2020-2021学年松原市乾安县八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.下列的式子，正确的是( )A.3a+5a=8a2B.5a2b-6ab2=-ab2C.6xy-6yx=0D.2x+2y=4xy2.在式子①(-2y-1)2②(-2y-1)(-2y+1)③(-2y+1)(2y+1)④(2y-1)2⑤(2y+1)2中相等的是( )A.①④B.②③C.①⑤D.②④3.如果b-a=4，ab=7，那么a2b-ab2的值是( )A.-28B.-11C.28D.114.如图，点C是以AB的中点，AD=BE，CD=CE，则图中全等三角形共有( )A.2对B.3对C.4对D.5对5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=2，则AB的长是( )A.23B.4C.43D.66.如图，直线AB，CD交于点O.射线OE平分∠BOC，若∠AOD=70°，则∠AOE等于( )A.35°B.110°C.135°D.145°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.一滴水的质量约为0.000052kg，0.000052用科学记数法表示为______．8.已知点M(a,3)，点N(2,b)关于y轴对称，则(a+b)2019的值是______．9.如果多项式4x2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，那么加上的这个单项式是______.(填一个即可)．10.计算：1xy÷(1y-1x)=______．11.若分式y2-25y2+4y-5的值是零，则y=______．12.如果一个多边形的内角和为540°，那么这个多边形是______．13.如图，AB=AE，AC=AD，要使△ABC≌△AED，应添加一个条件是______．14.△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大12°，那么∠B=______度．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）15.解下列分式方程：(1)100x=30x+7；(2)23x-1-1=36x-2．16.先化简分式50x2+5x÷(x-5-x2x+5)，再从-6<x<6的范围内选取一个合适的整数x代入求值．四、解答题（本大题共10小题，共74.0分）17.已知，y 2=4，且，求的值．18.(1)分解因式：x2y-2xy2+y3．(2)计算：(1a+b+1a-b)÷aa-b．(3)解分式方程：2-xx-3+13-x=1．
19.如图，△ABC在平面直角坐标系中，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．(1)画出将△ABC向下平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)画出将△A1B1C1绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3)在(2)的条件下，求线段A1C1旋转到A2C2扫过的面积.(结果保留π)20.如图：已知△ABC，按下列要求作图：(1)过点C作CD//AB.结论：______．(2)用尺规作AB的中垂线MN，分别交AB、CD于点M、N.结论：______．(3)根据所作图，平行直线AB与CD间的距离就是______的长度．21.计算：(1)(-12)-2-32×(-13)0(2)(x-3)(2x+5)22.(1)如图1，AB//CD，AB=CD，直线EF分别交AB、CD于B、C，且BF=EC.求证：∠A=∠D．(2)如图2，梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，BC=2，∠ABD=15°，∠C=60°.①求∠BDC的度数；②求AB的长．
23.如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．(1)如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE=CF；②求证：DP垂直平分EF；(2)当AE=1时，求PQ的长．24.在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2018年12月的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：5×11-4×12=7，22×28-21×29=7，不难发现，结果都是7．2018年12月
日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031图12019年×月日一二三四五六×××××××××××××××××××××××××××××××图2请你按照这个算法完成下列问题：(1)计算：24×30-23×31=______；(2)如图2是2019年某月的日历，在这个日历上，我们任意选择了其中所示的方框部分．①请用含字母n的整式表示：a=______；b=______；c=______；②这个日历，是否具有上面的规律？如果没有，请举反例说明；如果有，请选择图2中所选的方框部分，用含字母n的整式计算对以上规律加以证明．25.某工程指挥部街道甲、乙两个工程队关于完成某个工程的投标书，从投标书中得知：甲工程队单独完成这项工程所需天数是乙工程队单独完成这项所需天数的23；若先由甲工程队做15天，则剩下的工程再由甲、乙两个工程队合做15天可以完成．(1)求甲、乙两个工程队单独完成这项工程分别需要多少天？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为0.84万元，乙工程队每天的施工费用为0.56万元．工程预算的施工费用为33万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两个工程队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由．26.如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D在△ABC外，连BD、CD、AD，∠ADC=45°．(1)求证：BD⊥CD；(2)如图2，点P在AD上，连BP，BP平分∠CBD，求证：AP=AC；(3)如图3，在(2)的条件下，过C作AC的垂线交AD于T，点Q在AC上，∠BQA=∠PQC，TC=PQ=3，求AT的长．
