2020-2021学年长春市南关区八年级上学期期末数学试卷(含答案解析).docx

2020-2021学年长春市南关区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列语句中正确的是(    )A.16的算术平方根是±4B.任何数都有两个平方根C.∵3的平方是9，∴9的平方根是3D.-1是1的平方根2.若方程(x-5)2=11的两根为a和b，且a>b，则下列结论中正确的是(    )A.a是11的算术平方根B.a-5是11的算术平方根C.b是11的平方根D.b+5是11的平方根3.下列运算正确的是(    )A.a5+a5=a10B.a6×a4=a24C.a+a=2aD.a4-a4=a04.如图所示，是巴中某校对学生到校方式的情况统计图．若该校骑自行车到校的学生有200人，则步行到校的学生有(    )A.120人B.160人C.125人D.180人5.如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB=90°，则满足条件的点C共有(    )A.3个B.4个C.6个D.8个6.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，DF=2，AF=BF，则四边形BCDE的周长为(    )．,A.43B.8C.4+43D.8+437.到三角形各个顶点距离相等的点是这个三角形(    )A.各内角平分线的交点B.各边上高线的交点C.各边垂直平分线的交点D.各边上中线的交点8.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距40海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行0.5小时到达B处，那么AB=(    )海里．A.40B.30C.50D.60二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.4981的平方根是______，3-125=______．10.计算：2x2y3÷(-3xy)=______．11.分解因式：(a+b)(a-2b)+94b2的结果是______．12.已知一个直角三角形的两直角边长分别是3和4，则第三边长的平方是          。13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=43，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是______(保留π)．14.如图，以矩形ABCD的边AB为直径作⊙O与CD相交于E、F两点，若CE=1，BC=2，则⊙O的半径为_________,三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）15.计算：(1)9-3-8-(-12)-2+(π-3)0．(2)[a3⋅a5+(3a4)2]÷a2．16.计算(1)(-5a2b)(-3a)；(2)(2x+y)(x2+y)；(3)y=2x-1x+2y=-7；(4)3x+2y=133x-2y=5．17.计算：43a6b8÷(-13ab2)2-12a2⋅(-6ab2)2．18.如图的网格中每个小正方形的边长均为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在格点上；(1)在图1中画出一个以AB为一边的成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；(2)在图2中画出一个以EF为一边的等腰△EFP，使其tanP=2，并直接写出△EFP的面积______．19.已知等腰三角形的周长是13．,(1)如果腰长是底边长的45，求底边的长；(2)若该三角形其中两边的长为3x和2x+5，求底边的长．20.已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，M、N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN=60°，AM、AN分别交BD于E、F两点．(1)如图1，求证：CM+CN=BC；(2)如图2，过点E作EG//AN交DC延长线于点G，求证：EG=EA；(3)如图3，若AB=1，∠AED=45°，直接写出EF的长．21.在“3.15”消费者权益日的活动中，对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查．如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度(以下称：用户满意度)分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级，并依次记为1分、2分、3分、4分．(1)请问：甲商场的用户满意度分数的众数为______；乙商场的用户满意度分数的中位数为______．(2)分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均值．(计算结果精确到0.01)(3)请你根据所学的统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由．,22.已知在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16．(1)若将△ABC的腰不变，底变为12，甲同学说，这两个等腰三角形面积相等；乙同学说，腰不变，底变化，这两个三角形面积必不相等，请对甲、乙两种说法做出判断，并说明理由；(2)已知△ABC底边上高增加x，腰长增加(x-2)时，底却保持不变，请确定x的值．23.如图，矩形ABCD接于半径为2.5的⊙O，AB=4，延长BA到E，使AE=94，连接ED．(1)求证：直线ED是⊙O的切线；(2)连接EO交AD于F，求FO的长．24.正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O．