2020-2021学年葫芦岛市绥中县八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.要使式子x+2x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A.x≥-2B.x>-2C.x≠-3D.以上都不对2.下列运算正确的是( )A.a2+2a=3a3B.(-2a3 )2=4a5C.(a-2)(a+1)=a2+a-2D.(a+b)(b-a)=b2 -a23.点M(-3,a)与点N(b,4)关于y轴对称，则ab的值为( )A.12B.-64C.64D.814.已知x2+4x+k是一个完全平方式，则常数k为( )A.2B.-2C.4D.-45.下列多项式中，可以提取公因式的是( )A.x2-y2B.x2+xC.x2-yD.x2+2xy+y26.下列命题中，假命题是( )A.对顶角相等B.同角的余角相等C.面积相等的两个三角形全等D.平行于同一条直线的两直线平行7.若四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：5，且∠C=150°，则∠D的度数为( )A.90°B.105°C.120°D.135°8.满足下列条件，一定全等的三角形是A.有一角相等的两个等腰三角形B.有两边分别相等的两个直角三角形C.面积相等的两个三角形D.有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE=4，则AC长为( )A.2B.3C.4
D.2，3，4以外的值10.一辆快车和一辆慢车同时从甲地出发，沿同一路线到乙地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，且快车比慢车先到14h，设慢车的速度为x km/h，若这一路线长为450km，那么下面所列方程正确的是( )A.450x=450x+14+1.2B.4501.2x=450x-14C.450x=450x+14×1.2D.4501.2x=450x+14二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.简便计算：101×99=______．12.使得分式x2-4x+2值为零的x的值是______．13.已知在△ABC中，AB=3，AC=6，如果边BC的长为正整数，那么BC的长可以是______(只需填写一个正确答案)．14.化简：x-2x⋅x x2-4x+4=______．15.已知，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为直线BC上一点，BP=AB，则∠APB的度数为______．16.当x=______时，代数式xx2-1比代数式3xx+1的值小3．17.如图，若△ACD的周长是60，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC=______．18.到一个角的两边距离相等的点都在______．19.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+4经过点A(3,0)，与y轴交于点B．(1)k的值为______；(2)y轴上有点M(0,125)，线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，则符合条件的点P的坐标为______．
20.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，边长分别为m、n(m<n).坐标原点O为AD的中点，A、D、E在y轴上．若二次函数y=ax2的图象过C、F两点，则nm=______．三、解答题（本大题共9小题，共70.0分）21.9(a-b)2+36(b2-ab)+36b222.观察下列等式：11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，将以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34，(1)猜想并写出：1n(n+1)=______．(2)直接写出下列各式的计算结果：①11×2+12×3+13×4+…+12016×2017=______；②11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=______．(3)若11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)的值为1735，求n的值．23.先化简再求值：2a2-[12(ab-4a2)-7ab]-12ab，其中a=-12，b=3．
24.已知：如图，△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F.求证：BE=BF．25.如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．△ABC的顶点均在格点上．请完成下列各题：(用直尺画图)(1)画出△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；(2)在DE上画出点P，使PB1+PC最小；(3)在DE上画出点Q，使QA+QC最小．26.已知，如图四边形ABCD是平行四边形．(1)作∠ABC的平分线BE交AD于E点(用尺规作图，不要写作法，保留作图痕迹)(2)求证：AE=CD．27.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．(1)求证：OP=OQ；
(2)若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒，求t为何值时，四边形PBQD是菱形．并求此时菱形PBQD的面积．28.为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？29.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点．(1)如图1，E，F分别是AC，BC上的点，且AE=CF，请判断△DEF的形状，请写出证明过程．(2)如图2，若E，F分别分别在CA，BC的延长线上，AB=CF，(1)中的结论是否仍然成立，若成立，写出完整的证明过程；若不成立，请说出理由．
