2020-2021学年上海市部分学校八年级上学期期末数学试卷(含答案解析).docx

2020-2021学年上海市部分学校八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.下列式子中，是最简二次根式的是(    )A.14B.30C.x3D.27a2.如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12-2x1=1，x22-2x2=1，那么x1+x2等于(    )A.2B.-2C.1D.-13.如图，等腰直角△ABC的顶点A、B分别在坐标轴上，顶点C在反比例函数y=kx的图象上，若点A、B的坐标分别是(0,-1)，(4,0)，则k的值是(    )A.2B.94C.32D.34.下列命题：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②全等的两个三角形一定关于某直线对称；③等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合；④圆是轴对称图形，有无数条对称轴，直径就是它的对称轴.其中正确的有(    )A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D，CE⊥AD，DF⊥AB，垂足分别为E，F，则下列结论中：①∠DCE=∠B；②∠ACE=60°；③BC-AD=DF；④直线DF垂直平分线段AB，正确的有(    ),A.1个B.2个C.3个D.4个6.用长分别为3cm，4cm，5cm的三条线段可以围成直角三角形的事件是(    )A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上都不是二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.计算：232+224=______．8.在函数y=11-x中，自变量x的取值范围是           ．9.在课本的阅读与思考中，科学家利用放射性物质的半衰期这个函数模型来测算岩石的年，生活中也有很多类似这样半衰的现象．请思考下面的问题：一个皮球从16m高处下落，第一次落地后反弹起8m，第二次落地后反弹起4m，以后每次落地后的反弹高度都减半．试写出表示反弹高度h(单位：m)与落地次数n的对应关系的函数解析式______.皮球第______次落地后的反弹高度是18m？10.在实数范围内分解因式：2x-6=______．11.如图，从点A(0,2)发出一束光，经x轴反射，过点B(3,4)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为______．12.把下=下列命题改写为“如果…，那么…”的形式，并判断真假性．两个锐角的和是直角，如果______，那么______，是______命题．13.关于x的方程kx2+4x+1=0有实数根，则k的范围为______．14.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别是点A'、B'，若点B'恰好在线段AA'的延长线上，则AA'的长等于______．15.正方形ABCD内一点P与点A、B组成等边三角形，则三角形PCD三个内角的度数分别为______．,16.某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元(储藏时间不超过10天).若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏______天．17.等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB+AD=8cm，则底边BC上的高为______cm．18.如图，在△ABD中，C为AD上一点，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，则AC=______．三、解答题（本大题共8小题，共52.0分）19.计算：(7+43)(2-3)2+123÷56．20.解方程(1)3x(x-2)=2(2-x)(2)x2-2x-1=0(3)1-x22+2-x3=13．21.如图，双曲线y=kx(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB//x轴，点A的坐标为(4,6)，(1)确定k的值；(2)若点D(6,m)在双曲线上，求直线AD的解析式；(3)计算△OAB的面积．,22.如图，AC是四边形ABCD的对角线，AB=AD，CB=CD．(1)用直尺和圆规作AC的垂直平分线，垂足为E，交AB于点M，交AD于点N(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，求证：AM=AN．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE到点F，使得EF=DE，连接AF，CF．(1)根据题意，补全图形；(2)求证：四边形ADCF是菱形；(3)若AB=8，∠BAC=30°，求菱形ADCF的面积．24.如图，四边形为菱形，已知，，，．(1)求点的坐标；(2)求经过点的反比例函数解析式．25.如图，菱形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A(-3,0)，B(2,0)，点D在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点C．