参考答案及解析1.答案：C解析：解：A、3a+5a=8a，故本选项错误；B、5a2b-6ab2不是同类项不能相减，故本选项错误；C、6xy-6yx=0，故本选项正确；D、2x+2y不是同类项不能相加，故本选项错误。故选：C。利用合并同类项的法则求解即可。本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟记合并同类项的法则。2.答案：C解析：解：由题意，①(-2y-1)2=4y2+4y+1，②(-2y-1)(-2y+1)=-(2y+1)(1-2y)=4y2-1，③(-2y+1)(2y+1)=1-4y2，④(2y-1)2=4y2-4y+1，⑤(2y+1)2=4y2+4y+1，所以①⑤相等．故选C．根据完全平方式和平方差公式的展开式，将①②③④⑤分别展开，一一验证看有没有相同的．本题主要考查完全平方公式和平方差公式的展开式，熟记公式结构是解题的关键．3.答案：A解析：解：∵b-a=4，ab=7，∴a2b-ab2=ab(a-b)=7×(-4)=-28．故选：A．直接提取公因式ab，进而分解因式，再将已知代入求出答案．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4.答案：C解析：解：∵点C是以AB的中点，∴AC=BC，∵AD=BE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SSS)，∴∠D=∠E，∠A=∠B，∠ACD=∠BCE，∴∠ACG=∠BCH，∴△ACG≌△BCH(ASA)，∴CG=CH，∴EG=DH，△ECH≌△DCG(ASA)，∵∠EFG=∠DFH，∴△EFG≌△DFH(AAS)；∴图中全等三角形共有4对，故选：C．根据全等三角形的判定定理判断即可．本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．5.答案：D解析：解：∵DE垂直平分斜边A∴AD=CD，∵∠A=30°，∴∠BDC=2∠A=60°，∴∠DCB=30°，∴CD=AD=2BD=4，∴AB=AD+BD=4+2=6．故选：D．由垂直平分线的性质可得AD=CD，∠CDB=2∠A=60°，在Rt△BCD中可求出CD的长，则可得到AB的长．本题主要考查垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到∠DCB=30°是解题的关键．6.答案：D解析：解：∵∠AOD=70°，∴∠AOC=180°-70°=110°，∠BOC=∠AOD=70°，∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=35°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=145°，故选：D．根据邻补角、对顶角的性质分别求出∠AOC、∠BOC，根据角平分线的定义求出∠COE，结合图形计算即可．本题考查的是对顶角、邻补角的概念以及角平分线的定义、掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．7.答案：5.2×10-5解析：解：0.000052=5.2×10-5．故答案为：5.2×10-5．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8.答案：1解析：解：∵点M(a,3)，点N(2,b)关于y轴对称，∴a=-2，b=3，∴(a+b)2019=(-2+3)2019=1．故答案为：1．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．9.答案：4x解析：解：4x2+4x+1=(2x+1)2，即加上的这个单项式是4x，故答案为：4x．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要结果能化成一个数或式子的平方即可，如：加上4x或-4x或-1或4x4等等．本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键．10.答案：1x-y解析：解：1xy÷(1y-1x)=1xy÷x-yxy=1xy×xyx-y=1x-y，故答案为：1x-y．根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．11.答案：5解析：解：∵分式y2-25y2+4y-5的值是零，∴y2-25=0y2+4y-5≠0，解得y=5．故答案为：5．根据分式的值为0的条件列出关于y的不等式组，求出y的值即可．本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．12.答案：五边形解析：解：设多边形的边数为n，则(n-2)×180°=540°，解得：n=5．故答案为：五边形设多边形的边数为n，根据题意得出(n-2)×180°=540°，即可求出边．本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=(n-2)×180°．13.答案：∠1=∠2或∠BAC=∠EAD或BC=ED解析：解：∵AB=AE，AC=AD，