参考答案及解析1.答案：A解析：解：由题意得：x+3≠0，且x+2≥0，解得：x≥-2，故选：A．根据分式有意义可得x+3≠0，根据二次根式有意义的条件可得x+2≥0，再解即可．此题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．2.答案：D解析：解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式=4a6，不符合题意；C、原式=a2+a-2a-2=a2-a-2，不符合题意；D、原式=b2-a2，符合题意，故选：D．各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．3.答案：C解析：解：∵点M(-3,a)与点N(b,4)关于y轴对称，∴a=4，b=3，∴ab的值为64．故选：C．关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；求得a，b的值，再代入求值即可．本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4.答案：C解析：解：∵(x+2)2=x2+4x+4，∴k=4，
故选：C．根据完全平方公式即可求出答案．本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．5.答案：B解析：解：x2+x=x(x+1)．故选：B．找出多项式有公因式的即可．此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．6.答案：C解析：解：A、对顶角相等，是真命题；B、同角的余角相等，是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题；故选：C．对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题．此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．7.答案：C解析：解：设四边形3个内角∠A：∠B：∠C的度数分别是x，2x，5x，则5x=150°，解得x=30°．所以∠A=30°，∠B=60°，∴∠D=360°-30°-150°-60°=120°．故选：C．设四边形3个内角的度数分别是x，2x，5x，根据四边形的内角和定理列方程求解．本题考查了四边形的内角和定理：四边形的内角和是360°．8.答案：D解析：本题按照全等三角形的判定定理进行判断.三角形判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS、HL，其中至少有一个条件是边相等．
解：A.只有角相等，无法判定三角形全等，所以此选项错误；B.只有两边相等，无法判定三角形全等，所以此选项错误；C.没有相等的边和角，无法判定三角形全等，所以此选项错误；D.符合AAS，能判定三角形全等，所以此选项正确．故选D．9.答案：A解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE=4，∴∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=12AE=12×4=2．故答案为：2．根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=12AE．本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．10.答案：B解析：解：设慢车的速度为x km/h，则快车的速度为1.2x km/h，根据题意可得：4501.2x=450x-14．故选：B．设慢车的速度为x km/h，则快车的速度为1.2xkm/h，根据“快车比慢车先到14h”列方程即可得到答案．本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
11.答案：9999解析：解：101×99=(100+1)×(100-1)=1002-12=10000-1=9999，故答案为：9999．转化成(100+1)×(100-1)，根据平方差公式展开，即可求出答案．本题考查了平方差公式的应用，关键是把原式转化成1002-1．12.答案：2解析：解：x2-4=0x+2≠0，解得：x=2，故答案为：2根据分式的值为零的条件即可求出答案．本题考查分式的值为零，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型．13.答案：4(答案不唯一)解析：解：根据三角形的三边关系定理得：6-3<BC<6+3，3<BC<9，∵边BC的长为正整数，∴边BC的长可以是4或5或6或7或8，故答案为：4．先根据三角形的三边关系定理得出6-3<BC<6+3，再求出即可．本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键，答案不唯一．14.答案：1x-2解析：解：原式=x-2x⋅x(x-2)2=1x-2，故答案为：1x-2．
根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．15.答案：75°或15°解析：解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵BP=AB，∴∠APB=180°-30°2=75°；如图2，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=30°，∵BP=AB，∴∠APB=12∠ABC=15°．综上所述：∠APB的度数为75°或15°．故答案为：75°或15°．首先根据题意画出图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可求得答案，注意分为点P在边BC上或在CB的延长线上．此题考查了等腰三角形的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．16.答案：34解析：解：根据题意得：xx2-1=3xx+1-3，去分母得：x=3x(x-1)-3(x2-1)，去括号得：x=3x2-3x-3x2+3，解得：x=34，经检验x=34是分式方程的解．故答案为：34．根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.答案：60