(1)求反比例函数的表达式．(2)将菱形ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A'，B'，C'，D'，且C'D'与双曲线交于点E，求点E的坐标．,26.如图①，点O是边长为2的正方形ABCD的对角线交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，以OG、OE为边作正方形OEFG，连接AG、DE．(1)求证：AG=DE；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<180°)得到正方形OE'F'G'，如图②．①在旋转过程中，这两个正方形重合部分的面积会发生变化吗？证明你的结论；②在旋转过程中，当AG'=3时，求α的度数．,参考答案及解析1.答案：B解析：解：A、14=12，故不是最简二次根式，故A选项错误；B、30是最简二次根式，故B选项正确；C、x3=xx，故不是最简二次根式，故本选项错误；D、27a=33a，故不是最简二次根式，故D选项错误；故选：B．先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．2.答案：A解析：略3.答案：B解析：解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，∴∠ECD=∠ACE+∠ACD=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠BCD，∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE≌△BCD (AAS)，∴CE=CD，AE=BD，设点C(a,a)，∴CE=CD=a，∵点A、B的坐标分别是(0,-1)，(4,0)，∴a+1=4-a，解得a=32，∴C(32,32)，∵顶点C在反比例函数y=kx的图象上，,∴k=32×32=94，故选：B．过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，根据等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠ACB=90°，进一步证得△ACE≌△BCD，得到CE=CD，AE=BD，设点C(a,a)，则CE=CD=a，即可得到a+1=4-a，求得C的坐标，代入y=kx从而求得k的值．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等判断和性质，求得点C的坐标是解决问题的关键．4.答案：A解析：解：①如果一个三角形有一个外角是120°，那么这个外角的内角为60°，所以这个三角形是等边三角形，所以有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，说法正确；②全等的两个三角形不一定关于某直线对称，本小题说法错误；③等腰三角形的底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本小题说法错误；④圆是轴对称图形，有无数条对称轴，直径所在的直线是它的对称轴，故本小题说法错误；故选：A．根据等边三角形的判定定理、等腰三角形的三线合一、对称轴的概念判断即可．本题考查的是命题的真假判断，掌握等边三角形的判定定理、等腰三角形的三线合一、对称轴的概念是解题的关键．5.答案：D解析：解：∵∠ACB=90°，∠BAC=2∠B，∴∠B=30°，∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=30°，∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°-∠CAD=60°，故②正确；∵∠ACB=90°，∴∠DCE=30°=∠B，故①正确；∵∠DAB=∠B=30°，,∴AD=BD，∵DF⊥AB，∴CD=DF，∴BC-AD=DF，故③正确；∵AD=BD，DF⊥AB，∴AF=BF，∴直线DF垂直平分线段AB，故④正确．故选：D．易求∠B=30°，∠BAC=60°，根据角平分线的定义结合直角三角形的性质可判断①②，再利用等腰三角形的性质与判定可判断③，再根据线段垂直平分线的定义可判断④．本题主要考查等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用角平分线的定义与性质是解题的关键．6.答案：A解析：解：由勾股定理的逆定理，得32+42=52，∴长分别为3cm，4cm，5cm的三条线段可以围成直角三角形，故选：A．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7.答案：56解析：解：232+224=2×62+2×26=56．故答案为：56．首先化简二次根式，进而合并同类二次根式即可．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．8.答案：x<1,解析：试题分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．根据题意得，1-x>0，解得x<1．故答案为：x<1．9.答案：h=162n(n为正整数) 7解析：解：表示反弹高度h(单位：m)与落地次数n的对应关系的函数解析式h=162n(n为正整数)．18=162n，2n=16×8=27，n=7．故皮球第7次落地后的反弹高度是18m.故答案为：h=162n(n为正整数)，7．