怀仁一中2021-2022学年第二学期高二年级期中考试数学试题（理科）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在的展开式中，第二项为（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】A【解析】【分析】由二项式的展开式的通项公式可得答案.【详解】，第二项是，即．故选：A．2.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（）A.B.C.D.【2题答案】【答案】B【解析】【分析】“放回4个球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得的值.【详解】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.故选：B.3.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值，方差分别为，.由此可以估计（）A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同\nD.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较【3题答案】【答案】B【解析】【分析】可以用样本的方差估计总体的方差，方差越小，分蘖越整齐.【详解】解：已知样本方差：，由此估计，乙种水稻的方差约为，甲种水稻的方差约为.因为所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐故选：B.4.解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（）A.10种B.21种C.24种D.36种【4题答案】【答案】A【解析】【分析】利用分类加法计数原理计算即可.【详解】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有（种）．故选：A．5.某人家里有3个卧室1个大门，共有4把钥匙，其中仅有一把能打开大门，但他忘记是哪把钥匙．如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第四次才能打开门的概率为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】C【解析】【分析】\n题意相当于将四把钥匙排成一列，将大门钥匙排在第四个位置的概率,根据古典概率可得答案.【详解】由题意知，此人第一、二、三次不能打开门，第四次打开门，相当于将四把钥匙排成一列，将大门钥匙排在第四个位置的概率.因此他第四次才能打开门的概率为．故选：C6.某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，B，C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A.种B.种C.种D.种【6题答案】【答案】D【解析】【分析】先安排A，再排B，C两人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案.【详解】先安排A，只有1种选择；再排B，C两人，有种选择；最后排其他人，有种选择．故由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有种选择．故选：D7.近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项错误的是（）附：若随机变量X服从正态分布，则．A.若红玫瑰日销量的范围在的概率是0.6827，则红玫瑰日销量的平均数约为250B.红玫瑰日销量比白玫瑰日销量更集中C.白玫瑰日销量比红玫瑰日销量更集中D.白玫瑰日销量的范围在的概率约为0.34135【7题答案】\n【答案】C【解析】【分析】根据正态曲线的性质一一判断可得；【详解】解：对于选项A，由日销量的范围在的概率是，所以，则，故A正确；对于选项B，C，利用越小越集中，30小于40，故红玫瑰日销量比白玫瑰日销量更集中，即B正确，C不正确；对于选项D，，故D正确．故选：C．8.已知，则（）A.B.C.D.【8题答案】【答案】B【解析】【分析】设，利用赋值法可得出，即可得解.【详解】设，则，，故.故选：B.9.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（）\nA.B.C.D.【9题答案】【答案】B【解析】【分析】先求得该产品能销售的概率，易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后利用二项分布求解.【详解】由题意得该产品能销售的概率为，易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，设表示一箱产品中可以销售的件数，则，所以，所以，，，故，，故选：B．10.从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述想法，下面式子（其中）应等于A.B.C.D.【10题答案】\n【答案】A【解析】【详解】分析：从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，第二类是某指定的小球被取到，即有等式：成立，题中的式子表示的是从装有个球中取出个球的不同取法数，从而得到选项.详解：在中，从第一项到最后一项分别表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，故答案为从装有个球中取出个球的不同取法数，故选A.点睛：该题考查的是有关球的取法问题，涉及到的是有关组合数的性质，认真分析题中式子的关系，最后求得结果.11.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为（）A.B.C.D.【11题答案】【答案】A【解析】【分析】令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球，分别求出其概率，再由全概率公式求解即可.【详解】令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球，B表示“第二次任取的3个球都是新球”，则有，，，，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为\n.故选：A.12.设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也均为0.2，若记、分别为、的方差，则（ ）A.>B.=C.<D.与的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关【12题答案】【答案】A【解析】【分析】根据随机变量、的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答.【详解】由随机变量、的取值情况，它们的期望分别为：，，即，，\n同理，而，所以有.故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，且，则用排列数符号表示为__________．【13题答案】【答案】【解析】【分析】逆用排列数公式可得结果.【详解】从到一共有个数相乘，相邻30个自然数相乘，且最大的自然数是，所以用排列数符号表示为．故答案为：14.的展开式中的系数为_________．【14题答案】【答案】4【解析】【分析】将代数式变形为，写出展开式的通项，令的指数为，求得参数的值，代入通项即可求解.\n【详解】由展开式的通项为，令，得展开式中的系数为.由展开式的通项为，令，得展开式中的系数为.所以的展开式中的系数为.故答案为：.15.昆明市的市花为云南山茶花，又名滇山茶，国家二级保护植物．为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D（单位：厘米）作为样本，通过数据分析得到，若将的植株建档重点监测，则10000株滇山茶中建档的约有______株．（结果取整数）（附：若，则，）【15题答案】【答案】228【解析】【分析】由，根据正态分布求出其概率，从而得出答案.【详解】由题意知，，故，所以10000株滇山茶中建档的约有228株．故答案为：22816.