解析：解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△ACD的周长为60，∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=60，故答案为60．由垂直平分线的性质可求得AD=BD，则△ACD的周长可化为AC+CD+BD，即AC+BC，可求得答案．本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．18.答案：这个角的平分线上所在的直线．解析：解：根据定义可知：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．故答案为：这个角的平分线上所在的直线．熟记角平分线的性质定理，容易填出：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上此题主要考查学生对角平分线的性质定理识记情况，应熟记且能灵活应用这些性质是正确解答本题的关键．19.答案：-43 P(65,125)或P(125,45)解析：解：(1)把(3,0)横纵坐标代入y=kx+4，得k=-43，y=-43x+4，故答案为：-43；(2)①过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，如图①，∴∠PMO=∠OQP=90°，令x=0，y=4，y=0，x=3，∴OA=3，OB=4，∴AB=AO2+BO2=5，∵12×AB⋅OQ=12×OA⋅OB，
∴OQ=125，∴OQ=OM，在Rt△OPM和Rt△OPQ中，OP=OPOM=OQ，∴△OPM≌△OPQ(HL)，∴P点纵坐标是125，∵点P在y=-43x+4，∴x=65，∴P(65,125)，②当OB=BP，OM=PQ，如图②，过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，∵OB=BP，在△OPB和△OPQ中，OB=BP∠BOP=∠BPOOM=PQ，∴△OPB≌△OPQ(SAS)，∴S△OPB=S△OPQ，∵OM=PQ．∴PF=OE=125，∵点P在y=-43x+4，∴把x=125代入y=-43x+4，解得y=45，∴P(125,45)，综上所述：P(65,125)或P(125,45).故答案为：P(65,125)或P(125,45).
(1)根据点的坐标求出k；(2)分两种情况分别讨论，①过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，用面积法求出OQ，证明△OPM≌△OPQ，从而得P点纵坐标，代入一次函数解析式求出横坐标；当OB=BP，OM=PQ，如图②，过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，证明△OPB≌△OPQ推这两个三角形面积相等，推出PF=OE=125，从而得P点横坐标，代入一次函数解析式求出纵坐标．本题考查了过定点的直线、一次函数的性质、全等三角形判定，掌握一次函数图象上点的坐标特点，性质、判定的熟练应用，分情况讨论和辅助线的做法是解题关键．20.答案：1+2解析：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到正方形的性质，待定系数法求二次函数、一元二次方程的求根公式．正确求出抛物线的解析式是解题的关键．由正方形ABCD的边长为m，坐标原点O为AD的中点，得出C(m,12m).将C点坐标代入y=ax2，求出a=12m，则抛物线解析式为y=12mx2，再将F(-n,n+12m)代入y=12mx2，整理得出方程n2-2mn-m2=0，把m看作常数，利用求根公式得出n=(1±2)m(负值舍去)，那么nm=1+2．解：∵正方形ABCD的边长为m，坐标原点O为AD的中点，∴C(m,12m)．∵抛物线y=ax2过C点，∴12m=am2，解得a=12m，∴抛物线解析式为y=12mx2，将F(-n,12m+n)代入y=12mx2，得12m+n=12m×(-n)2，
整理得n2-2mn-m2=0，解得n=(1±2)m(负值舍去)，∴nm=1+2，故答案为1+2． 21.答案：解：原式=9[(a-b)2-4b(a-b)+4b2]=9(a-b-2b)2=9(a-3b)2．解析：原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．22.答案：1n-1n+1 20062007 nn+1解析：解：(1)猜想得：1n(n+1)=1n-1n+1；(2)①原式=1-12+12-13+…+12016-12017=1-12017=20162017；②原式=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1；(3)根据题意得：11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)=1735，整理得：12(1-13+13-15+15-17+…+12n-1-12n+1)=1735，即1-12n+1=3435，移项合并得：12n+1=135，即2n+1=35，解得：n=17，经检验n=17是分式方程的解，则n的值为17．(1)根据已知等式猜想得到所求即可；
(2)各式利用拆项法变形，计算即可求出值；(3)根据题意列出方程，利用拆项法变形，计算即可求出n的值．此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，以及规律型：数字的变化类，弄清拆项的方法是解本题的关键．23.答案：解：原式=2a2-[12ab-2a2-7ab]-12ab=4a2+6ab，当a=-12，b=3时，原式=4×14+6×(-12)×3=-8．解析：根据去括号与合并同类项的法则将代数式化简，然后把给定的值代入求值．本题考查的是整式的混合运算，主要考查了单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．关键是去括号，去括号要特别注意符号的处理．24.答案：证明：连接BD．∵点D是AC边上的中点，AB=BC，∴BD平分∠ABC，∵DE，DF分别垂直AB，BC于点E和F，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED=∠BFD=90°，在Rt△BED和Rt△BFD中，BD=BDDE=DF，∴Rt△BED≌Rt△BFD(HL)，∴BE=BF．解析：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，得出DE=DF是解题关键．D是AC的中点，那么BD就是等腰三角形ABC
