2020-2021学年上海市长宁区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列一元二次方程没有实数根的是( )A.x2+2x+1=0B.x2-2x-l=0C.x2-1=0D.x2+x+2=02.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A.23B.12C.3D.163.已知△ABC，求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且PA=PB，下列确定点P的方法正确的是( )A.P为∠A、∠B的角平分线的交点B.P为∠A的平分线与AB边的垂直平分线的交点C.P为AC，AB边上的高的交点D.P为AC，AB边上的垂直平分线的交点4.如图，已知AB//CD，O是∠ACD和∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC，垂足为E，且OE=3cm，则AB与CD之间的距离是A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm二、填空题（本大题共14小题，共42.0分）5..若x，y为实数，且y=1-4x+4x-1+12.则x+y= ．6.计算：(3)2=______，(-2)2=______，43=______．7.若反比例函数的图象位于一、三象限内，正比例函数过二、四象限，则k的整数值是________．8.已知：是反比例函数，在每一象限内，随的增大而
9.对于实数a、b、c、d，我们定义运算abcd=ad-bc，例如：2135=2×5-1×3=7，上述记号就叫做二阶行列式.若xx-26x=4，则x=______．10.若一个一元二次方程的有一个根为-3，请写出一个符合题意的关于x的一元二次方程______．11.8与最简二次根式m+1是同类二次根式，则m=______．12.已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b//a，c//a，那么b//c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．其中正确的是______.(填写序号)13.等腰△ABC纸片(AB=AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B= °14.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB=2，P为AB上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为______．15.已知一个长方体的长、宽、高分别是18，8，23，则与长方体等体积的立方体的棱长是______．16.如图，在△ABC中，D、E分别在AB、BC边上，连接AE、CD交于F，∠AFC=90°，AE=CD=AC，CE=6，DE=10，线段AE的长度为______．17.代数式3-4-x2的最大值为______，此时x=______．
18.如图，正方形ABCD的边长为5，E在正方形外，DE=DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是______①∠DAE=∠DEA；②∠DMC=45°；③AM+CMMD=2；④若MH=2，则S△CMD=12S△CED．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）19.解方程：(1)3x2-5x-2=0(2)xx-3-12x=1四、解答题（本大题共6小题，共42.0分）20.计算：24÷3-6×23+(2-1)221.关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0．(1)试判断上述方程根的情况；(2)若以上述方程的两个根分别为横坐标、纵坐标的点，恰在反比例函数y=6x的图象上，求满足条件的k值．22.在△ABC中，a、b和c分别为∠A、∠B和∠C的对边．且已知：∠A：∠B：∠C=1：2：3，求a：b：c的值．23.某电脑销售商试销某一品牌电脑1月份的月销售额为400000，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元.求1月份到3月份销售额的月平均增长率．24.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，
(1)求证：三角形ADC为等腰三角形；(2)求AC的长．25.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B，C两点的坐标分别为B(4,0)，C(4,4)，CD⊥y轴于点D，直线l经过点D．(1)直接写出点D的坐标；(2)作CE⊥直线l于点E，将直线CE绕点C逆时针旋转45°，交直线l于点F，连接BF．①依题意补全图形；②通过观察、测量，同学们得到了关于直线BF与直线l的位置关系的猜想，请写出你的猜想；③通过思考、讨论，同学们形成了证明该猜想的几种思路：思路1：作CM⊥CF，交直线l于点M，可证△CBF≌△CDM，进而可以得出∠CFB=45∘，从而证明结论．思路2：作BN⊥CE，交直线CE于点N，可证△BCN≌△CDE，进而证明四边形BFEN为矩形，从而证明结论．……
请你参考上面的思路完成证明过程.(一种方法即可)
