，d}、{B，a，b}、{B，a，c}、{B，a，d}、{B，b，c}、{B，b，d}、{B，c，d}、{a，b，c}、{a，b，d}、{a，c，d}、{b，c，d}，共20种，其中至少有一人月收入在[65，75）的情况有16种，所以3人中至少有1人月收入在[65，75）的概率为．19．已知点C是平面直角坐标系中异于原点O的一个动点，过点C且与y轴垂直的直线与直线x＝﹣4交于点M，且向量与向量垂直．
（1）求点C的轨迹方程E；（2）已知点P（1，2），F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于A，B（A位于第一象限）两点，若S△PBF＝4S△PAF，求直线l的方程．解：（1）设C（x，y）（x≠0），则M（﹣4，y），∴，，∵，∴，∴点C的轨迹方程E：y2＝4x（x≠0）（2）∵S△PBF＝4S△PAF，∴|BF|＝4|AF|设直线l：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）∵，∴y2＝﹣4y1，∴．∵，得y2﹣4my﹣4＝0，∴，解得∵A位于第一象限，∴∴直线l：4x+3y﹣4＝020．如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC∥B1C1，BC＝2B1C1，A1C＝AC1．（1）求证：A1B1∥平面ABC；（2）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积V．【解答】（1）证明：∵四边形A1ACC1是菱形，∴AC∥A1C1．又∵AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，∴A1C1∥平面ABC．同理得，B1C1∥平面ABC．∵A1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，且A1C1∩B1C1＝C1，∴平面ABC∥平面A1B1C1．又∵A1B1⊂平面A1B1C1，∴A1B1∥平面ABC．
（2）解：∵AC∥A1C1，B1C1∥BC，∴∠A1C1B1＝∠ACB＝60°．∵A1C1＝AC＝2，2B1C1＝BC＝2，∴＝×＝．在菱形A1ACC1中，∵A1C＝AC1，∴∠ACC1＝60°，＝＝．∵平面ABC⊥平面ACC1，取AC的中点为M，连接BM，C1M，∴BM⊥平面ACC1，C1M⊥平面ABC．由（1）知，平面ABC∥平面A1B1C1，∴点B到平面A1B1C1的距离为．又∵点B到平面A1ACC1的距离为，连接BC1，则．21．已知f（x）＝lnx﹣mx2﹣（2m﹣1）x（m∈R），g（x）＝﹣x2﹣1．（Ⅰ）讨论f（x）单调性；（Ⅱ）当m＞0时，若对于任意x1＞0，总存在x2∈[﹣2，﹣1]，使得f（x1）≤g（x2），求m的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，∴当m≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，当m＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）当m＞0时，，根据题意，不等式等价于，而，显然此时g（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，故
，∴，设，显然h（m）在定义域内为减函数，且，∴．（二）选考题：共10分.请在22，23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为，直线l与曲线C交于A，B两点，求．解：（1），又，所以得，﹣ρsinθ＝2，根据，得x﹣y﹣2＝0，所以曲线C的普通方程是，直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0；（2）设M（0，﹣2），点A，B所对应的参数为t1，t2，则l的参数方程为（t为参数），
代入得，t1t2＝15，于是＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a，b，c满足a+b+c＝1．（1）求证：≥a2+b2+c2；（2）求证：．【解答】证明：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝1，∴（a3+b3+c3）（a+b+c）＝a4+b4+c4+a3b+b3a+a3c+c3a+b3c+c3a≥a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2＝（a2+b2+c2）2，∴（当且仅当a＝b＝c＝等号成立）；（2）∵a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝1，∴a+，又a+，，∴a+b+c，故（当且仅当a＝c＝，b＝时等号成立）．