由题意可知，每次落地后的反弹高度都减半，依此可得表示反弹高度h(单位：m)与落地次数n的对应关系的函数解析式；把h=18m代入函数关系式可求皮球落地的次数．本题主要考查了函数关系式，解题的关键是仔细观察得出数据间的关系．10.答案：2(x-3)解析：解：2x-6=2(x-3)．故答案为：2(x-3)．利用提取公因式法，提取公因式2即可．本题主要考查了在实数范围内因式分解，应用提取公因式法是解题的关键．11.答案：35解析：解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，∵A(0,2)，B(3,4)，∴OA=2，BD=4，OD=3，根据题意得：∠ACO=∠BCD，∵∠AOC=∠BDC=90°，∴△AOC∽△BDC，∴OCDC=ACBC=OABD=24=12，∴OC=12DC=13OD=1，,∴CD=OD-OC=2，∴AC=OA2+OC2=22+12=5，BC=BD2+CD2=42+22=25，∴AC+BC=35，故答案为：35．过点B作BD⊥x轴于D，由题意得出OA=2，BD=4，OD=3，∠ACO=∠BCD，证明△AOC∽△BDC，得出OCDC=ACBC=OABD=12，求出OC=12DC=13OD=1，得出CD=OD-OC=2，由勾股定理得出AC=OA2+OC2=5，BC=BD2+CD2=25，即可得出答案．本题考查了轨迹、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．12.答案：两个角都是锐角 它们的和是直角 假解析：解：两个锐角的和是直角，可以写成：如果两个角都是锐角，那么它们的和是直角．故答案为两个角都是锐角，它们的和是直角，假根据命题可以分为题设和结论两部分组成即可解决问题．本题考查命题与定理、解题的关键是知道一个命题由题设和结论两部分组成．13.答案：k≤1且k≠0解析：解：根据题意得k≠0且Δ=42-4k≥0，解得k≤1且k≠0．故答案为k≤1且k≠0．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=42-4k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．14.答案：145解析：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是本题的关键．由旋转的性质可得AC=A'C=5，AB=A'B'=5，BC=B'C=8，由等腰三角形的性质可得AF=A'F，由勾股定理列出方程组，可求AF的长，即可求AA'的长．解：如图，过点C作CF⊥AA'于点F，,∵旋转，AB=AC=5，BC=8，∴AC=A'C=5，AB=A'B'=5，BC=B'C=8∵CF⊥AA'，∴AF=A'F，∴AA'=2AF，在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2，在Rt△CFB'中，B'C2=B'F2+CF2，∴B'C2-AC2=B'F2-AF2，∴64-25=(8+AF)2-AF2，∴AF=75∴AA'=145故答案为145．  15.答案：15°，15°，150°解析：解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，∵△PAB是等边三角形，∴∠ABP=∠BAP=60°，AB=PA=PB，∴∠PAD=90°-60°=30°，PA=AD，∴∠ADP=∠APD=(180°-30°)÷2=75°，∴∠PDC=90°-75°=15°，同理：∠PCD=15°，∴∠CPD=180°-2×15°=150°；故答案为：15°，15°，150°．由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由等边三角形的性质得出∠ABP=∠BAP=60°，AB=PA=PB，求出∠PAD=30°，PA=AD，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ADP=∠APD=75°，得出∠PDC=15°，同理：∠PCD=15°，再由三角形内角和定理求出∠CPD即可．本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解决问题的关键．16.答案：5解析：解：设需要将采摘的黄瓜储藏x天出售，(6+0.5x)(400-10x)-40x-1600=1175，解得，x1=5，x2=15(舍去)，即若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天．故答案是：5．根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意储藏时间不超过10天．17.答案：4解析：解：作DE⊥BC于E，因为BD平分∠ABC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，设AC=AB=x，则DE=AD=8-x，CD=x-(8-x)，在等腰直角三角形CDE中，根据勾股定理，2(8-x)2=[x-(8-x)]2,解得x=42，作BC边上的高AF，AF=ABsin45°=42×22=2×2=4，则底边BC上的高为4cm．故答案为4．利用等腰直角三角形两直角边相等，结合勾股定理解答．解答本题的关键是作出底边BC上的高ED，然后列方程解答．18.