参考答案及解析1.答案：D解析：解：选项A：△=4-1>0，故A有两个不相等的实数根，A不符合题意；选项B：△=(-2)2-4×1×(-1)=4+4=8>0，故B有两个不相等的实数根，B不符合题意；选项C：很明显，方程有实数根为±1，故C不符合题意；选项D：△=1-4×2=-7<0，故D没有实数根．故选：D．一元二次方程实数根的情况是：判别式△≥时，方程有两个实数根，判别式△<0时，方程没有实数根，据此可解．本题考查了一元二次方程的实数根的情况，明确一元二次方程实数根的情况与判别式△的关系，是解题的关键．2.答案：C解析：解：A、23=63，所以23不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、12=22不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、3是最简二次根式，故本选项符合题意；D、16=4，所以16不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．3.答案：B解析：解：由题意可知点P在∠A的平分线上，同时又在线段AB的垂直平分线上，故选：B．根据角平分线的性质定理、线段的垂直平分线的性质即可判断．本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4.答案：D
解析：解：如图，过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O是∠ACD与∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=3cm，∵AB//CD，∴AB与CD间的距离=OF+OG=3+3=6cm故答案为D．5.答案：34解析：试题分析：根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．根据题意得，1-4x≥0且4x-1≥0，解得x≤14且x≥14，所以，x=14，此时，y=12，所以，x+y=14+12=34．故答案为：34．6.答案：3 2 233解析：解：(3)2=3，(-2)2=4=2，43=4×33×3=123=233，
故答案为：3、2、233．根据二次根式的性质化简即可得．本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．7.答案：4解析：本题考查了反比例函数的性质和正比例函数的性质．根据反比例函数的性质和正比例函数的性质列出方程组求解即可．解：根据题意，得 ，又因为k是整数，所以k=4。8.答案：减小解析：本题考查反比例函数的性质和解一元二次方程，解方程得到x的两个值，再根据系数舍去一个即可．解：因为 是反比例函数所以解得：因为反比例函数的系数为，所以所以m=3因为m-1=2>0所以在每一象限内， 随 的增大而减小．9.答案：2或4解析：解：根据题中的新定义得：xx-26x=x2-6(x-2)=4，即x2-6x+8=0，分解因式得：(x-4)(x-2)=0，解得：x=4或2．故答案为：2或4．
根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出x的值．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．10.答案：x2+x-6=0解析：解：∵方程的另一个根为-3，可设另一根为2，∴该方程可以为(x+3)(x-2)=x2+x-6=0．故答案为：x2+x-6=0．令方程的另一根为2，由此即可得出该一元二次方程可以为(x+3)(x-2)=x2+x-6=0，此题得解．本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解找出方程是解题的关键．11.答案：1解析：解：∵8=22，∴m+1=2，∴m=1，故答案为1．本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．先把8化为最简二次根式22，再根据同类二次根式得到m+1=2，然后解方程即可． 12.答案：①②④解析：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解：①在同一个平面内如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；真命题；②如果b//a，c//a，那么b//c；真命题；③如果b⊥a，c⊥a，那么b//c；则③不正确；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c；真命题；故答案为①②④． 13.答案：72°
解析：解：如图：由题意知：AD=BD=BC，∠A=∠ABD，∠BCD=∠BDC，∵∠C=∠BDC=2∠A，∠A+2∠C=180°，∴5∠A=180°，即∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°．故填：72°．点评：把图展开后，可知AD=BD=BC，∠A=∠ABD，∠BCD=∠BDC，可由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得∠B的度数． 14.答案：22π解析：解：如图，以OB为斜边在OB的右边作等腰Rt△POB，以P为圆心PB为半径作⊙P，在优弧OB上取一点H，连接HB，HO，BM，MP．∵PE⊥OB，∴∠PEO=90°，∵点M是内心，∴∠OMP=135°，∵OB=OP，∠MOB=∠MOP，OM=OM，∴△OMB≌△OMP(SAS)，∴∠OMB=∠OMP=135°，∵∠H=12∠BPO=45°，∴∠H+∠OMB=180°，∴O，M，B，H四点共圆，∴点M的运动轨迹是OB，∴内心M所经过的路径长=90π⋅2180=22π，
