黑龙江省实验中学2021--2022学年度上学期10月月考高二数学试题一、单选题1．过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】所求直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即.故选：B.2．在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于，则从这5个国家中任取2个国家有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1个低于有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，
所以所求概率为.故选：D.3．已知直线，，若，且这两条直线间的距离为，则点到坐标原点的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】，，若，则，不合题意，；方程可化为，间距离，解得：，到坐标原点的距离为.故选：A.4．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件，显然为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件，且互斥，所求概率.故选：C.
5．若点是以，为焦点的双曲线上的一点，且，则等于（）A．2B．22C．2或22D．4或22【答案】C【详解】由双曲线的定义，知，又，解得或22．故选C.6．如果圆上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】到原点的距离为的点的轨迹为圆，因此所求问题转化为圆与圆相交有交点，两圆的圆心半径分别为，，所以，解不等式得的取值范围是，选D7．已知点是直线()上一动点，，是圆:的两条切线，，为切点，若四边形的最小面积是2，则的值为（）A．4B．C．2D．【答案】C【详解】圆，圆心，半径为1.如图，，，，，，.即点到直线的距离为
所以，解得（负值舍去）所以.故选：C8．已知椭圆与圆在第二象限的交点是点，是椭圆的左焦点，为坐标原点，到直线的距离是，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】如图所示，连接，因为圆，可得，过点作，可得，且，由椭圆的定义，可得，所以，在直角中，可得，即，
整理得，两侧同除，可得，解得或，又因为，所以椭圆的离心率为.故选：B二、多选题9．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（）A．若，是互斥事件，，，则B．若，是对立事件，则C．若，是独立事件，，，则D．若，，且，则，是独立事件【答案】BCD【详解】对于A：若，是互斥事件，，，则，故A错误；对于B：若，是对立事件，则，故B正确；对于C：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确；对于D：若，，则且，则，是独立事件，故，也是独立事件，故D正确；故选：BCD10．以下四个命题表述正确的是
A．直线恒过定点B．圆：的圆心到直线的距离为2C．圆：与圆：恰有三条公切线D．两圆与的公共弦所在的直线方程为：【答案】AC【详解】对于A选项，当时，所以直线过定点，故A选项正确.对于B选项，圆的圆心为，到直线的距离为，所以B选项错误.对于C选项，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.圆心距为，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C正确.对于D选项，由两式相减并化简得，所以D选项错误.综上所述，正确的选项为AC.故选：AC11．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；综上知，所求的直线方程为、，或．故选：ABC．12．动点分别到两定点连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲
线，分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中正确的有（）A．曲线的焦点坐标为；B．若，则；C．的内切圆的面积的最大值为；D．设，则的最小值为．【答案】ACD【详解】由题意可知:化解得，A项：，，即曲线C的焦点坐标为，故A项正确；B项：先推导焦点三角形面积公式：在中，设，，，由余弦定理得∴,即，∴=．故B项错误；C项：在三角形中，设内切圆的半径为r，由椭圆形定义，，，解得（），当M在上顶点时，，内切圆半径r取最大值，内切圆最大面积为，故C正确；D项：在三角形中,,则，当三点共线，并且M在A的上方时，有最小值，即
，故D项正确.故选：ACD三、填空题13．在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在第3次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：131432123233234122332141312241122214431241141433223442由此可以估计恰好在第3次停止摸球的概率为_________【答案】【详解】在18组随机数中，代表“恰好在第3次停止摸球”的随机数是432，234，214，442，共4组，则恰好在第3次停止摸球的概率为.故答案为：.14．已知m为实数，直线，，若，则实数m的值为________.【答案】【详解】由题意可得：且，所以有，解之得：.故答案为：.15．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且它们的离心率之和为，则双曲线的方程是_______【答案】【详解】
因为双曲线与椭圆有共同的焦点，所以，且焦点在轴上；设双曲线的方程为，又离心率之和为，所以，解得，所以，因此双曲线的方程是.故答案为16．若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为________.【答案】【详解】方程表示圆，则，解得；由于过点可作圆的两条切线，则点在圆外，可得，解得或.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题17．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设，因为直线与直线垂直，且点在直线上，所以，解得，故.
（2）设由题知：，所以，解得，即.，直线，即：.，点到直线的距离，所以.18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90，100)，[100，110)，…，[140，150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130)内的频率；（2）用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130)内的概率．【答案】（1）0.3；（2）.【详解】解：（1）分数在内的频率为.(2)由题意知，[110，120)分数段的人数为60×0.15＝9，[120，130)分数段的人数为60×0.3＝18.用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，则需在[110，120)
分数段内抽取2人，并分别记为m，n，在[120，130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d.设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130)内”为事件A.易知基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种．事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，共9种．故P(A)＝＝.19．在①圆经过，②圆心在直线上，③圆截轴所得弦长为8且圆心的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.已知圆经过点，且______；（1）求圆的方程；（2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【详解】解：选条件①，（1）设圆的方程为，依题意有，解得，，，所以圆的方程为，即圆的标准方程为：.（2）设圆心到直线的距离为，则弦长，当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，设其方程为，即，，解得，，所以所求直线的方程为或.选条件②，
（1）设圆的方程为，因为圆经过点，，且圆心在直线上依题意有，解得，，，所以圆的方程为.（2）设圆心到直线的距离为，则弦长，当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，设其方程为，即，，解得，，所以所求直线的方程为或.选条件③，设圆的方程为，由圆经过点，，故，又因为圆截轴所得弦长为8，故方程的两个实数根的差的绝对值为.所以，即解方程组，得，，或，，，由于圆心的坐标为整数，故圆的方程为（2）设圆心到直线的距离为，则弦长，当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，设其方程为，即，，解得，
，所以所求直线的方程为或.20．已知椭圆的左焦点到圆上一点距离的最大值为6，且过椭圆右焦点与上顶点的直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于A，两点，当以为直径的圆与轴相切时，求的值.【答案】（1）；（2）或.【详解】（1）椭圆的左焦点到圆上一点距离的最大值为，又，所以.过椭圆右焦点和上顶点的直线方程为，即，由直线和圆相切可得，解得，所以.所以椭圆的方程为.（2）由，可得，则，即.设，，则，，所以中点的横坐标为，则以为直径的圆的半径为.因为该圆与y轴相切，所以，整理可得，即，解得，所以或.