∴若根据SAS判断，只要添加∠1=∠2或∠BAC=∠EAD，若根据SSS判断，只要添加BC=DE，故答案为∠1=∠2或∠BAC=∠EAD或BC=ED．根据全等三角形的判定方法即可解决问题；本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．14.答案：28解析：解：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x+12°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+3x+12°=180°，解得x=28°．故答案为：28．设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x+12°，再由三角形内角和定理求出x的值即可．本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．15.答案：解：(1)方程两边都乘x(x+7)，得100x+700=30x，解得x=-10，经检验x=-10是该分式方程的解；(2)方程两边都乘2(3x-1)，得4-6x+2=3，解得x=12，经检验x=12是分式方程的解．解析：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．16.答案：解：原式=50x(x+5)÷x2-25-x2x+5=50x(x+5)⋅x+5-25=-2x，当x=1时，原式=-2．解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.答案：解：因为，∴x=3或x=-3，y=2或y=-2
又∴当x=-3时，y=2，或当x=-3时，y=-2①当x=-3，y=2时，②当x=-3，y=-2时，则的值为或．解析：本题考查了绝对值，平方的非负性以及分类讨论思想的应用，属于能力提高类题目，难度中等，在本题的解题过程中，能够熟练的应用分类思想对x，y的值进行讨论是解题关键点．18.答案：解：(1)原式=y(x2-2xy+y2)=y(x-y)2；(2)原式=a-b+a+b(a+b)(a-b)⋅a-ba=2a(a+b)(a-b)⋅a-ba=2a+b；(3)去分母得：2-x-1=x-3，解得：x=2，检验：把x=2代入得：x-3=2-3=-1≠0，则x=2是分式方程的解．解析：(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；(3)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.答案：解：(1)如图△A1B1C1为所作；(2)如图△A2B2C2为所作；(3)线段旋转后扫过的面积为90π×16360=72π．解析：(1)根据平移的性质即可画出将△ABC向下平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)根据旋转的性质即可画出将△A1B1C1绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3)在(2)的条件下，根据扇形面积即可求线段A1C1旋转到A2C2扫过的面积．本题考查了作图-旋转变换、扇形面积的计算、作图-平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．20.答案：CD为所作 MN为所作 MN解析：解：(1)如图，CD为所作；(2)如图，MN为所作；(3)平行直线AB与CD间的距离就是MN的长度．故答案为CD为所作；MN为所作；MN．
(1)利用平行线的判定画出AB的平行线CD；(2)利用基本作图作线段AB的垂直平分线得到MN；(3)根据平行线间的距离的定义求解．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21.答案：解：(1)(-12)-2-32×(-13)0=(-2)2-9×1=4-9=-5；(2)(x-3)(2x+5)=2x2+5x-6x-15=2x2-x-15；解析：(1)根据负指数幂的法则和零指数幂的意义，可得(-12)-2-32×(-13)0=(-2)2-9×1；(2)根据多项式乘以多项式法则，可得(x-3)(2x+5)=2x2-x-15；本题考查负指数幂的法则和零指数幂，多项式乘以多项式；熟练掌握多项式乘以多项式的法则，负指数幂的法则和零指数幂的法则是解题的关键．22.答案：(1)证明：∵AB//CD，∴∠ABC=∠DCB，∵EC=BF，∴EC+BC=BF+BC，∴EB=CF，∵在△ABE和△DCF中AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF∴△ABE≌△DCF(SAS)．∴∠A=∠D．(2)解：∵AD//BC，∠A=90°，∴∠ABC=90°，∵，∠ABD=15°，∴∠DBC=75°，又∵∠C=60°，∴∠BDC=45°．
过D作DE⊥BC于E，过B作BF⊥DC于F，∵∠C=60°，∴∠FBC=30°，∴CF=12BC=12×2=1，∵∠DBC=75°，∴∠DBF=45°，∴∠BDF=45°=∠DBF，∴BF=DF，在Rt△BFC中，由勾股定理得：BF=22-12=3，∴DF=3，DC=1+3，在△DBC中，由三角形的面积公式得：12BC×DE=12DC×BF，12×2×DE=12×(1+3)×3，DE=3+32，∵∠ABC=90°，DE⊥BC，∴AB//DE，∵AD//BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE=3+32．解析：(1)求出BE=CF，∠ABC=∠DCF，根据SAS证出△ABE≌△DCF即可；(2)求出∠DBC，根据三角形内角和定理求出∠BDC即可；过D作DE⊥BC于E，过B作BF⊥DC于F，求出CF、BF、DF，根据三角形面积公式求出DE，即可求出答案．23.答案：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADC=∠DAE=∠DCF=90°，∴∠ADC=∠MDN=90°，∴∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDE(ASA)，∴AE=CF．②∵△ADE≌△CDF(ASA)，∴DE=DF，∵∠MDN=90°，∴∠DEF=45°，∵∠DAC=45°，∴∠DAQ=∠PEQ，∵∠AQD=∠EQP，∴△AQD∽△EQP，∴AQQE=DQPQ，∴AQDQ=EQPQ，∵∠AQE=∠PQD，∴△AQE∽△DQP，∴∠QDP=∠QAE=45°，∴∠DPE=90°，∴DP⊥EF，∵DE=DF，∴PE=PF，∴DP垂直平分线段EF．(2)解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=17，∵∠QAH=∠QAG=45°，
