2021--2022学年第二学期高一期末考试数学试题(满分150分,考试时间120分钟)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】复数分子分母同时乘以,再化简整理即可.【详解】,故选:C【点睛】本题主要考查了复数的乘除运算,属于基础题.2.已知向量,若,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示即可得出答案.【详解】解:因为,,所以,解得.故选:D.3.设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为()A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系,即得结果.\n【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍,所以所求数据方差为故选:C【点睛】本题考查方差,考查基本分析求解能力,属基础题.4.正方体中,异面直线与所成角为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据正方体的性质,结合异面直线所成角的定义进行求解即可.【详解】由题意,作正方体,如下图所示:连接,,∴异面直线与即所成的角为.由题可得为等边三角形,.∴异面直线与所成的角为60°.故选:B.5.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()A.B.C.D.【答案】B【解析】\n【分析】设圆锥的母线长为,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值,即为所求.【详解】设圆锥的母线长为,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则,解得.故选:B.6.四名同学各掷骰子7次,分别记录每次骰子出现的点数,根据名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数的是()A.平均数为,中位数为B.中位数为,众数为C.平均数为,方差为D.中位数为,方差为【答案】C【解析】【分析】根据题意举出反例,即可得出正确选项.【详解】对于A,当投掷骰子出现结果为1,2,3,4,6,6,6时,满足平均数为4,中位数为4,可以出现点数6,故A错误;对于B,当投掷骰子出现结果为3,3,3,4,4,5,6时,满足中位数为4,众数为3,可以出现点数6,故B错误;对于C,若平均数为3,且出现6点,则方差,∴平均数为3,方差为1时,一定没有出现点数6,故C正确;对于D,当投掷骰子出现结果为2,2,3,3,6,6,6时,满足中位数为3,平均数为:方差为,可以出现点数6,故D错误.故选:C.7.甲乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译密码的概率分别为,则密码至少被一人成功破译的概率为()\nA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先结合独立事件概率的乘法公式求出密码未被成功破译的概率,进而根据对立事件的概率和为1即可求出结果.【详解】结合独立事件概率的乘法公式可得密码未被成功破译的概率,则根据对立事件的概率和为1,可知密码被成功破译的概率为,故选:C.8.在空间,若直线与平面所成角为,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据线面角定义,结合线面垂直的判定定理进行求解即可.【详解】如图,过点作平面于,连接,则为直线与平面所成的角,分别作,交于点,,交于点,连接、,因为平面,所以,因为平面,所以平面,而平面,所以,同理,因为,,,所以≌,所以,,所以,则为的角平分线,\n由,可得,令,则,,即,在直角三角形中,因为,所以,于是在直角三角形中,,即.故选:D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知单位向量,的夹角为,则下列结论中正确的是()A.B.在上投影向量为C.的最小值为()D.【答案】BCD【解析】\n【分析】对于A,由已知条件计算判断即可,对于B,利用平面向量的几何意义判断,对于C,结合已知条件可求出其最小值,对于D,计算判断【详解】对于A,因为单位向量,的夹角为,所以,所以A错误,对于B,在上投影向量为,所以B正确,对于C,因为,所以当时,的最小值为,所以C正确,对于D,因为,所以,所以D正确,故选:BCD10.设复数,满足,,则下列结论中正确的是()A.的共轭复数为B.C.若是方程的根,则D.【答案】AD【解析】【分析】对于A,由共轭复数的定义判断即可,对于B,利用复数的乘方运算求解判断,对于C,由题意可知方程的根为和,然后利用根与系数的关系可求出,对于D,设,结合可表示出的值,再由可求出,从而可求出【详解】对于A,因为,所以的共轭复数为,所以A正确,对于B,因为,所以,所以,所以B错误,对于C,若,则由题意可知方程根为和,所以\n,得,所以C错误,对于D,设,因为,所以解得,,因为,所以,,解得,所以,所以D正确,故选:AD11.某高中有学生人,其中男生人,女生人,希望获得全体学生的身高信息,按照分层抽样的原则抽取了容量为的样本.经计算得到男生身高样本均值为,方差为;女生身高样本均值为,方差为.