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都．比赛结束时恰好打了6局的概率为______．【16题答案】\n【答案】【解析】【分析】求出比赛结束时恰好打了6局，甲获胜概率和乙获胜的概率，相加即为结果.【详解】比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为，恰好打了6局，乙获胜的概率为，所以比赛结束时恰好打了6局的概率为．故答案为：三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.（1）求取到次品的概率；（2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？【17题答案】【答案】（1）（2）此次品由甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：【解析】【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.【小问1详解】取到次品的概率为【小问2详解】若取到的是次品，则：此次品由甲车间生产的概率为：.\n此次品由乙车间生产的概率为：.此次品由丙车间生产的概率为：.19.某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：乘坐站数票价（元）357现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的．（1）若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？（2）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？【19题答案】【答案】（1）24种（2）21种【解析】【分析】（1）由题意得甲、乙两人其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，即可求解；（2）甲比乙先下地铁的情形有两类：第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，结合组合数公式和分类加法计数原理，即可求解．【小问1详解】解：若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，共有（种），故甲、乙下地铁的方案共有24种.【小问2详解】若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁情形有两类：第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，有（种）；第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四站至第七站分别为\n，易知甲比乙先下地铁有以下三种情形：①甲站下，乙下地铁方式有种；②甲站下，乙下地铁方式有种；③甲站下，乙只能从下地铁，共有1种方式，共有（种），依据分类加法计数原理，得（种），故甲比乙先下地铁的方案共有21种．21.已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．（1）求的值；（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．【21题答案】【答案】（1）7；（2）﹒【解析】【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第4项的系数与倒数第4项的系数之比为列出关于m的方程，解方程即可求得m；(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.【小问1详解】展开式的通项为，∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，，即．【小问2详解】展开式共有8项，由(1)可得当为整数，即时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为．\n23.一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取2件产品检验：方法一：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；方法二：一次性随机抽取2件.记方法一抽取的不合格产品数为，方法二抽取的不合格产品数为.（1）求，的分布列；（2）比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由.【23题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）均值相等，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意，，分别服从二项分布和超几何分布，利用对应概率公式计算概率，列出分布列即可；（2）利用二项分布和超几何分布的期望公式计算对应的期望，即得解【详解】（1）随机变量的可能取值为0，1，2，且，，，.因此的分布列为012随机变量的可能取值为0，1，2，且服从参数为10，3，2的超几何分布，，，.因此的分布列为\n012（2）由（1）知，方法一中，方法二中，因此，所以两种方法抽到的不合格产品数的均值相等.24.自2021年秋季学期以来，义务段教育全面落实“双减”工作．为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了100名教育工作者的答卷（满分：100分），统计得分情况后得到如图所示的频率分布直方图．（1）若这100名教育工作者的答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；（2）若以这100名教育工作者的答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取3人的答卷得分，记为这3人的答卷得分不低于70分且低于90分的人数，试求的分布列，数学期望和方差．参考数据：，，，．【24题答案】【答案】（1）0.8186（2）分布列见解析，，\n【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图求出均值和方差，再结合正态分布计算概率即可；（2）按照二项分布列出分布列，根据公式计算期望和方差即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知，，，所以，，所以．因为，则，，所以；【小问2详解】从这100名教育工作者中任意选取1名，其答卷得分不低于70分且低于90分的概率为．由题意知，，则，，，，所以的分布列为0123\n所以，．26.已知一种动物患某种疾病的概率为0.1，需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病.多只该种动物化验时，可逐个化验，也可将若干只动物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈阳性，则该组血样需要再逐个化验．（1）求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率．（2）现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案，方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：混合在一起化验．请问：哪一种方案最合适（即化验次数的均值最小）？【26题答案】【答案】（1）0.19（2）方案三混合在一起化验最合适【解析】【分析】（1）先求解2只该种动物的混合血样呈阴性的概率，再用对立事件求概率公式求解；（2）分别求出三种方案的化验次数的均值，进而作出判断.【小问1详解】设为2只该种动物中血液呈阳性的数量，则，这2只动物中只要有一只动物的血样呈阳性，则它们的混合血样呈阳性，所以所求的概率为．即2只该种动物的混合血样呈阳性的概率为0.19．【小问2详解】方案一：4只动物都得化验，所需化验次数为4．方案二：设所需化验的次数为X，则X的所有可能取值为2，4，6，，，，所以\n．方案三：设所需化验次数为Y，则Y的所有可能取值为1，5，由于4只动物的混合血样呈阴性的概率为，所以，，所以．因为，所以混合在一起化验最合适．