答案：32解析：解：分别过点A、C作AE⊥BD，CF⊥BD交BD于点，F两点，如图所示：设CF的长为x，AC的长为y，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，又∵∠ABE+∠ABC+∠CBD=180°，∠ABC=90°，∠CBD=30°，∴∠ABE=60°，又∵AB=1，∴AE=32，又∵CF⊥BD，∴∠CFB=∠CFD=90°，又∵∠CBD=30°，∴BC=2x，又∵∠ABC=90°，AB=1，∴y=AB2+BC2=1+4x2，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴CF//AE，,∴△DCF∽△DAE，∴CFAE=CDAD，即x32=11+y，变形得：y2-13=1(1+y)2，理理得：y4+2y3-2y-4=0，           (y+2)(y3-2)=0，解得：y=-2(舍去)，y=32，即AC的长为32，故答案为32．由平角的定义，直角三角的性质求得AE=32，勾股定理求得 y2=1+4x2，两直线平行证明△DCF∽△DAE，其性质得CFAE=CDAD，待定系数法，解方程求出符合题意的线段AC的长为32．本题综合考查了平角的定义，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，方程的解法，开立方运算等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是因式分解法降次解高次方程．19.答案：解：(7+43)(2-3)2+123÷56=(7+43)(7-43)+53×65=49-48+2=1+2．解析：根据平方差公式和二次根式的除法、加法可以解答本题．本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算顺序和运算方法，还要明确平方差公式的结构特点．20.答案：解：(1)3x(x-2)=2(2-x)(3x+2)(x-2)=0，3x+2=0或x-2=0，∴x1=-23，x2=2；(2)x2-2x-1=0，∵a=1，b=-2，c=-1，∴b2-4ac=6>0，,∴x=2±62×1∴x1=2+62，x2=2-62；(3)1-x22+2-x3=13，原方程化为：3x2+2x-5=0，(3x+5)(x-1)=0，3x+5=0或x-1=0，∴x1=-53，x2=1．解析：(1)把方程化成一元二次方程的一般形式，然后方程左边的多项式利用平方差公式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．(2)找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；(3)方程去分母化简以后，方程左边的多项式利用平方差公式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．此题考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．21.答案：解：(1)将点 A(4,6)代入解析式 y=kx，得：k=24；(2)将D(6,m)代入反比例解析式y=24x，得：m=246=4，∴点D坐标为(6,4)，设直线AD解析式为y=kx+b，将A(4,6)与D(6,4)代入得：4k+b=66k+b=4，解得：k=-1b=10，则直线AD解析式为y=-x+10；(3)过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，,∵AB//x轴，∴BM⊥y轴，∴MB//CN，∴△OCN∽△OBM，∵C为OB的中点，即OCOB=12，∴S△OCNS△OBM=(12)2，∵A，C都在双曲线y=24x上，∴S△OCN=S△AOM=12，由1212+S△AOB=14，得：S△AOB=36，则△AOB面积为36．解析：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．(1)将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；(2)将D坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出D坐标，设直线AD解析式为y=kx+b，将A与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AD解析式；(3)过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，得到CN与BM平行，进而确定出三角形OCN与三角形OBM相似，根据C为OB的中点，得到相似比为1：2，确定出三角形OCN与三角形OBM面积比为1：4，利用反比例函数k的意义确定出三角形OCN与三角形AOM面积，根据相似三角形面积之比为1：4，求出三角形AOB面积即可．22.答案：(1)解：如图，直线MN即为所求．,(2)证明：在△ACD和△ACB中，AD=ABAC=ACCD=CB，∴△ACD≌△ACB(SSS)，∴∠DAC=∠BAC，∵MN⊥AC，∴∠AEN=∠AEM=90°，∴∠AMN+∠BAC=90°，∠ANM+∠DAC=90°，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN．解析：(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线即可．(2)利用全等三角形的性质证明∠DAC=∠BAC，再证明∠AMN=∠ANM即可．本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23.