2020-2021学年度上期宁南中学高二上第二次月考卷 理科数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一商店有奖促销活动中仅有一等奖､二等奖､鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为（）A．B．C．D．2．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（）034743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179A．36B．16C．11D．143．在庆祝中华人民共和国成立周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生人，其中高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（）A．33B．32C．31D．304．某公司为对本公司的名员工的身体状况进行调查，先将员工随机编号为，采用系统抽样的方法（等间距地抽取，每段抽取一个个体）将抽取的一个样本．已知抽取的员工中最小的两个编号为，那么抽取的员工中，最大的编号应该是（）A．B．C．D．5．已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面说法中正确的是（）.A．若，，且，，则B．若，，且，则C．若且，则//
D．若，，且//，//，则//6．统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068－1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如下的统计表格：分组（万贯）合计合计73359551301953311则宋神宗熙宁年间各州商税岁额（单位：万贯）的中位数大约为（）A．0.5B．2C．5D．107．在平面区域内随机取一点，所取的点恰好满足的概率为（）A．B．C．D．8．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是()A．B．三棱锥的体积为定值C．二面角的大小为定值D．异面直线所成角为定值
10．某程序框图如图，该程序运行后输出的值是（）A．8B．9C．10D．1111．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）A．4B．8C．D．12．如图，在棱锥中，底面是正方形，，平面．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A．B．C．2D．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．某中学举行了一场音乐知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图，同一组数据用该区间的中点值代替，估计这次竞赛的平均成绩为______分.14．已知一组数据的方差为2，则这组数据的方差为______.15．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
16．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分）2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示．（1）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；（2）试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由。18．（本题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示
（1）求a的值．（2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的中位数（保留两位小数）．（3）若从年龄在的人中随机抽取两位，求两人恰有一人的年龄在内的概率．19．（本题满分12分）已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值.20．（本题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本题满分12分）2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某市从2020年2月1日算第一天起，每日新增的新型冠状病毒肺炎人数y(人)的近5天的具体数据，如表：第x天12345新增的新型冠状病毒肺炎人数y(人)2481318已知2月份前半个月处于疫情爆发期，且新增病例数与天数具有相关关系.（1）求线性回归方程；（2）预测哪天该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人？参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，为样本平均值.
22．（本题满分12分）如图，直三棱柱中，点是棱的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，在棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
宁南中学高2022届第二次月考 理科数学试题 参考答案BCACDBCADBCD1．B解:中奖的概率为，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为.故选：B.2．C解:从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11，故选：C.3．A解:由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生的人数为，故选：A.4．C解:∵抽取的学生中最小的两个编号为为5,21,∴样本数据组距为21−5=16，样本容量n=10，∴编号对应的数列的通项公式为an=5+16(n−1)，则当n=10时，5+16×9=149，即抽取的最大编号是149.本题选择C选项.5．D解:对于A选项，当//时，直线与平面不一定垂直，只有、相交时才能得到，故A错；对于B选项，如图所示，把看作，看作，平面看作，平面看作，此时//，故B错；对于C选项，若且，则//或在内，故C错；对于D选项，∵//，//，∴//，若，，则//，故选：D.6．B解:总频数为311，则中位数是所有数据从小到大第156个数据，，中位数大约在区间的中点处，所以中位数大约为2．故选：B7．C试题分析：由题意可知所取的点应在图中阴影部分.从而其概率为.故本题正确答案为C．8．A解：如图建立空间直角坐标系：令棱柱的棱长为2，则，，，试卷第15页，总1页
则，，设与所成的角为，则故选：A9．D试题分析：易知AC⊥平面BEF，所以AC⊥BE；三棱锥A-BEF的高就是点A到平面BB1D1D的距离且为一定值，ΔBEF为一定值，故三棱锥A-BEF的体积为定值；二面角A-EF-B的平面角与二面角A-B1D1-B的平面角相等，故为一定值.10．B【解析】由题设中提供的算法流程图可知程序执行的是求和运算：由于的周期是，所以，应选答案B．11．C【分析】根据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：由于，下底面为等腰直角三角形．可得，，，，所以该四面体四个面的面积中，最大的是．故选：C．12．D【分析】利用等体积法求四棱锥内切球的半径设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，利用这五个棱锥的体积之和等于棱锥的体积，则球的最大半径可求.解：由平面，，又，，所以平面，所以，，设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R．四棱锥的体积，四棱锥的表面积试卷第15页，总1页
，因为，所以．故选：D.13．67.解：这次竞赛的平均成绩为：故答案为：67.14．8解：的方差是．15．【解】用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为，故至少有一人去北京旅游的概率为.16．2【解】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于120°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴，故答案为2．17．（1）；（2）答案：开放性题目，学生从其它角度作答合理可给分，答案仅供参考。【解】（1）记物理、历史分别为，思想政治、地理、化学、生物分别为，由题意可知考生选择的情形有，，，，，，，，，，，，共12种；他选到物理、地理两门功课的情形有，共3种；甲同学选到物理、地理两门功课的概率为（2）物理成绩的平均分为历史成绩的平均分为由茎叶图可知物理成绩的方差历史成绩的方差故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；试卷第15页，总1页
从最高分的情况来看，应选择历史学科.18．（1）；（2）42.14；（3）.解（1）因为，.解得（2）因为的频率为，的频率为，所以估计参与调查人群的样本数据的中位数为.（3）20人中，年龄在中的有人，记为A，B，年龄在中的有人记为a，b，c，从年龄在的5人中随机抽取两位，基本事件有：，共10种，两人恰有一人的年龄在在内的基本事件有：，共6种，所以两人恰有一人的年龄在内的概率为..19．（1）证明见解析；（2）.解：（1）在图①中，连接，如图所示：因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.因为为的中点，所以，.又，所以.在图②中，，所以，即.因为，所以，.又，，平面.所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，.因为，，平面.试卷第15页，总1页
所以平面.以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，.20．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在等腰直角三角形中，，所以.………2分因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………4分又因为平面，所以；………5分（Ⅱ）在平面内过点作垂直于，由（Ⅱ）知，平面，因为平面，所以.………6分如图，以为原点建立空间直角坐标系.试卷第15页，总1页
则，，，，.，，.………7分设平面的法向量为，则，即.令则，，所以.………10分直线与平面所成角大小为，.所以直线与平面所成角的正弦值为.………12分19．（1）；（2）预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人.解（1）由题意，，，，，则，，所以线性回归方程为.（2）在中，取，得；取，得.故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人.22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解：（Ⅰ）证明：连接，交于点，则为中点，连接，又是棱的中点，平面，平面，平面.试卷第15页，总1页
（Ⅱ）解：由已知，，则，，两两垂直以为原点，如图建立空间直角坐标系则，设则，，设平面的法向量为，则∴取平面的一个法向量.设平面的法向量为，则∴取平面的一个法向量.∴，得或∵，∴∴存在点，此时，使二面角的大小为45°.试卷第15页，总1页
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