芦台一中2022届高三年级线上模拟（一）数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1．已知集合，，则（）A．B．RC．D．2．已知向，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数，则的大致图像为（）A．B．C．D．4．天津中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图）根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（）
A．120B．360C．420D．4805．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．6．设P，A，B，C为球O表面上的四个点，，，两两垂直，且，，三棱锥的体积为18，则球O的体积为（）．A．B．C．D．7．已知，，则（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系中，双曲线（）的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
9．设，函数，若在区间内恰有5个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题（本题共6小题，共30分）10．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则_______________11．二项式的展开式中，常数项是_______________．12．直线与圆相交于两点A，B，，则_______________．13．已知，，，则的最小值为_______________．14．袋中有2个红球，2个白球共4个球，现有一个游戏：从袋中任取2个球，两个球颜色恰好相同则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是_______________；有3个人参与这个游戏，则至少有2人获奖的概率是_______________．15．在平面四边形中，，，，连接，，，则_______________；E为线段上的动点，则的最小值为_______________．三、解答题（本题共5题，共75分）16．（本小题满分14分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求A；（2）若的面积为，求的值．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，M为的中点．
（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记，的斜率分别为，，若．证明：为定值．19．（本小题满分15分）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前项和（3）求．20．（本小题满分16分）已知函数（1）若在上单调递减，求a的取值范围；（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，，且.
2022届高三年级线上练习数学试卷（一）参考答案一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1．B2．A3．A4．C5．C6．D7．C8．A9．D二、填空题（本题共6题小，共30分，双空题答对一个3分，答对两个5分）10．11．712．1或13．514．15．三、解答题（本题共5题，共75分）16．（1）因为，由正弦定理得：，所以，因为，所以，因为，所以；（2）的面积为，因为，的面积为，所以，解得：，故，所以．17．（1）证明：连接，与交于O，则O为的中点，又M为的中点，∴．∵平面，平面，∴平面.（2）设E是的中点，连接，∵是正方形，为正三角形，∴．又∵面面，交线为，∴平面．以E为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系，
则，∴设平面的法向量为，则，令．则，得设直线与平面所成角为，∴，即直线与平面所成角的正弦值.（3）由（2）可知，设平面的法向量为，则，令．则，，设面与面夹角为，∴，．∴面与面夹角的余弦值为.18．（1）解：由题意，解得．
故椭圆C的方程为．（2）证明：设直线的方程为，联立得，因为直线与椭圆C相切，所以判别式，即，整理得，所以，故直线的方程为，因为，所以设直线的方程为，联立方程组，解得．故点Q坐标为，.联立方程组，化简得．设点，.因为判别式，得又，所以，.故，
于是为定值．19．（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，及，得，解得，所以（2）设前项n和为A．设前项n和为B综上可知．（3）
令20．（1）．∵在递减，∴在上恒成立，∴在上恒成立，令，，∴时，，递增，时，，递减，∴，∴；（2）由题意得，∴，∴，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，又∵，，，故分别在和有零点，，（不妨设）∴时，，递减，时，，递增，时，，递减，
故在和有2个极值点，而，，．∴，，，∴．∴，，∴