故答案为22π.如图，以OB为斜边在OB的右边作等腰Rt△POB，以P为圆心PB为半径作⊙P，在优弧OB上取一点H，连接HB，HO，BM，MP.首先证明点M的运动轨迹是OB，利用弧长公式计算即可．本题属于轨迹，圆周角定理，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．15.答案：2解析：解：根据题意得：318×8×23=312×23=38=2．故答案为：2．长方体体积等于长、宽、高乘积，再利用正方体体积公式及立方根定义求出棱长即可．此题考查了二次根式的应用，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．16.答案：58解析：解：作AN⊥BC于点N，作DM⊥BC于点M，∵AC=AE，CE=6，∴CN=EN=3，∵AN⊥EC，∠AFC=90°，∴∠ANE=∠CFE=90°，∴∠AEN+∠EAN=90°，∠AEN+∠DCM=90°，∴∠EAN=∠DCM，∵DM⊥BC，AN⊥BC，∴∠DMC=∠EAN=90°，在△DMC和△ENA中∠DCM=∠EAN∠DMC=∠ENADC=EA∴△DMC≌△ENA(AAS)∴DM=EN，∵EN=3，∴DM=3，∵DE=10，∠DME=90°，∴ME=1，
∵EC=6，∴MC=ME+EC=7，∵DM=3，∠DMC=90°，MC=7，∴DC=DM2+MC2=32+72=58，故答案为：58，作AN⊥BC于点N，作DM⊥BC于点M，然后根据题意和图形可以证明△DMC≌△ENA，再根据勾股定理，即可求得DC的长，本题得以解决．本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17.答案：3，±2解析：本题考查了二次根式性质，理解a≥0是关键．根据算术平方根的性质可以得到4-x2≥0，即最小值是0，据此即可确定原式的最大值．解：∵4-x2≥0，∴当x=±2时，有最小值0，则当x=±2，3-4-x2有最大值是3．故答案是：3，±2． 18.答案：①②③解析：解：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠ADC=90°，∵DC=DE，∴DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，故①正确，∵DA=DC=DE，∴点A，点C，点E在以点D为半径，DA为半径的圆上，∴∠AEC=12∠ADC=45°(圆周角定理)，∵DM⊥AE，∴∠EHM=90°，∴∠DMC=45°，故②正确，
如图，作DF⊥DM交PM于F，∵∠ADC=∠MDF=90°，∴∠ADM=∠CDF，∵∠DMF=45°，∴∠DMF=∠DFM=45°，∴DM=DF，又∵DA=DC，∴△ADM≌△CDF(SAS)，∴AM=CF，∴AM+CM=CF+CM=MF=2DM，∴AM+CMMD=2，故③正确，若MH=2，∵DA=DE，DM⊥AE，∴AH=HE，∴AM=ME，∴∠AEM=∠MAE=45°，∴∠AME=90°，又∵AM=ME，AH=HE，∴AH=MH=HE=2，AM=EM=22，在Rt△ADH中，DH=AD2-AH2=5-4=1，∴DM=3，AM+CM=32，∴CM=CE=2，∴S△DCM=S△DCE，故④错误，故答案为：①②③．
①利用等腰三角形的性质即可证明．②根据DA=DC=DE，利用圆周角定理可知∠AEC=12∠ADC=45°，即可解决问题．③如图，作DF⊥DM交PM于F，证明△ADM≌△CDF(SAS)即可解决问题．④解直角三角形求出CE=EF=2可得结论．本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．19.答案：解：(1)(3x+1)(x-2)=0，3x+1=0或x-2=0，所以x1=-13，x2=2；(2)去分母得2x2-(x-3)=2x(x-3)，去括号得，2x2-x+3=2x2-6x，移项、合并同类项得，5x=-3，系数化为1得，x=-35，经检验，原方程的解为x=-35．解析：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了解分式方程．(1)利用因式分解法解方程；(2)把分式方程化为整式方程得到2x2-(x-3)=2x(x-3)，然后解整式方程后进行检验得到原方程的解．20.答案：解：原式=8-62+2-22+1=-62+3．解析：直接利用二次根式的性质化简进而结合乘法公式计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．21.答案：解：(1)∵△=b2-4ac=(2k+3)2-4×(k2+3k+2)=1>0，∴方程有两个相等实数根；(2)设方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个根为x1，x2，根据题意得6=x1x2，又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=k2+3k+2，
