怀仁一中2021-2022学年第二学期高一年级期中考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若线段上、、三点满足，则这三点在线段上的位置关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性关系得到和是共线同向的，且进而得到答案.【详解】根据题意得到和是共线同向的，且.故选：A.2.已知向量，，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由得出，结合向量数量积的坐标运算求得的值，进而利用向量的模长公式可求得的值.【详解】，，解得，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查向量模长的计算，涉及向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.\n3.已知不共线的两个向量与共线，则实数t等于（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量共线定理即可求解.【详解】因为与共线，所以有且仅有唯一的实数，满足，则，解得.故选：C.4.设复数，是z的共轭复数，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出，由复数的乘法即可求解.【详解】因为，所以，则.故选：C.5.下列命题中正确的是（）A.若，则B.C.与的方向相反D.若，则【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的定义可判断AD选项；利用平面向量的线性运算可判断B选项；利用平面向量的加法可判断C选项.\n【详解】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；对于B选项，，故B对；对于C选项，与的方向相同，故C错；对于D选项，若，但、、的方向不确定，故D错.故选：B.6.在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理化角为边，可得，由余弦定理求得，即可得出.【详解】因为，由正弦定理得，又，所以可得，由余弦定理可得，所以.故选：C.7.已知复数z满足，则的最小值为（）A.1B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解.\n【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为轴，又表示点到点的距离，所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，所以的最小值为2，故选：B.8.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则有两解C.若为钝角三角形，则D.若，则面积的最大值为【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可判断A；由正弦定理及三角形大边对大角可判断选项B；由余弦定理可判断选项C；由余弦定理及基本不等式，三角形的面积公式可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】解：对于A：若，由正弦定理可得，是外接圆的半径，所以，故选项A正确；对于B：因为，，，由正弦定理得，即，故，因为，所以，故为锐角或钝角，有两解，故选项B正确；对于C：由余弦定理可得，所以角为钝角，但是为钝角三角形，不一定是角为钝角，故选项C不正确；\n对于D：因为，，由余弦定理得，当且仅当时取等号，故，所以面积，即最大值为，故选项D正确．故选：C．9.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则下列结论中错误的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】在正八边形ABCDEFGH中，A.易知，再由共线向量定义判断.B.根据数量积运算判断.C.根据判断.D.根据求解判断.【详解】由图2知，在正八边形ABCDEFGH中，A.，所以，故正确.B.，故正确.C.，所以，故正确.\nD.，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法，模，共线定理以及数量积运算等知识，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g=10，≈1.732）A.81B.87C.89D.91【答案】B【解析】【分析】可设两只胳膊的拉力分别为，，根据，进行数量积的运算即可求出重力的值，进而可得出学生的体重的值．【详解】解：设两只胳膊的拉力分别为，，，，，，解得．学生的体重约为．故选：B．11.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，\n我国许多地区的人们都有贴窗户的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是()图一图二AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用平面向量的线性运算法则，将用来表示，然后将所求式子表达成来表示，进而求出范围.详解】如图，取的中点，根据题意，是边长为2的正三角形，易得，又，根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时有最小值为，此时，\n当点位于正六边形的顶点时有最大值为2，此时，∴.故选：B.12.已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为10，则这个球的表面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，从而可得球心在过中点与面垂直的直线上，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，由四面体体积的最大值为10，求出，再利用勾股定理求出球的半径，从而可求出球的表面积【详解】解：由，可得，所以，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以四面体的高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，可得，在中，，所以，得，所以球的表面积为，故选：B．\n【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②可以转化为长方体的外接球；③特殊几何体可以直接找出球心和半径；④设球心（在过底面多边形外接圆圆心与底面垂直的直线上），利用待定系数法求半径.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.化简__________．【答案】【解析】【分析】利用向量的加法运算法则求解即可.【详解】14.如图，在正方形中，为中心，且，则_________；_________；____________.\n 【答案】①.②.③.【解析】【分析】由可确定点坐标，由此可得三点坐标，进而得到所求向量.【详解】，，，，，，，.故答案为：；；.15.已知是复数，，则复数_________【答案】或##或【解析】【分析】设，则，根据复数运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故答案为：或16.在ABC中，，点D在边AC上，且满足，E为AB中点，CE和BD交于点F，G是ABC的重心，则=___________（用表示）\n【答案】【解析】【分析】根据C，F，E共线，设，用表示，同理由B，F，D共线，设，用表示，利用向量相等，求得，再根据G为重心，得到，由求解.【详解】解：如图所示：因为C，F，E共线，设，则，所以，因为B，F，D共线，设，则，所以，所以，则，解得，所以，又因为G为重心，\n所以，所以，即，故答案为；.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量，满足，，.（1）求向量与的夹角；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得，然后利用夹角公式求得向量与的夹角.（2）利用平方的方法求得的值.【小问1详解】设向量与的夹角为，由于，所以.所以，由于，所以.【小问2详解】.18.已知复数（是虚数单位）．（1）若z是实数，求实数m的值；（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．\n【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可.【小问1详解】，因为z为实数，所以，解得.【小问2详解】因为是z的共轭复数，所以，所以因为复数在复平面上对应的点位于第一象限，所以，同时解得19.在中，分别为内角的对边，若.（1）求；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理，可求出，由已知条件得出角的范围，进而求出角．（2）由，的值，利用正弦定理表示出，，进而表示出三角形的周长，利用三角形的\n内角和定理及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质确定出周长的取值范围．【小问1详解】解：由及正弦定理得：，又，所以，所以，又，所以，【小问2详解】解：由正弦定理可得，所以，，所以的周长，因为，所以，所以所以，即，\n所以周长的取值范围为．20.如图，在棱长为1的正方体中，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的直线距离是多少？【答案】【解析】【分析】根据题意确定红、黑蚂蚁的行走路线，最终确定红、黑两只蚂蚁都走完2023段后各停在的位置，进而确定距离.【详解】由正方体特点及题意可知：蚂蚁是走完一段，在每个端点只有一条路可走，故红黑蚂蚁的路线唯一确定，由题意及推理得：红蚂蚁的行走路线为：，回到A点后继续重复之前的路线.同理黑蚂蚁的路线为：，回到A点后继续重复之前的路线，红、黑蚂蚁走2023段：，故红、黑蚂蚁走完之后分别停在处，即此时红黑蚂蚁的距离为线段的长度，为.21.我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．\n【答案】，.【解析】【分析】根据实体图，得出如图所示空间几何体，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，进行计算即可得解.【详解】如图所示，该房子的几何图形为，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，由，，所以，可得，所以，所以底下长方体的面积为，上面三棱柱的面积为，所以房子的表面积为，\n体积.22.如图，在中，是中点，在边上，，与交于点.点､､三点共线，设.（1）设，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接通过向量的三角形法则求出即可；（2）先通过，，三点共线解出，再通过得到即可求解.【小问1详解】，∴；【小问2详解】因为，，三点共线，所以.再设，所以，所以，解得，所以.\n，因为，