(1)如图1若E是AC的延长线上一点，连接BE，作AM⊥BE，M是垂足，AM、DB的延长线相交于F，请你直接写出OE与OF的数量关系．,(2)如图2，若点E在AC上，连接BE，作AM⊥BE，M是垂足，AM与DB交于点F，你得到的(1)的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．(3)在(2)的条件下，连接OM，若OM=2，BM=6，求OA的长．25.直角三角形的两条直角边的和等于6，两条直角边各是多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？,参考答案及解析1.答案：D解析：解：A、16的算术平方根是4，故选项错误；B、0的平方根是0，只有一个，故选项错误；C、9的平方根是±3，故选项错误；D、-1是1的平方根，故选项正确．故选：D．A、B、C、D根据算术平方根和平方根的定义分别分析即可判定；本题主要考查了平方根和算术平方根概念的运用．如果x2=a(a≥0)，则x是a的平方根．若a>0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0；负数没有平方根．2.答案：B解析：解：∵方程(x-5)2=11的两根为a和b，∴a-5和b-5是11的两个平方根，且互为相反数，∵a>b，∴a-5是11的算术平方根，故选：B．结合平方根和算术平方根的定义可做选择．本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关键．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为根号a．3.答案：C解析：解：A、a5+a5=2a5故此选项错误；B、a6×a4=a10，故此选项错误；C、a+a=2a，故此选项正确；D、a4-a4=0，故此选项错误；故选：C．直接利用零指数幂的性质以及合并同类项以及同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案．此题主要考查了零指数幂的性质以及合并同类项以及同底数幂的乘法运算等知识，正确把握运算法则是解题关键．,4.答案：B解析：解：学生总数：200÷25%=800(人)，步行到校的学生：800×20%=160(人)，故选：B．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．本题考查的是扇形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．5.答案：C解析：解：由勾股定理得AB=22+42=25，以AB的中点为圆心，以5为半径作圆与正方形网格交于6个格点，如图所示，以6个格点为C，由圆周角定理可知，∠ACB=90°，则满足条件的点C共有6个，故选：C．根据勾股定理求出AB的长，根据圆周角定理解答即可．本题解出的是勾股定理、圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是90°是解题的关键．6.答案：D解析：本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等．因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，结合AF=BF，可得DF//BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠ADF=90°，DF=2，能求出AF的长，进而可求出AB的长，再求出BC及AC的长，从而求出周长．解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，∴DF//BC，∴∠C=∠CDE=90°，∵BE⊥DF，∴四边形BCDE是矩形．∵∠A=30°，∠ADF=90°，DF=2，,∴AF=4，∵AF=BF，∴AB=8，∴BC=4，根据勾股定理可得AC=82-42=43，∴CD=23，∴矩形BCDE的周长为：2(4+23)=8+43．故选D．  7.答案：C解析：解：∵线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，∴三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点距离相等．故选C．直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．8.答案：C解析：解：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距40海里．∴AP=40，∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行0.5小时到达B处，∴∠APB=90°，BP=60×0.5=30，∴AB=402+302=50(海里)，故选：C．根据题意作出图形后知道北偏东30°与北偏西60°成直角，利用勾股定理求值即可．本题考查了方向角，解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．9.答案：±79 -5解析：解：±4981=±79，3-125=-5，故答案为：±79，-5．根据平方根和立方根的定义求解可得．本题主要考查立方根和平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义．,10.答案：-23xy2解析：本题主要考查了单项式除以单项式的运算，解题的关键是熟记单项式除以单项式的运算法则．利用单项式除以单项式的法则求解即可．解：2x2y3÷(-3xy)=-2x2y3÷3xy=-23xy2．故答案为-23xy2．  11.答案：(a-12b)2解析：解：(a+b)(a-2b)+94b2=a2-ab-2b2+94b2=a2-ab+14b2=(a-12b)2故答案为：(a-12b)2先将多项式化简，得到一个完全平方式，再运用完全平方公式进行因式分解即可．本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是掌握完全平方公式．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．