∴6=k2+3k+2，解得：k1=-4，x2=1，∴满足条件的k值为-4或1．解析：(1)表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；(2)设方程的两根为x1，x2，根据题意得6=x1x2，再利用根与系数关系表示出x1x2，列出k关于k的一元二次方程，解方程即可．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．22.答案：解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴c=2a，b=c2-a2=3a，∴a：b：c=a：3a：2a=1：3：2．解析：先由∠A：∠B：∠C=1：2：3及三角形内角和定理求出∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出c=2a，然后根据勾股定理求出b=3a，进而得到a：b：c的值．本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了三角形内角和定理及勾股定理．23.答案：解：设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，根据题意得：400000(1+x)2=576000，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(舍去)．答：1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%．解析：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，根据该品牌电脑1月份及3月份的月销售额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．24.答案：(1)证明：∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCA，又∵∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，即△ADC是等腰三角形；
(2)解：过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=12AC，∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，∴△ABC∽△EDC，∴CDBC=CEAC，即6BC=12，∴BC=12，在直角△ABC中，AC=BC2-AB2=122-42=82．解析：((1)根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明∠DAC=∠DCA，再根据等角对等边可得证得；(2)过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=12AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理列式计算即可得解．本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，作辅助线构造出相似三角形并求出BC的长度是解题的关键．25.答案：(1)(0,4). (2)①补全图形见图7．②BF⊥直线l. ③法1：证明：如图8，作CM⊥CF，交直线l于点M. ∵ B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)，
∴ OB=BC=DC=OD=4，∠BCD=90∘．∵ CE⊥直线l，CM⊥CF，∠ECF=45∘，可得△CEF，△CEM为等腰直角三角形，∠CMD=∠CFE=45∘， CF=CM. ①∵ ∠BCF=90∘-∠DCF，∠DCM=90∘-∠DCF，∴ _∠BCF=∠DCM． ②又∵ CB=CD， ③∴ △CBF≌△CDM．∴ ∠CFB=∠CMD=45∘．∴ ∠BFE=∠CFB+∠CFE=90∘．∴ BF⊥直线l．法2： 证明：如图9，作BN⊥CE，交直线CE于点N．∵ B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)，∴ OB=BC=CD=OD=4，∠BCD=90∘．∵ CE⊥直线l，BN⊥CE，∴ ∠BNC=∠CED=90°
①∴ ∠1+∠3=90∘，∠2+∠3=90∘．∴ ∠1=∠2 ②又∵ CB=DC， ③∴ △BCN≌△CDE．∴ BN= CE．又∵ ∠ECF=45∘，可得△CEF为等腰直角三角形，EF = CE．∴ BN= EF．又∵ ∠BNE+∠NED=180∘，∴ BN//FE.∴四边形BFEN为平行四边形．又∵ ∠CEF=90∘，∴平行四边形BFEN为矩形．∴ ∠BFE=90∘．∴ BF⊥直线l．解析：本题考查的是矩形的判定、三角形全等的判定及性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、(1)由C(4,4)，CD⊥y轴于D，即可推出D(0,4)；(2)①画出图形即可．②结论：BF⊥直线l.③证法一：如图2中，作CM⊥CF交直线l于M.想办法证明△CBF≌△CDM即可解决问题；证法二：如图3中，作BN⊥CE于N.只要证明四边形EFBN是矩形即可．解：(1)∵C(4,4)，CD⊥y轴于D
∴D(0,4)故答案为(0,4)；(2)见答案．