下列说法中正确的是()A.男生样本量为B.每个女生入样概率均为C.所有样本的均值为D.所有样本的方差为【答案】AC【解析】【分析】由分层抽样可判断A;计算女生入样的概率可判断B;计算总体的均值可判断C;计算总体的方差可判断D,进而可得正确选项.【详解】对于A:抽样比为,所以样本中男生有人,故选项A正确;对于B:每个女生入样的概率等于抽样比,故选项B不正确;对于C:由分层抽样知,样本中男生有人,男生有人,所有的样本均值为:,故选项C正确;对于D:设男生分别为,,,,平均数,,女生分别为,,,,平均数,,总体的平均数为,方差为,\n因为,而,所以,同理可得,所以,故选项D不正确;故选:AC12.已知三棱锥中两两垂直,且,则下列结论正确的是()A.二面角的正切值为B.三棱锥的内切球的半径为C.是线段上一动点,则面积的最小值为D.是三棱锥的外接球上一动点,则点到面距离的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】将三棱锥嵌套在正方体内,对于A:可证,,结合二面角可知:二面角的平面角为,运算判断;对于B:根据三棱锥内切球的半径公式,运算判断;对于C:根据正方体可证:,结合三角形面积分析可得:当是线段的中点时,\n面积取到最小值,运算判断;对于D:结合正方体可知:三棱锥的外接球即为正方体的外接球,且为外接球的直径,可证平面,则点到面距离的最大值为,运算判断.【详解】根据题意将三棱锥嵌套在正方体内,如图所示:连接交于点,在正方体中,∴∵,点为的中点,则∴二面角平面角为,则,A正确;三棱锥的表面积为,体积为∴三棱锥的内切球的半径为,B错误;根据题意可知:平面,则∴面积为当是线段的中点时,取到最小值∴面积的最小值为,C正确;三棱锥的外接球即为正方体的外接球,显然为外接球的直径,设∵,,则平面∴同理可证:,则平面点到面距离的最大值为\n∵且,则为平行四边形∴,则∴,D正确;故选:ACD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知一组数据,则这组数据的第百分位数是_______.【答案】5【解析】【分析】按照百分位数的定义求解即可.【详解】一共是10个数,题目已将其从小到大排列好,,即是第8位数和第9位数的平均值=;故答案为:5.14.抛掷两枚大小质地均匀的骰子,则两枚骰子向上点数之和为的概率是______.【答案】【解析】【分析】先求出所有可能的点数组合数,再列举出所有点数和为5的组合,应用古典概率的求法求概率.【详解】两枚骰子可能点数组合有种,而点数和为5的组合有、、、共有4种,所以向上的点数之和为5的概率为.\n故答案为:.15.在四面体中,都是边长为的等边三角形,且平面平面,则该四面体外接球的表面积为_________.【答案】【解析】【分析】作图,根据几何关系找到球心,计算球的半径和体积即可.【详解】依题意作上图,取BD的中点P,连接AP,CP,取的中心E,的中心G,分别作平面ABD和平面BCD的垂线,得交点H,则H点就是四面体ABCD外接球的球心,CH就是球的半径r,,,外接球的面积为;故答案为:.16.的内角的对边分别为.若,边角平分线,则边的最小值为_________.【答案】【解析】\n【分析】由结合已知条件可得,再利用基本不等式可得,由余弦定理得,当且仅当时取等号,即当时,取得最小值,【详解】因为,是的平分线,所以,因为,,所以,所以,所以,所以,得,当且仅当时取等号,在中,,由余弦定理得,当且仅当时取等号,即当时,取得最小值12,所以的最小值为,故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中,内角的对边分别为,点在边上,且,,,边.\n(1)求的面积;(2)求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由已知条件可得为等边三角形,从而得到各个边长,然后利用面积公式求解即可.(2)由余弦定理可得AC长,然后利用正弦定理即可求解.【小问1详解】且,为等边三角形,,的面积【小问2详解】在中,由余弦定理可得在中,由正弦定理可得,18.第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行,志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并按照,,,,分成五组,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第二、三、四组的频率之和为0.9,第一组和第五组的频率相同.(1)求,的值;(2)估计这100名候选者面试成绩的中位数,平均数(精确到0.1);(3)若先用按比例分配分层随机抽样的方法从面试成绩在段的候选者中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人来自同一分数段的概率.\n【答案】(1),(2)中位数,平均数69(3)【解析】【分析】(1)根据第二、三、四组的频率之和为0.9,即可求出,再根据频率这和等于1,即可求出;(2)根据频率分布直方图计算中位数和平均数即可;(3)分别求出抽取6中两个分数段的人数,再利用列举法列举出所有基本事件,再根据古典概型即可得出答案.