12.答案：25．解析：解：直角三角形的边满足勾股定理，已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，则用勾股定理可得第三边=∴第三边长的平方为25．13.答案：43-43π,解析：解：连接AD，∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠ABD=∠ACD=30°，BD=CD=12BC=23，∴AB=2AD，由勾股定理知BD2+AD2=AB2，即(23)2+AD2=(2AD)2解得AD=2，∴△ABC的面积=12BC×AD=12×43×2=43，扇形MAN得面积=120⋅π×22360=43π，∴阴影部分的面积=43-43π．故答案为：43-43π．根据勾股定理求出AD的长度，再用三角形的面积减去扇形的面积即可．本题考查了切线的性质、扇形面积的计算，要熟练掌握公式是解此题的关键．14.答案：2.5解析：过点O作EF的弦心距OH，连结OE.根据矩形的性质和判定可知OH=BC=2，CH=OB=r，从而EH=r-1.然后在三角形OEH中利用勾股定理即可求出半径r．解：过O作OH⊥EF于点H，连接OE．根据矩形ABCD易得矩形OHCB，所以OH=BC=2，CH=OB=r；因为CE=1，所以EH=r-1．在Rt△OEH中，根据勾股定理可得：22+(r-1)2=r2，解得r=2.5．,15.答案：解：(1)原式=3+2-4+1=2；(2)原式=(a8+9a8)÷a2=10a8÷a2=10a6．解析：(1)直接利用算术平方根以及立方根的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；(2)直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的除法运算以及算术平方根以及立方根的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．16.答案：解：(1)(-5a2b)(-3a)=15a3b；(2)(2x+y)(x2+y)=2x3+2xy+x2y+y2；(3)y=2x-1 ①x+2y=-7 ②，把①代入②得，x+4y-2=-7，解得，y=-1，把y=-1代入①得，x=-5，则方程组是解为x=-5y=-1；(4)3x+2y=13 ①3x-2y=5 ②，①+②得，6x=18，解得，x=3，把x=3代入①得，y=2，,则方程组的解为x=3y=2．解析：(1)根据单项式乘单项式的法则计算；(2)根据多项式长多项式的法则计算；(3)利用代入消元法解出方程组；(4)利用加减消元法解出方程组．本题考查的是多项式乘多项式、二元一次方程组的解法，掌握多项式乘多项式的运算法则、代入消元法、加减消元法解方程组的步骤是解题的关键．17.答案：解：原式=43a6b8÷(19a2b4)-12a2⋅(36a2b4)=12a4b4-18a4b4=-6a4b4解析：根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．18.答案：10解析：解：(1)如图1，▱ABCD即为所求；(2)如图2，等腰△EFP即为所求；△EFP的面积为：12×5×4=10，故答案为10．(1)作一以AB为边的平行四边形即可得；(2)根据等腰三角形的腰为5，腰上的高为3，进行画图．本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质进行计算．注意：平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形．19.答案：解：(1)设底边的长为x，则腰长为45x，依题意得,2×45x+x=13，解得x=5，∴底边的长为5；(2)分三种情况讨论：①若两腰长分别为3x和2x+5，则3x=2x+5，解得x=5，∴腰长3x=15(不合题意)；②若腰长为3x，底边长为2x+5，则6x+2x+5=13，解得x=1，3x=3，2x+5=7(不合题意)；③若底边长为3x，腰长为2x+5，则3x+2(2x+5)=13，解得x=37，∴底边长=3x=97；综上所述，底边的长为97．解析：(1)设底边的长为x，则腰长为45x，依据等腰三角形的周长是13，列方程即可得到底边长．(2)分三种情况讨论：①两腰长分别为3x和2x+5，②腰长为3x，底边长为2x+5，③底边长为3x，腰长为2x+5，依据等腰三角形的周长是13，列方程即可得到底边长．本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．20.答案：(1)证明：如图1中，在AC上截取CG，使得CG=CM．,∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵AB=AC，∠B=∠ACN=60°，∴△BAM≌△CAN，∴AM=AN，∵∠MAN=60°，∴△AMN是等边三角形，∵CM=CG，∠MCG=60°，∴△CMG是等边三角形，∴MA=MN，MG=MC，∵∠AMN=∠GMC=60°，∴∠AMG=∠NMC，∴△AMG≌△NMC，∴AG=CN，∴BC=AC=CG+AG=CM+CN，即BC=CM+CN．(2)证明：如图2中，连接EC．∵BA=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE=EC，∠BAE=∠BCE，∵EG//AN，∴∠G=∠AND，,∵∠AND=∠CAN+∠ACN=60°+∠CAN，∠ECG=60°+∠ECB，∵∠ECB=∠BAE=∠CAN，∴∠ECG=∠AND=∠G，∴EC=EG，∴EA=EG．(3)解：如图3中，将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADQ，易证△AFE≌△AFQ，∴∠AEF=∠AQF=45°，∵∠AEB=∠AQD=135°，∴∠FQD=90°，∵∠QDF=∠ADQ+∠ADF=60°，设DQ=BE=x，则DF=2x，EF=FQ=3x，∵AB=AD=1，∠ABD=30°，∴BD=3，∴x+2x+3x=3，∴x=3-12，∴EF=3x=3-32．