∴HQ=QG=AG=AH，设QH=x，∵12·4·x+12·1·x=12·1·4，∵x=45，∴AQ=452，DQ=DH2+HQ2=4517，EQ=175，∵△AQD∽△EQP，∴AQ⋅PQ=DQ⋅EQ，∴PQ=4175⋅175425=17210．②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=17，∵∠QAH=∠QAG=45°，∴HQ=QG=AG=AH，设QH=x，∵12×4×x-12×1×x=12×1×4，∵x=43，∴AQ=423，DQ=DH2+HQ2=4173，EQ=173，∵△AQD∽△EQP，∴AQ⋅PQ=DQ⋅EQ，∴PQ=4173⋅173423=1726．综上所述，PQ的长为17210或1726．解析：(1)①只要证明△ADE≌△CDE(ASA)即可解决问题；②利用相似三角形的性质证明∠PDQ=45°即可解决问题；
(2)①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G.由△AQD∽△EQP，可知AQ⋅PQ=DQ⋅EQ，想办法求出AQ，EQ，DQ即可解决问题；②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G，方法类似．本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24.答案：7 n+1 n+7 n+8解析：解：(1)24×30-23×31=720-713=7故答案为7．(2)①设方框中四个数的左上角的为n，则其它三个数为n+1、n+7、n+8．故答案为n+1、n+7、n+8．②这个日历，具有上面的规律．证明：根据题意，得(n+1)(n+7)-n(n+8)=n2+8n+7-n2-8n=7．答：这个日历，具有上面的规律．(1)根据有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．(2)有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算、数字的变化类，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．25.答案：解：设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要23x天，根据题意得：123x×(15+15)+1x×15=1解得：x=60，经检验x=60是分式方程的解，则甲队单独完成这项工程需要的天数是：60×23=40(天)．答：甲需要40天，乙需要60天．
(2)设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，则：y×(140+160)=1解得y=24，需要施工费用(0.84+0.56)×24=33.6(万元)．∵33.6>33，∴工程预算的费用不够用，需追加0.6万元．解析：(1)设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要23x天，根据由甲队先做15天，剩下的工程再由甲、乙两队合作15天可以完成，列方程求解．(2)求出甲、乙两队施工天数得出需要施工费用，再与33万元进行比较，即可得出答案．此题主要考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系，列出方程．26.答案：解：(1)如图，过点A作AH⊥AD，交DC的延长线于点H，∵AH⊥AD，∠ADC=45°，∴∠H=∠ADC=45°，∴AD=AH，∵∠BAC=∠DAH=90°，∴∠DAB=∠CAH，且AD=AH，AB=AC，∴△ABD≌△ACH(SAS)∴∠H=∠ADB=45°，∴∠ADC=∠ADB+∠ADC=90°，∴BD⊥CD；(2)由(1)知，∠ADB=45°，
∵BP平分∠CBD，∴∠CBP=∠DBP，且∠ABC=∠ADB=45°，∴∠ABC+∠CBP=∠ADB+∠PBD，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP，∴AC=AP，(3)如图3中，在TA上截取一点H，使得AH=AQ，连接CH，设BQ交AD于O．∵AC=AP，∠CAH=∠PAQ，AH=AQ，∴△AQH≌△AHC(SAS)，∴PQ=CH，∠AQH=∠AHC，∴∠CQH=∠CHP，∵PQ=CT，∴CH=CT，∴∠CHT=∠CTH=∠AQO，∵∠AQO+∠CQO=180°，∴∠CQO+∠CTO=180°，∴∠QOP+∠QCP=90°，∵∠ACT=90°，∴∠QOP=∠AOQ=90°，∵∠QAO+∠AQO=90°，∠ABQ+∠AQB=90°，∴∠CAT=∠ABQ，∵∠BAQ=∠ACT=90°，AB=AC，∴△ABQ≌△CAT(ASA)，
∴AQ=CT=PQ，∵QO⊥AP，∴∠AQO=∠OQP=∠CQP=60°，∴∠ATC=∠AQB=60°，∴∠CAT=30°，∴AT=2TC=6．解析：(1)如图，过点A作AH⊥AD，交DC的延长线于点H，证明△ABD≌△ACH(SAS)，利用全等三角形的性质解决问题即可．(2)利用等角对等边解决问题即可．(3)如图3中，在TA上截取一点H，使得AH=AQ，连接CH，设BQ交AD于O.利用全等三角形的性质证明∠AQO=∠OQP=∠CQP=60°即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