底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道BD也是∠ABC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF，再利用HL定理得出Rt△BED≌Rt△BFD即可得出答案．25.答案：解：(1)如图所示，△A1B1C1就是△ABC关于直线DE对称的三角形；(2)如图所示，点P就是所求作的点；(3)如图所示，点Q就是所求作的点．解析：(1)根据轴对称的性质画出△A1B1C1即可；(2)连接B1C与DE交于点P，则点P即为所求点；(3)连接A1C与DE交于点Q，则点Q即为所求点．本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知轴对称图形的作法是解答此题的关键．26.答案：(1)解：如图所示：(2)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AE=CD．解析：(1)以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AB，BC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在△ABC内交于一点O，作射线BO，交AD于点E即可；(2)利用角平分线的性质以及平行线的性质求出∠ABE=∠AEB即可得出答案．本题考查了三角形的角平分线的画法以及角平分线的性质以及平行线的性质等知识，利用角平分线的性质得出解题关键．27.答案：解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD//BC，∴∠PDO=∠QBO，
又∵O为BD的中点，∴OB=OD，在△POD与△QOB中，∠PDO=∠QBOOB=OD∠POD=∠QOB∴△POD≌△QOB(ASA)，∴OP=OQ；(2)解：依题意得PD=8-t，∵OB=OD，OP=OQ∴四边形PBQD是平行四边形∴PD=BP=8-t时，四边形PBQD是菱形，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，即62+t2=(8-t)2，解得：t=74，即运动时间为74秒时，四边形PBQD是菱形．此时PD=254，S菱形BEDF=PD⋅AB=254×6=752．解析：(1)本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD//BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证出OP=OQ．(2)本题需先根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形，进一步求得此时的面积．本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键．28.答案：解：设每个足球的进价是x元，则每个篮球的进价是(x+25)元，依题意得：2000x+25=2×750x，解得：x=75，经检验，x=75是原方程的解，且符合题意，∴x+25=75+25=100．答：每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元．
解析：设每个足球的进价是x元，则每个篮球的进价是(x+25)元，利用数量=总价÷单价，结合用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出足球的单价，再将其代入(x+25)中即可求出篮球的单价．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．29.答案：解：(1)△DEF是等腰直角三角形，如图，连接CD，∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠FCD=∠ACD=45°，∴∠A=∠ACD=∠FCD，∴AD=CD，∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDF+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；(2)(1)中的结论仍然成立．理由如下：如图，连接CD，
∵∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，∴∠CAD=∠B=45°，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠DAE=180°-∠CAD=135°，∠DCF=90°+∠ACD=135°，∴∠DAE=∠DCF，∵∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，又∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，∵∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．解析：(1)由直角三角形的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD=45°，证明△ADE≌△CDF(SAS)，由全等三角形的性质得出DE=DF，∠ADE=∠CDF，则可得出结论；(2)证明△ADE≌△CDF(SAS)，由全等三角形的性质得出DE=DF，∠ADE=∠CDF，则可得出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，证明△ADE≌△CDF是解题的关键．