【小问1详解】解:因为第二、三、四组的频率之和为0.9,所以,解得,再由第一组、第五组的频率之和为,即,得;【小问2详解】解:根据频率分布直方图可知,第一、二组的频率之和为0.3,第一、二组、三组的频率之和为0.75,所以中位数在第三组,且为,平均数为;【小问3详解】解:由(1)可得面试成绩在段和段的候选者分别有5人和25人,\n若用分层随机抽样的方法从中抽取6人,则需在段中抽取1人,设为A,在段中抽取5人,分别设为,,,,.该试验的样本空间为,共有15个样本点,设“从这6人中随机抽取2人,这2人来自同一分数段”为事件,则,有10个样本点,所以2人来自同一分数段的概率为.19.在四棱锥中,平面ABCD,底部ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)点是棱的中点,求证平面;(2)若∠ABC=60°,求证:⊥平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)分别取的中点,连接,由题意可证明,再由线面平行的判定定理可证明.(2)由题目条件证明到,,再由线面垂直的判定定理可证明.【小问1详解】分别取的中点,连接,在三角形中,且;在菱形中,为中点,所以且,所以且,\n即四边形为平行四边形,所以;又平面,平面,所以平面【小问2详解】证明:因为底面是菱形且,所以为正三角形,所以,因为,所以;因为平面,平面,所以;因为所以平面.20.的内角的对边分别为.的面积为,且.(1)求角;(2)求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用余弦定理及面积公式,可求出的值,进而即得;(2)由题可得,再利用三角函数的性质即得.小问1详解】,,,\n,;【小问2详解】由正弦定理得:,,,,,所以的最大值为.21.如图,三棱台ABC—DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(I)证明:EF⊥DB;(II)求DF与面DBC所成角的正弦值.【答案】(I)证明见解析;(II)【解析】【分析】()方法一:作交于,连接,由题意可知平面,即有,根据勾股定理可证得,又,可得,,即得平面,即证得;(II)方法一:由,所以与平面所成角即为与平面所成角,作于,连接,即可知即为所求角,再解三角形即可求出与平面\n所成角的正弦值.【详解】()[方法一]:几何证法作交于,连接.∵平面平面,而平面平面,平面,∴平面,而平面,即有.∵,∴.在中,,即有,∴.由棱台的定义可知,,所以,,而,∴平面,而平面,∴.[方法二]【最优解】:空间向量坐标系方法作交于O.∵平面平面,而平面平面,平面,∴平面,以为原点,建立空间直角坐标系如图所示.设OC=1,∵,,∴,∴,∴,,,∴BC⊥BD,又∵棱台中BC//EF,∴EF⊥BD;\n[方法三]:三余弦定理法∵平面ACFD平面ABC,∴,∴,又∵DC=2BC.∴,即,又∵,∴.(II)[方法一]:几何法因为,所以与平面所成角即为与平面所成角.作于,连接,由(1)可知,平面,因为所以平面平面,而平面平面,平面,∴平面.即在平面内的射影为,即为所求角.在中,设,则,,∴.故与平面所成角的正弦值为.\n[方法二]【最优解】:空间向量坐标系法设平面BCD的法向量为,由()得,,∴令,则,,,,,由于,∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]:空间向量法以为基底,不妨设,则(由()的结论可得).\n设平面的法向量为,则由得取,得.设直线与平面所成角为,则直线与平面所成角也为,由公式得.[方法四]:三余弦定理法由,可知H在平面的射影G在的角平分线上.设直线与平面所成角为,则与平面所成角也为.由由()的结论可得,由三余弦定理,得,从而.[方法五]:等体积法设H到平面DBC的距离为h,设,则,设直线与平面所成角为,由已知得与平面所成角也为.由,,求得,所以.【整体评价】()的方法一使用几何方法证明,方法二利用空间直角坐标系方法,简洁清晰,通性通法,确定为最优解;方法三使用了两垂直角的三余弦定理得到,进而证明,过程简洁,确定为最优解(II)的方法一使用几何做法,方法二使用空间坐标系方法,为通性通法,确定为最优解;方法三使用空间向量的做法,避开了辅助线的求作;方法四使用三余弦定理法,最为简洁,确定为最优解;方法五采用等体积转化法,避免了较复杂的辅助\n线.22.某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题,规则如下:①每位参加者计分器的初始分均为分,答对问题分别加分、分、分、分,答错任一题减分;②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足分时,答题结束,淘汰出局;③每位参加者按问题顺序作答,直至答题结束.假设甲考生对问题回答正确的概率依次为、、、、且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲考生本轮答题结束时恰答了道题的概率;(2)求甲考生能进入下一轮的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意,求出甲考生本轮答题结束时恰答了道题的情况,再由独立事件的乘法公式即可得出答案.(2)求出甲考生能进入下一轮的所有情况,再由独立事件的乘法公式即可得出答案.【小问1详解】设分别为第一、二、三、四个问题,用分别表示甲考生在第k个问题回答正确的概率,则,记“本轮答题结束时甲恰答了道题”为事件.则【小问2详解】记“甲考生能进入下一轮”为事件,则\n