解析：本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．(1)如图1中，在AC上截取CG，使得CG=CM.首先证明△BAM≌△CAN，推出AM=AN，△AMN是等边三角形，再证明△AMG≌△NMC即可解决问题；(2)如图2中，想办法证明AE=EC，EC=EG即可解决问题；,(3)如图3中，将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADQ，首先证明△FQD是特殊直角三角形，设DQ=x，构建方程即可解决问题；21.答案：2；2解析：解：(1)甲银行的用户满意度分数的众数为2；乙银行的用户满意度分数的中位数为2．故答案是：2，2；(2)甲银行抽查用户数为：500+1000+2000+1000=4500(户)，乙银行抽查用户数为：100+900+2200+1300=4500(户)．所以甲银行满意度分数的平均值=14500(500×0+1000×1+2000×2+1000×4)=2(分)，乙银行满意度分数的平均值=14500(100×0+900×1+2200×2+1300×4)=73≈2.33(分)．答：甲、乙两银行用户满意度分数的平均值分别为2分，2.33分；(3)因为乙银行用户满意度分数的平均值较高(或较满意和很满意的人数较多)，所以乙银行的用户满意度较高．(1)找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；(2)根据平均数的公式就可以求解；(3)求出两个银行的满意度，进行比较就可以．此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是理解平均数、众数和中位数的意义．熟悉条形图的应用．22.答案：解：(1)甲说法对，乙说法不对，理由如下：过AD⊥BC于D，∵AB=AC=10，BC=16，∴BD=CD=8，∴AD=6∴S△ABC=12×BC×AD=48；过A'D'⊥B'C'于D'，,∵A'B'=A'C'=10，B'C'=12，∴B'D'=C'D'=6，∴A'D'=8，∴S△A'B'C'=12×B'C'×A'D'=48；(2)依题意得，(10+x-2)2=(6+x)2+82，解之得，x=9．解析：(1)根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答即可；(2)根据勾股定理解答即可．此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和等腰三角形的性质解答．23.答案：(1)证明：连结BD，∵ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴BD是直径，∴BD=5，在Rt△ABD中，AD=BD2-AB2=3，∠EAD=180°-∠BAD=90°，在Rt△AED中，ED2=AD2+AE2=22516，在△BED中，BE2=(4+94)2=62516，BD2=25，BE2-ED2=62516-22516=25∴BD2=BE2-ED2，∴∠BDE=90°，又∵BD是直径，∴ED是⊙O的切线；,(2)解：过点O作OH⊥AB于H，则AH=BH=12AB=2，又∵OB=OD，∴OH=12AD=1.5，在Rt△EHO中，EO=EH2+OH2=5134，∵∠OHB=∠DAB=90°，∴OH//AD．∴OFOE=AHEH，∴OF5134=294+2，∴OF=101317．解析：(1)根据勾股定理求出AD，求出DE，根据勾股定理的逆定理求出∠EDB=90°，根据切线的判定得出即可；(2)过点O作OH⊥AB于H，求出OH和AH，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．本题考查了切线的判定、勾股定理、勾股定理的逆定理、垂径定理、平行线分线段成比例定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．24.答案：解：(1)结论：OE=OF．理由：如图1中，∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AM⊥BE，,∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=∠FMB=90°，∴∠OAF=∠FBM(同角的余角相等)∵∠EBO=∠FBM(对顶角相等)，∴∠OAF=∠OBE(等量代换)，又∵OA=OB(正方形的对角线互相垂直平分且相等)，∴△AOF≌△BOE(ASA)，∴OE=OF．(2)成立理由：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OB，∴∠AOB=∠BOC=90°∵AM⊥BE，∴∠AME=90°，∴∠OEB+∠EAM=∠OEB+∠OBE，∴∠EAM=∠OBE，∴△OAF≌△OBE(ASA)，∴OE=OF．(3)过点B作BH⊥BE，过点O作OG⊥BH，垂足为G，OG交AM于点N．可证BG//AM，四边形BGNM是矩形，,∴∠ANO=90°，∵∠BOG+∠OBG=∠BOG+∠AOG=90°，∴∠AOG=∠OBG，∵OA=OB，∴△AON≌△OBG，∴ON=BG=NM，AN=OG∵OM=2，∴根据勾股定理得ON=BG=MN=1，∵BM=6，∴AN=OG=GN+ON=BM+ON=7在Rt△AON中，根据勾股定理得OA=72+12=52．解析：本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA，又因为AM⊥BE，所以∠OAF=∠OBE，从而求证出△AOF≌△BOE，得到OE=OF．(2)根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA，再根据已知条件求证出△OAF≌△OBE，得到OE=OF．(3)过点B作BH⊥BE，过点O作OG⊥BH，垂足为G，OG交AM于点N.证明△AON≌△OBG，求出AN=7，ON=1即可解决问题．25.答案：当两条直角边的长分别是3、3时，直角三角形的面积最大，最大值是4.5．解析：解：设直角三角形的一条直角边是x，则另一条直角边是(6-x)，所以直角三角形的面积S是：(0