答案：(1)解：补全图形如图所示．(2)证明：∵DE⊥AC，∴∠AED=∠ACB=90°，∴DE//BC，∵AD=DB，∴AE=EC，∵ED=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥DF，∴四边形ADCF是菱形．(3)解：在Rt△ACB中，∵AB=8，∠BAC=30°，∴BC=12AB=4，AC=3BC=43，,∵AE=EC，AD=DB，∴DE=12BC=2，∴DF=2DE=4，∴S菱形ADCF=12⋅AC⋅DF=12×43×4=83．解析：(1)根据题意画出图形即可；(2)首先证明AE=CE，DE=EF，推出四边形ADCF是平行四边形，再根据AC⊥DF，推出四边形ADCF是菱形；(3)求出菱形的对角线的长即可解决问题．本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、解直角三角形、平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.答案：解：(1)∵，  ，∴OA=3，OB=4，∴由勾股定理得AB=5．在菱形ABCD中，AD=BC=AB=5，∴OC=BC-OB=1，∴C(1,0)；(2)在菱形ABCD中，AD//BC，AD=5，∴D(5,3). 设经过点D的反比例函数解析式为  ．把D(5,3)代入  中，得  ， ∴反比例函数解析式为  ．,解析：(1)根据点A、B的坐标求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB=5，然后根据菱形的每一条边都相等可得AD=BC=AB=5，再求出OC，即可得解；(2)先求出点D的坐标，再设反比例函数解析式为      然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可．25.答案：解：(1)点A(-3,0)，B(2,0)，则AB=5=AD=CD=BC，在Rt△AOD中，OA=3，AD=5，则OD=4，故点C(5,4)，设反比例函数表达式为：y=mx，将点C的坐标代入上式并解得：m=20，故反比例函数表达式为：y=20x；(2)设菱形ABCD向上平移n个单位，则点B'、C'的坐标分别为(2,n)、(5,4+n)，将点B'的坐标代入y=20x得，2n=20，解得：n=10，故点B'、C'的坐标分别为(2,10)、(5,14)，则C'D'所在的直线为：y=14，当y=14时，y=20x=14，解得：x=107，故点E(107,14)．解析：(1)点A(-3,0)，B(2,0)，则AB=5=AD=CD=BC，进而求出点C(5,4)，即可求解；(2)设菱形ABCD向上平移n个单位，则点B'、C'的坐标分别为(2,n)、(5,4+n)，将点B'的坐标代入y=20x得n=10，故C'的坐标为(5,14)，即可求解．本题考查了反比例函数的图象的性质以及菱形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．26.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，∠OAD=∠ODA=∠OCD=45°，∴∠AOG=∠DOE=90°，∵OG=2OD，OE=2OC，∴OG=OE，,在△AOG和△DOE中，OA=OD ∠AOG=∠DOE OG=OE ，∴△AOG≌△DOE(SAS)，∴AG=DE；(2)解：①两个正方形重合部分的面积不变化；理由如下：如图1所示：∵∠AOD=∠G'OE'，∴∠DOM=∠CON，在△ODM和△OCN中，∠DOM=∠CON OD=OC ∠ODA=∠OCD ，∴△ODM≌△OCN(ASA)，∴△ODM的面积=△OCN的面积，∴四边形OMDN的面积=△OCD的面积=14正方形ABCD的面积，即两个正方形重合部分的面积不会发生变化；②当α为锐角时，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=2，∠ABC=90°，OA=OD=12AC，∴AC=2AB=2，∴OA=1，∴OG'=OG=2OD=2，∵OA2+AG'2=12+(3)2=4，OG'2=4，∴OA2+AG'2=OG'2，∴△AOG'是直角三角形，∠OAG'=90°，∵OA=12OG'，∴∠AG'O=30°，∴∠AOG'=60°，∴∠DOG'=90°-60°=30°，即α=30°；当旋转到如图2所示位置，当AG'=3时，α=180°-30°=150°；,综上所述：α的度数为30°或150°．解析：(1)由正方形的性质得出OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，∠OAD=∠ODA=∠OCD=45°，证出OG=OE，由SAS证明△AOG≌△DOE，得出对应边相等即可；(2)①证出∠DOM=∠CON，由ASA证明△ODM≌△OCN，得出△ODM的面积=△OCN的面积，因此四边形OMDN的面积=△OCD的面积=14正方形ABCD的面积，即可得出结果；②由正方形的性质和勾股定理得出AC=2AB=2，OA=1，由勾股定理的逆定理得出△AOG'是直角三角形，求出∠AG'O=30°，得出∠AOG'=60°，即可得出结果；当旋转到如图2所示位置，当AG'=3时，α=180°-30°=150°；即可得出结果．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、含30°角的直角三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．